9. Sistemas lineares

9.1. Sistemas lineares no plano

Um sistema dinâmico com duas variáveis de estado é definido por duas equações de evolução com a forma geral 7.2 introduzida no capítulo 7:

Diz-se que o sistema é linear quando as duas funções e são combinações lineares das variáveis de estado:

onde , , e são quatro constantes. As duas equações de evolução podem ser escritas de forma mais compacta usando matrizes:

Os pontos de equilíbrio determinam-se substituindo o lado esquerdo da equação 9.3 por uma matriz com zeros nas duas linhas, dando um sistema de equações lineares, homogéneo. Um sistema linear homogéneo tem sempre uma solução, chamada trivial, em que todas as variáveis são nulas; em alguns casos, quando o determinante da matriz do sistema é nulo, existem muitas mais soluções. Como tal, quando o determinante da matriz é diferente de zero, o sistema dinâmico tem um único ponto de equilíbrio: , localizado na origem do espaço de fase. Nos casos em que o determinante da matriz é nulo, as derivadas das duas variáveis de estado são a mesma função, multiplicada por uma constante, e o sistema pode reduzir-se a um sistema linear com uma única variável de estado e um único ponto de equilíbrio na origem.

Quando as equações de evolução são combinações lineares das variáveis de estado mais uma constante, o ponto de equilíbrio já não é a origem do espaço de fase, mas é possível obter um sistema linear por meio de uma substituição de variáveis, que corresponde a deslocar a origem para o ponto de equilíbrio, tal como se mostra no exemplo seguinte.

Exemplo 9.1

As equações de transferência de calor, que determinam as temperaturas e em duas divisões de uma casa, são as seguintes:

em que as temperaturas são medidas em graus Celsius e o tempo em horas. A temperatura exterior é 8 °C. Os termos e representam o calor que sai de cada divisão para o exterior, por unidade de tempo, divididos pelas capacidades caloríficas de cada divisão. O termo tem a ver com o calor que passa de uma divisão para a outra e o termo constante 2 é devido a que na primeira divisão há um aquecedor ligado que fornece uma quantidade constante de calor a cada hora. Determine as temperaturas das duas divisões no estado de equilíbrio e escreva o sistema de forma linear.

Resolução. Os lados direitos das duas equações diferenciais definem as componentes da velocidade de fase, no espaço de fase ( , ). Os pontos de equilíbrio, onde o estado do sistema permanece constante, são os pontos onde essas duas componentes são nulas. Usando comando o solve,

ou seja, no estado de equilíbrio as temperaturas das duas divisões são 15.06 °C e 13.88 °C.

Para tornar o sistema linear basta deslocar a origem de coordenadas para o ponto de equilíbrio. Isso consegue-se definindo duas novas variáveis:

e nesse sistema de variáveis as equações do sistema são (basta eliminar os termos constantes no sistema original):

A figura 9.1 mostra as nulclinas, onde cada uma das componentes da velocidade de fase do exemplo 9.1 é nula. Na nulclina de , a derivada é nula e, portanto, se o estado inicial fosse um ponto sobre essa reta, a temperatura permanecia constante e o estado evoluía na direção paralela ao eixo . Se o estado inicial estivesse na nulclina de , evoluía então na direção paralela ao eixo . O ponto de equilíbrio encontra-se na interseção das duas nulclinas. Na região entre as duas nulclinas, os vetores na figura mostram que a velocidade de fase tem de apontar na direção do ponto de equilíbrio e o estado deverá aproximar-se do ponto de equilíbrio; mas será que nas outras regiões o estado inicial também se aproxima do estado de equilíbrio? na próxima secção mostra-se um método geral para responder essa questão.

Quando as equações de evolução são obtidas a partir de uma única equação diferencial de segunda ordem, , o sistema dinâmico é linear se a função é uma combinação linear de e . Nesse caso, a forma matricial do sistema é

onde e são duas constantes.

9.2. Estabilidade dos sistemas lineares

No exemplo 9.1, se as temperaturas de cada divisão atingirem os valores de equilíbrio, permanecerão constantes. Mas será que as temperaturas chegam a atingir esses valores? Ou será que enquanto a temperatura de uma das divisões se aproxima do seu valor de equilíbrio a outra temperatura afasta-se do seu valor de equilíbrio? E se as temperaturas inciais estivessem muito próximas dos seus valores de equilíbrio, será que se aproximarão ainda mais, ou se afastarão desses valores de equilíbrio?

Nos sistemas analisados no capítulo 7, quando o estado inicial do sistema está próximo de um ponto de equilíbrio instável, o sistema pode terminar afastando-se até o infinito, ou afastar-se inicialmente regressando para o ponto inicial. Se o estado inicial estiver próximo de um ponto de equilíbrio estável o sistema oscila. No exemplo 9.1, se existissem ciclos no espaço de fase, existia a possibilidade de que as duas temperaturas flutuassem de forma periódica, sem chegar a se estabilizar.

A seguir introduz-se um método geral para analisar a estabilidade dos sistemas lineares, ou seja, o seu comportamento na vizinhança dos pontos de equilíbrio. A equação matricial 9.3 pode interpretar-se como a representação matricial da equação vetorial:

onde a posição e a velocidade do estado são vetores no espaço de fase e é um operador linear que atua sobre os vetores do espaço de fase produzindo outros vetores nesse espaço.

Se num instante a velocidade de fase e o vetor posição no espaço de fase, , estão na mesma direção, há duas possibilidades, tal como mostra a figura 9.2: se os dois vetores têm sentidos opostos, o estado aproxima-se da origem (ponto de equilíbrio) e se têm o mesmo sentido, o estado afasta-se da origem. A condição para que e tenham a mesma direção é:

onde é um número real. Se é positivo, o sistema afasta-se-á do ponto de equilíbrio e se é negativo, o sistema aproxima-se do ponto de equilíbrio. Substituindo a expressão anterior na equação 9.6, obtém-se:

Os vetores que verificam a condição 9.8 chamam-se vetores próprios do operador e os respetivos valores são os valores próprios do operador.

Resolução. Como as equações de evolução já foram armazenadas nas variáveis eq1 e eq2, pode usar-se o comando coefmatrix para obter a matriz do sistema (equação 9.4):

que são as mesmas 4 constantes nas combinações lineares das equações 9.4. O comando eigenvectors do Maxima determina os valores e vetores próprios de uma matriz:

A primeira lista mostra os valores próprios, e . A segunda lista são as "multiplicidades" de cada valor próprio, que neste caso são ambas 1. As últimas duas listas definem as direções dos vetores próprios correspondentes aos dois valores próprios; quaisquer vetores na mesma direção de um desses dois vetores, também é vetor próprio.

Como existem dois valores próprios negativos, existem assim duas direções no plano de fase em que o estado do sistema aproxima-se do estado de equilíbrio na origem. Pode obter-se o retrato de fase do sistema por meio do comando plotdf:

A sintaxe A[i] usa-se para obter a linha da matriz e o ponto indica produto matricial. A figura 9.3 mostra o retrato de fase.

As direções dos dois vetores próprios (as duas retas) são traçadas introduzindo as coordenadas dos vetores próprios obtidos no resultado (%o7), no campo "Trajectory at" do menu de configuração e introduzindo as mesmas coordenadas com sinais opostos. Se o estado inicial não estiver sobre uma das direções dos vetores próprios, a curva de evolução aproxima-se rapidamente do vetor próprio com menor valor próprio em valor absoluto.

Observe-se que as duas nulclinas representadas na figura 9.1 encontram-se aos dois lados da reta com declive positivo, no retrato de fase 9.3 e cruzam-se na origem, onde foi deslocado o ponto de equilíbrio.

Se as temperaturas nos dois quartos forem iguais à temperatura exterior, , então os valores iniciais das variáveis e serão e . A curva de evolução no espaço de fase e a evolução das temperaturas em função do tempo podem ser traçadas com o comando seguinte:

O resultado mostra-se na figura 9.4. Os gráficos em função do tempo mostram que após 30 horas, as duas temperaturas atingem praticamente os valores de equilíbrio.

9.3. Classificação dos pontos de equilíbrio

A forma geral de um sistema dinâmico linear, com qualquer número de variáveis, é:

em que é a posição do sistema no espaço de fase e é um operador linear. Num espaço de fase com duas variáveis de estado e , a representação matricial da equação 9.9 é a equação 9.3.

Se o determinante da matriz é diferente de zero, existe um único ponto de equilíbrio, na origem: . A existência de valores próprios da matriz implica existência de direções em que o estado aproxima-se ou afasta-se em linha reta do ponto de equilíbrio. Os valores próprios da matriz são os valores que verificam a equação 9.8. No espaço de fase com duas variáveis, essa equação conduz a:

Calculando o determinante, obtêm-se a seguinte equação quadrática, chamada equação caraterística:

onde é o traço da matriz e é o determinante. As duas raízes da equação caraterística são:

Se as raízes forem números complexos, significará que não existem vetores próprios no espaço de fase ( , ). Se existir uma única raiz real, existirá pelo menos um vetor próprio no espaço de fase e se existirem duas raízes reais diferentes, existirão dois vetores próprios linearmente independentes no espaço de fase.

9.3.1. Pontos de sela

Quando o determinante é negativo, a expressão dentro da raíz na equação 9.12 é positiva e

(9.13)

Isso implica que existem dois valores próprios reais, e , com sinais diferentes, um deles positivo e o outro negativo.

A esses dois valores próprios correspondem dois vetores próprios linearmente independentes, que definem duas direções no espaço de fase onde o sistema evolui ao longo de uma reta (ver figura 9.5). Na direção correspondente ao valor próprio negativo, o sinal negativo implica que o estado se aproxima da origem. Na direção associada ao valor próprio positivo, o sinal positivo implica que o estado se afasta da origem.

As outras curvas de evolução do sistema serão todas curvas que se aproximam da origem durante algum tempo, mas acabam sempre por se afastar até o infinito (figura 9.5). A denominação desse tipo de ponto de equilíbrio é ponto de sela. Trata-se de pontos de equilíbrio instável.

Observe-se que nos pontos de sela, apesar de existirem curvas de evolução que começam ou terminam nesse ponto, não podem existir órbitas homoclínicas porque essas curvas de evolução são retas que se estendem até infinito. As órbitas homoclínicas só aparecem nos sistemas não lineares. As órbitas heteroclínicas também não aparecem nos sistemas lineares porque precisam, pelo menos, de dois pontos de equilíbrio, mas os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio.

9.3.2. Nós estáveis e instáveis

Quando o determinante é positivo mas menor que , existem duas soluções reais da equação 9.12, ambas com o mesmo sinal de .

Se os dois valores próprios são negativos, existem duas direções no espaço de fase em que o estado se aproxima do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura 9.6); devido à continuidade das curvas de evolução do sistema, qualquer outra curva de evolução será uma curva que se aproxima do ponto de equilíbrio. A denominação do ponto de equilíbrio é nó estável, ou nó atrativo.

Se os dois valores próprios são positivos, existem duas direções no espaço de fase em que o estado se afasta do ponto de equilíbrio. Qualquer que seja o estado inicial, o sistema sempre se afasta do ponto de equilíbrio (lado direito da figura 9.6) e o ponto chama-se nó instável, ou nó repulsivo.

9.3.3. Focos e centros

Quando o determinante é maior que , as duas soluções da equação 9.12 são números complexos . Isso quer dizer que não existem curvas de evolução que sejam retas.

O sinal da parte real das soluções complexas da equação 9.12 determina se as curvas de evolução se aproximam ou afastam do ponto de equilíbrio. Se a parte real das raízes é negativa (matriz com traço negativo), as curvas de evolução do sistema são espirais que se aproximam do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura 9.7) e o ponto de equilíbrio é designado de foco estável, ou foco atrativo.

Se a parte real das raízes é positiva (matriz com traço positivo), as curvas de evolução do sistema afastam-se do ponto de equilíbrio, formando espirais (lado direito da figura 9.7) e o ponto de equilíbrio é designado de foco instável, ou foco repulsivo.

Se o traço da matriz é nulo, as soluções da equação 9.12 são dois números imaginários puros, com a mesma parte imaginária mas com sinais opostos. Nesse caso todas as curvas de evolução do sistema são ciclos e o ponto de equilíbrio, estável, chama-se centro.

A figura 9.8 apresenta um sumário dos diferentes tipos de ponto de equilíbrio, em função do traço e o determinante da matriz do sistema.

9.3.4. Nós próprios e impróprios

Quando o determinante é exatamente igual (pontos na parábola na figura 9.8), existe unicamente um valor próprio real.

Essa situação conduz a dois tipos diferentes de ponto de equilíbrio. Se a matriz é diagonal, os elementos na diagonal são ambos iguais ao valor próprio e qualquer vetor do espaço de fase é vetor próprio da matriz. Isso implica que todas as curvas de evolução do sistema são retas que passam pela origem, afastando-se, se o valor próprio é positivo (lado esquerdo na figura 9.9) ou aproximando-se, se o valor próprio é negativo. O ponto de equilíbrio denomina-se nó próprio, estável ou instável, dependendo do sinal do valor próprio.

Na segunda situação possível, quando a matriz não é diagonal, existe uma única reta no retrato de fase e o ponto de equilíbrio chama-se nó impróprio. Existem unicamente duas curvas de evolução retas, ambas na mesma direção; todas as outras curvas de evolução acumulam-se nessa direção. Se o valor próprio é negativo, o nó impróprio é estável (lado direito na figura 9.9) e se o valor próprio é positivo o ponto de equilíbrio é um nó impróprio instável.

Uma forma conveniente de identificar o tipo de equilíbrio num sistema linear é a seguinte: se a matriz é diagonal, os elementos na diagonal são os valores próprios. Se os dois valores próprios na diagonal são iguais, o ponto é um nó próprio, instável se o valor próprio é positivo ou estável se o valor próprio é negativo; nesse caso qualquer vetor no plano de fase é vetor próprio.

Se a matriz não é diagonal, escreve-se a equação caraterística 9.11 e encontram-se os valores próprios. Em função dos valores próprios obtidos, usa-se a tabela 9.1 para classificar o ponto de equilíbrio.

Tabela 9.1: Classificação dos pontos de equilíbrio dos sistemas lineares.

Valores próprios λ	Tipo de ponto	Estabilidade
2 reais; sinais opostos	ponto de sela	instável
2 reais, positivos	nó repulsivo	instável
2 reais, negativos	nó atrativo	estável
2 complexos; parte real positiva	foco repulsivo	instável
2 complexos; parte real negativa	foco atrativo	estável
2 imaginários	centro	estável
1 real, positivo	nó impróprio repulsivo	instável
1 real, negativo	nó impróprio atrativo	estável

9.4. Osciladores lineares

Nos sistemas mecânicos com um único grau de liberdade , a equação de movimento conduz a um sistema dinâmico linear quando é uma combinação linear de e :

onde e são constantes. O termo é a componente tangencial da força conservativa, dividida pela massa e o termo é a componente tangencial da força não conservativa, dividida por .

Resolução. As variáveis de estado são e e a forma matricial das equações de evolução (equação 9.5) é:

O traço da matriz é nulo e o seu determinante é igual a , que é negativo. Assim sendo, a equação caraterística é e os valores próprios são e . De acordo com a tabela 9.1 o ponto de equilíbrio na origem é um ponto de sela (instável).

O retrato de fase, no caso , constrói-se com o comando:

A figura 9.10 mostra o gráfico obtido, após traçar manualmente algumas trajetórias.

Resolução. O oscilador harmónico simples foi estudado na secção 6.4, onde se mostra que a equação de movimento é (equação 6.31):

onde é uma constante positiva.

Essa equação de movimento conduz ao sistema dinâmico:

O traço da matriz é zero e o determinante é , que é positivo. Consequentemente, os valores próprios são dois números imaginários puros:

e o ponto de equilíbrio é um centro.

Se o oscilador estiver inicialmente no estado de equilíbrio, , permanecerá em repouso; caso contrário, a curva de evolução será uma elipse (figura 9.11), que corresponde a um movimento harmónico simples com frequência angular . Isto é, sempre que os valores próprios de um sistema linear de duas variáveis sejam imaginários puros, o sistema é um oscilador harmónico simples, com frequência angular igual ao módulo dos valores próprios, |. No caso de um corpo de massa ligado a uma mola com constante elástica , a constante é e a frequência angular é .

9.4.1. Osciladores amortecidos

O oscilador harmónico simples do exemplo 9.4 é um sistema idealizado, pois na prática existem forças dissipativas. Um exemplo é o sistema de amortecimento de um automóvel (figura 9.12). Cada roda está ligada à carroçaria por meio de uma mola elástica; no interior de cada mola há um cilindro (amortecedor) com um pistão que se desloca dentro de óleo.

Se for a altura do ponto da carroçaria onde está apoiado o amortecedor, medida desde a posição de equilíbrio , a força vertical resultante sobre a carroçaria é:

(9.16)

em que e são constantes positivas; é a constante elástica da mola e depende do tamanho do pistão e do coeficiente de viscosidade do óleo dentro do amortecedor.

Essa força conduz ao seguinte sistema linear:

(9.17)

onde é a frequência angular, , e é igual a .

O traço da matriz do sistema é , negativo, e o determinante é , positivo. Assim sendo, os valores próprios são ou números reais negativos ou números complexos com parte real negativa. Isso implica que o sistema é sempre estável, acabando por ficar em repouso em e .

No entanto, a forma como o sistema se aproxima do ponto de equilíbrio dependerá do tipo de ponto. Diz-se que o amortecimento é fraco quando,

(9.18)

e nesse caso os valores próprios são complexos; a matriz do sistema está na região dos focos estáveis na figura 9.8. A evolução de em função do tempo é um movimento oscilatório com amplitude decrescente, como mostra a figura 9.13.

No caso em que:

(9.19)

diz-se que há amortecimento crítico. Nesse caso existe um único valor próprio real. Como a matriz não é diagonal, o ponto de equilíbrio é um nó impróprio estável. A evolução de em função de é apresentada na figura 9.13.

Finalmente, no caso de amortecimento forte,

(9.20)

existem dois valores próprios diferentes e negativos. O ponto de equilíbrio é um nó estável e aproxima-se mais rapidamente do ponto de equilíbrio (figura 9.13).

O sistema de suspensão deve garantir que o sistema se aproxime diretamente do equilíbrio sem passar várias vezes por esse ponto, o que tornava o automóvel muito inseguro. Como tal, o amortecimento deve ser suficientemente forte para que o ponto de equilíbrio seja um nó.

Com o uso, a sujidade e as impurezas no óleo dentro dos amortecedores do automóvel fazem com que o coeficiente de viscosidade diminua; há também perdas de óleo. Esses fatores reduzem o valor da constante por baixo do valor crítico. Se, empurrando a carroçaria do automóvel para baixo, o automóvel oscila ligeiramente, está na altura de substituir os amortecedores.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

1. Quantas dimensões tem o espaço de fase de um oscilador harmónico simples em três dimensões ?
   1. 1
   2. 2
   3. 3
   4. 4
   5. 6
2. Os valores próprios de um oscilador harmónico simples são e (em unidades SI). Calcule o período de oscilação, em segundos.
3. Se é a componente tangencial da força resultante sobre uma partícula, é a posição na trajetória e a velocidade, qual das seguintes expressões conduz a um sistema linear?
4. O espaço de fase de um sistema é o plano . Qual pode ser a equação diferencial associada a esse sistema?
5. A matriz de um sistema linear de segunda ordem tem traço igual a 4 e determinante igual a 3. Que tipo de ponto de equilíbrio é a origem?
   1. nó instável
   2. nó estável
   3. ponto de sela
   4. foco instável
   5. foco estável

Problemas

1. Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vetores próprios do sistema. Diga que tipo de ponto de equilíbrio tem cada sistema e represente os retratos de fase.
   (a)   
   (b)  
   (c)   
2. A figura mostra a curva de evolução hipotética de uma bola que cai em queda livre e é disparada para cima novamente após ter batido no chão, se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráfico para valores positivos de corresponde ao lançamento vertical de um projétil, ignorando a resistência do ar. A parte do gráfico para valores negativos de corresponde à deformação elástica da bola quando choca com o chão; durante o tempo de contacto com o chão, admite-se que o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem dissipação de energia. Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é  m e que a deformação máxima quando a bola bate no chão é  cm, determine:
   (a) A velocidade máxima da bola ao longo do seu movimento.
   (b) A frequência angular da deformação elástica da bola.
   (c) O tempo que a bola permanece em contacto com o chão.
3. Um bloco com massa  kg que se encontra sobre uma mesa horizontal está ligado a uma mola elástica com constante  N/m ( é a posição em que a mola não está nem comprimida nem esticada). O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é .
   (a) Trace o retrato de fase e as curvas de evolução correspondente às posições iniciais  m e  m, com velocidade inicial  m/s.
   (b) Com base no retrato de fase na alínea anterior, diga quais são os pontos de equilíbrio do sistema.
4. Um cilindro de massa está pendurado, na vertical, de uma mola com constante elástica , tal como na figura 6.2. Em termos da altura do centro de massa do cilindro, a partir da posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, e desprezando a resistência do ar:
   (a) Encontre a equação de movimento, a partir da equação de Lagrange, ou se preferir, a partir da segunda lei de Newton.
   (b) Encontre o valor de no ponto de equilíbrio.
   (c) Mostre que o sistema pode escrever-se como sistema linear, com uma mudança de variável de para uma nova variável e que a equação de movimento em função de é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular .
5. Um cilindro tem base circular de área  cm², altura  cm e massa volúmica  g/cm³. Como essa massa volúmica é menor que a da água,  g/cm³, quando o cilindro é colocado num recipiente com água flutua na superfície, com uma parte da sua altura por fora da água, como mostra a figura ( ). Empurrando o cilindro para baixo, começará a oscilar com a variar em função do tempo. Use o seguinte procedimento para analisar a oscilação do cilindro:
   (a) Sabendo que a força da impulsão da água, para cima, é igual ao peso da água que ocupava a parte do volume do cilindro que está dentro da água, ou seja,
   Encontre a expressão para a força resultante no cilindro, em função de (pode ignorar a força de resistência da água, que é muito menor que o peso e a impulsão).
   (b) Encontre a equação de movimento do cilindro (expressão para em função de ).
   (c) Encontre o valor de na posição de equilíbrio do cilindro.
   (d) Mostre que o sistema dinâmico associado ao movimento do cilindro é linear e encontre a matriz do sistema.
   (e) Mostre que o ponto de equilíbrio é um centro, implicando que o movimento é oscilatório e determine o valor do período de oscilação do cilindro.
6. A equação de movimento , com , descreve um oscilador invertido, com dissipação de energia (se é negativa) ou com aumento da energia (se é positiva). Mostre que a condição é suficiente para garantir que existem dois valores próprios reais diferentes, um positivo e o outro negativo, independentemente do valor de . Como tal, o ponto de equilíbrio é sempre ponto de sela.
7. Num transformador há duas bobinas, a primária, com resistência e indutância e a secundária, com resistência e indutância . Quando se liga uma fonte na primeira bobina, produzindo corrente nela, na segunda bobina é induzida outra corrente . Quando se desliga a fonte na primeira bobina, as duas correntes começam a diminuir gradualmente, de acordo com as seguintes equações:
   onde é a indutância mútua entre as duas bobinas e as constantes , , , e são todas positivas.
   (a) Escreva as equações do transformador como equações de evolução de um sistema dinâmico linear e encontre a matriz do sistema.
   (b) Num transformador real, é menor que . Que tipo de ponto de equilíbrio terá o sistema no caso , , , , (usando unidades que conduzem a valores entre 0 e 10).
   (c) Trace o retrato de fase do sistema no caso considerado na alínea anterior.
   (d) Os valores , , , e , correspondem a um caso hipotético que não pode descrever um transformador real porque . Diga que tipo de ponto seria o ponto de equilíbrio nesse caso e explique porque esse sistema não pode descrever um transformador real.
8. Um isótopo radioativo A, decai produzindo outro isótopo radioativo B e este decai produzindo um isótopo estável C.
   Sendo e o número de isótopos das espécies A e B existentes em qualquer instante , as suas derivadas em ordem ao tempo verificam as seguintes equações:
   onde é a constante de decaimento dos isótopos A (probabilidade de que um isótopo da espécie A se desintegre durante uma unidade de tempo) e é a constante de decaimento dos isótopos B.
   (a) Determine a matriz do sistema e os seus valores próprios.
   (b) Tendo em conta que as constantes de decaimento e são positivas, explique que tipo de ponto pode ser o ponto de equilíbrio para os possíveis valores dessas constantes.
   (c) Se num instante inicial o número de isótopos A, B e C forem, respetivamente, , e , onde é o número de Avogadro, quais serão os valores de , e após um tempo muito elevado?
9. No sistema dinâmico com equações de evolução:
   onde é um parâmetro real com qualquer valor entre e , determine os intervalos de valores de onde o ponto de equilíbrio ( ) pode ser nó ou foco, atrativo ou repulsivo, centro ou ponto de sela.

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. E. 3. B. 4. B. 5. A.

Problemas

1. (a) , , , , ponto de sela.
   
   
   
   (b) , , , , nó estável.
   
   
   
   (c) , , nó impróprio instável.
   
   
2. (a) 14 m/s (b) 1400 s^-1 (c) 2.24 ms.
3. (b) O único ponto de equilíbrio é na origem; no entanto, em todos os pontos, diferentes da origem, no intervalo o sistema desloca-se em pequenos "saltos" até à origem. Essa situação peculiar é devida a erro numérico; com intervalos de tempo suficientemente pequenos o bloco aproxima-se continuamente da origem. Na prática, existe também atrito estático, que faz com que todos os pontos no intervalo sejam, de facto, pontos de equilíbrio ( ).
4. (a)    (b)   (c) A mudança de variável é e a nova equação de movimento é (a gravidade não interessa) e:
5. (a) , em gramas vezes cm/s², em centímetros e admitindo que é positiva quando a força é para cima.
   (b)
   (c) 1.6 cm.
   (d)
   (e) Os dois valores próprios são números imaginários. O período é 0.762 segundos.
6. Os dois valores próprios são e . Como é sempre maior que zero, os dois valores são sempre reais. Como é diferente de zero, os dois valores próprios são diferentes. O produto dos dois valores próprios é que, por ser negativo, implica que os dois valores têm sempre sinais opostos.
7. (a)  
   
   A matriz é: 
   
   (b) Nó atrativo.
   (c) O retrato de fase é:
   
   (d) Ponto de sela. Não pode descrever um transformador real, porque a instabilidade do sistema implica que com correntes iniciais finitas as correntes aumentavam até infinito, que não é possível.
8. (a) A matriz é: com valores próprios e .
   (b) Se as duas constantes são diferentes, o ponto de equilíbrio é nó atrativo, se são iguais, é um nó impróprio atrativo.
   (c) , e .
9. Se , é ponto de sela. Se , é nó atrativo. Se , é foco atrativo. Se , é centro. Se , é foco repulsivo. E se , é nó repulsivo.