Leis de Newton

Problemas da terceira folha complementar

(Professor Paulo Sá)

1. Uma partícula de massa 2 kg está sujeita a uma força definida pela expressão $\vec{F} (t) = 4 t \hat{ı} + 2 t^{2} \hat{ȷ}$ (SI). Sabendo que a partícula se encontrava inicialmente em repouso e na origem dos eixos, determine os vetores aceleração, velocidade e posição da partícula em função do tempo e 8 particularize para o instante $t = 2$ s. $\vec{a} (2) = 4 \hat{ı} + 4 \hat{ȷ}$ (m/s²; $\vec{v} (2) = 4 \hat{ı} + \frac{8}{3} \hat{ȷ}$ (m/s); $\vec{r} (2) = \frac{8}{3} \hat{ı} + \frac{4}{3} \hat{ȷ}$ (m)

2. Uma partícula material de massa 2 g move-se ao longo de uma curva definida pelo vetor posição $\vec{r} (t) = (4 t^{2} - t^{3}) \hat{ı} + 5 t \hat{ȷ} + (t^{4} - 2) \hat{k}$ (cm). Calcule a força que atua na partícula no instante $t = 2$ s. Apresente o seu resultado em unidades SI e CGS. $- 8 \hat{ı} + 96 \hat{k}$ (×10⁻⁵N) $= - 8 \hat{ı} + 96 \hat{k}$ (dyn)

3. Um disco de hóquei com massa de 0.160 kg está em repouso na origem ( $x = 0$ ) numa superfície horizontal sem atrito. No instante $t = 0$ , um jogador aplica sobre o disco uma força de 0.250 N paralela ao eixo $O x$ ; ele continua a aplicar a força até $t = 2.0$ s.

Qual é a posição e a velocidade do disco no instante $t = 2.0$ s? $x = 3.125$ m; $v = 3.125$ m/s.
Se a mesma força for aplicada novamente no intervalo entre $t = 5.0$ s e $t = 7.0$ s, qual será a posição e a velocidade do disco no instante $t = 7.0$ s? $x = 21.875$ m; $v = 6.25$ m/s.

5. Para cada um dos esquemas representados na figura que se segue, determine o valor das tensões nas cordas AC e BC se o corpo M tiver um peso de 50 N.

(a) 50 N e 70.7 N; (b) 25 N e 43.3 N.

7. Duas caixas, uma massa de 4.0 kg e outra de 6.0 kg, estão em repouso sobre a superfície sem atrito de um lago congelado, ligadas por uma corda leve (ver figura). Uma mulher, usando umas sapatilhas de sola áspera de modo a não escorregar, puxa horizontalmente a caixa de 6.0 kg com uma força

\vec{F}

que produz uma aceleração de 2.50 m/s². A corda que liga as duas massas permanece tensa e horizontal durante o movimento descrito.

Qual é a aceleração da caixa de 4.0 kg? 2.50 m/s².
Desenhe um diagrama do corpo livre para a caixa de 4.0 kg. Use esse diagrama e a segunda lei de Newton para calcular a tensão $T$ na corda que liga as duas caixas. $T = 10$ N.
Desenhe um diagrama do corpo livre para a caixa de 6.0 kg. Qual é a direção da força resultante sobre a caixa de 6.0 kg? Qual tem o maior módulo, a força $\vec{T}$ ou a força $\vec{F}$ ? Horizontal, para a direita; $\vec{F}$ tem maior módulo
Use a parte c e a segunda lei de Newton para calcular o módulo da força $\vec{F}$ . 25 N.

8. De acordo com o esquema representado em baixo, um corpo com massa 80 kg está preso por um fio no ponto A. No ponto B do fio aplica-se uma força horizontal $\vec{F}$ , desviando-o 1 m da parede. Sabendo que AB é 2 m, determine a intensidade da força $\vec{F}$ e o valor da tensão no fio, $T_{A B}$ . $\vec{F} = 452.5$ N; $T_{A B} = 905$ N.

9. Um trabalhador está a tentar mover uma caixa de 500 N sobre um piso plano. Para iniciar o movimento, o trabalhador necessita de aplicar uma força horizontal de módulo igual a 230 N. Depois de se mover, isto é, após deixar o repouso e iniciar o movimento, a força que o trabalhador necessita de exercer para manter o movimento da caixa com velocidade constante é de apenas 200 N. Calcule o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético. $μ_{e} = 0.46$ ; $μ_{c} = 0.40$ .

10. Um trabalhador está a tentar mover uma caixa puxando uma corda amarrada a esta, que faz um ângulo de 30º com a horizontal. Considere que $P = 500$ N é o peso da caixa e $μ_{c} = 0.40$ o coeficiente de atrito cinético entre a superfície da caixa e a superfície sobre a qual desliza.

Qual é a força que o trabalhador deve fazer para manter o movimento com velocidade constante? 188 N.
O esforço que o trabalhador faz é maior ou menor do que no caso em que a força é aplicada na horizontal? Menor; a força horizontal seria 200 N.

11. Um trenó, cheio de estudantes com uma massa total igual a $M$ , escorrega para baixo numa encosta coberta de neve. A montanha possui uma inclinação $α$ relativamente à horizontal. Em todas as alíneas represente o diagrama do corpo livre.

Considerando que o trenó está bem lubrificado de modo a não existir atrito entre este e a encosta, deduza uma expressão para a aceleração do trenó. $a_{x} = g \sin α$
Considerando agora que existe atrito entre o trenó e a encosta, e que o coeficiente de atrito é dado por $μ_{c}$ , deduza uma expressão para a aceleração do trenó. $a_{x} = g (\sin α - μ_{c} \cos α)$
Considerando agora que o trenó tem apenas metade dos estudantes, como irá variar a aceleração?

12. Duas caixas A e B, de massas $m_{A} = 0.50$ kg e $m_{B} = 0.25$ kg, respetivamente, estão ligadas entre si por uma haste de massa desprezável, conforme se representa na figura em baixo. Sabendo que o plano tem uma inclinação de 30º e que os coeficientes de atrito cinético entre as caixas A e B e a superfície do plano são, respetivamente, 0.2 e 0.3, determine a aceleração do conjunto, bem como a tensão na haste. $a = 2.9$ m/s²; $T = 0.14$ N.

13. No esquema da figura ao lado, os corpos A e B têm massas de 10 kg e 5 kg, respetivamente, estando ligados por um fio inextensível e de massa desprezável. O coeficiente de atrito (estático ou dinâmico, suponha que têm o mesmo valor) entre a superfície do corpo A e a superfície da mesa é 0.25.

Desenhe o diagrama do corpo livre de cada um dos corpos A, B e C.
Determine o valor mínimo que a massa do corpo C tem de ter para que o conjunto dos corpos A, B e C se encontre em repouso. 10 kg
Calcule a aceleração do sistema, bem como a tensão do fio, no caso do corpo C ser retirado. $a = 1.63$ m/s²; $T = 40.8$ N.

14. Uma pessoa guiando uma bicicleta faz uma curva de raio constante, com velocidade constante de 29,0 km/h. Qual o menor raio para fazê-la sem derrapar, se o coeficiente de atrito estático entre os pneus da bicicleta e o asfalto for de 0.32? 20.7 m.

15. Devido à resistência do ar, as gotas de chuva caem com uma velocidade constante a partir de certa altura. O módulo da força de resistência que o ar exerce é dada por $| \vec{F} | = A v^{2}$ , onde $A$ é uma constante de valor 8×10⁻⁶ N·s²/m² e $v$ é o módulo da velocidade. Nessas circunstâncias, calcule o módulo da velocidade, em m/s, com que uma gota da chuva atinge o solo, sabendo que uma gota possui peso, em módulo, igual a 3.2×10⁻⁷ N. 0.2 m/s.

16. Uma corda é amarrada a um balde de água e o balde é posto a girar num círculo vertical de raio 0.600 m. Calcule o valor mínimo que a velocidade do balde deve ter no ponto mais elevado do círculo para que a água não seja expelida do balde. 2.4 m/s.

17. Os blocos da figura movem-se sobre uma superfície horizontal com atrito, sendo $μ_{c}$ o coeficiente de atrito cinético entre o bloco com massa $M$ e a superfície sobre a qual assenta. Existe igualmente atrito entre as superfícies de ambos os blocos, sendo o coeficiente de atrito estático entre eles $μ_{e}$ .

Represente, em separado, os diagramas de corpo livre para cada um dos dois corpos e escreva a legenda das forças, indicando, se for o caso, os pares ação-reação.
Qual é o valor máximo da força horizontal $\vec{F}$ , $F_{m a x}$ , que se pode aplicar no bloco de cima, de modo a que os blocos permaneçam unidos, sem deslizar um relativamente ao outro?
Mostre que no caso de não haver atrito na superfície horizontal, essa força máxima tem o valor:

$F_{m a x} = μ_{e} (1 + \frac{m}{M}) m g$