Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.
O raio é aproximadamente 16.7 m. A aceleração tangencial (taxa de aumento da velocidade) é igual a
Resolvendo a equação que relaciona a aceleração tangencial com a velocidade e o tempo obtém-se a velocidade após os 4 segundos (72 km/h equivale a 20 m/s)
E a aceleração total é
Este valor é uma aproximação, porque o raio foi calculado de forma aproximada.
Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de , onde é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.
Como cada carro faz a curva com velocidade constante, o tempo que demora é
A velocidade de cada carro é a que conduz ao valor máximo da aceleração normal, ou seja
No caso do automóvel B, o percurso é metade da circunferência de 102 metros de raio
E como tal, o tempo que demora é
No caso do automóvel A, o percurso é metade da circunferência de 82 metros de raio, mais dois segmentos retos de 20 m cada um
E o tempo que demora o carro A é
Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do
repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o
ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a
partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no
ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do
arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:
(a) O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos
AB, BC, CD, DE e EF.
(b) O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade
média nesse percurso.
(a) No trajeto AB,
o módulo da aceleração é 83.33 m/s2. No trajeto EF,
o módulo da aceleração é 111.11 m/s2. No trajeto CD, o módulo da aceleração é nulo, porque o movimento é retilíneo e uniforme. No trajeto BC, a aceleração tem unicamente componente normal:
o módulo da aceleração é 166.67 m/s2. No trajeto DE, a aceleração também tem unicamente componente normal:
o módulo da aceleração é 222.22 m/s2.
(b) A distância total percorrida é a soma dos três segmentos AB, CD e EF, mais os dois arcos BC e DE, ambos com ângulo de radianos:
O tempo que a partícula demora a percorrer o trajeto BCDE é:
Para calcular o tempo que demora no trajeto AB, integra-se uma equação de movimento
e usa-se o mesmo procedimento para calcular o tempo que demora no trajeto EF:
A velocidade média é igual à distância percorrida dividida pelo tempo que demorou:
A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.
Admitindo sentido positivo de esquerda para direita, as velocidades das barras A e B são
E a velocidade do ponto da roda em contacto com a barra A, em relação ao ponto da roda em contacto com a barra B, é igual a
Por ser positiva, conclui-se que a roda está a rodar no sentido horário e com velocidade angular
em unidades SI (radianos por segundo). A velocidade do ponto O, relativa ao ponto da roda em contacto com a barra B é positiva, porque a velocidade angular é no sentido horário, e com valor
Finalmente, a velocidade do ponto O é
em m/s. O sinal negativo indica que o ponto O desloca-se para a esquerda.
Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos . No instante o centro da roda encontra-se em e cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em com e cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.
(a) Como a velocidade do ponto P é nula, a velocidade de C relativa a P é igual a 2 m/s e a velocidade angular da roda é
e por ser constante, o tempo que a roda demora a dar duas voltas é
(b) O ângulo que a reta CP faz com a vertical é dado pela expressão
E a posição dos pontos P e Q, relativas a C, são
A posição do ponto C, em função do tempo é
Assim sendo, as posições dos pontos P e Q, em função do tempo, são
O gráfico das trajetórias desses dois pontos, durante duas voltas, obtém-se com o seguinte comando do Maxima
Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio
que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra
a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser
puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante
de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda
sobre a superfície horizontal, sem derrapar.
(a) Determine o valor da velocidade angular da roda.
(b) Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do
cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
(c) Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do
cilindro a cada segundo.
(a) Como a roda não derrapa, a velocidade do ponto B na figura ao lado é nula. Como tal, a velocidade de A relativa a B, é . Escolhendo o sistema de eixos indicado na figura e distâncias em centímetros, a velocidade do ponto A, que é a mesma velocidade com que a corda está a ser puxada no ponto C, é igual a:
Essa velocidade está também relacionada com a velocidade angular pela expressão:
onde o versor aponta para fora da figura. Igualando as duas expressões anteriores, obtém-se a velocidade angular:
o sinal negativo indica que o vetor aponta para dentro da figura, ou seja, a rotação é no sentido dos ponteiros do relógio.
(b) Como a velocidade angular da roda é no sentido dos ponteiros do relógio, o ponto O desloca-se para a direita com velocidade de valor igual a:
(c) A velocidade do ponto C, em relação ao ponto O, é:
o sentido dessa velocidade, no sentido negativo do eixo dos , indica que os pontos O e C estão a aproximarem-se, ou seja, a corda está a enrolar-se ainda mais e cada segundo enrolam-se 5 cm de corda.