Uma população de dragões, , e uma população de águias, , evoluem de acordo com um modelo de Lotka-Volterra:
As componentes da velocidade de fase são:
e os pontos de equilíbrio são os pontos onde as duas componentes da velocidade de fase são nulas:
A matriz jacobiana do sistema é:
e os valores próprios da matriz da aproximação linear, na vizinhança do primeiro ponto de equilíbrio, (0, 0), são,
Ou seja, o ponto de equilíbrio em (0, 0) é ponto de sela. Os valores próprios da matriz da aproximação linear, na vizinhança do segundo ponto de equilíbrio, (3, 2), são:
E, por serem números imaginários puros, o segundo ponto de equilíbrio é um centro.
O retrato de fase, na região relevante onde as duas populações e são positivas ou nulas, constrói-se com o seguinte comando:
O estado limite é um ciclo, em que as populações das duas espécies oscilam, sem que nenhuma das duas seja nunca extinta.
Considere o modelo de Verhulst para duas populações:
O termo na expressão de implica que a população faz diminuir a população . E o termo na expressão de implica que a população faz aumentar a população . Como tal, trata-se de um sistema predador presa, onde são as presas e os predadores.
As componentes da velocidade de fase são:
e os pontos de equilíbrio são os pontos onde as duas componentes da velocidade de fase são nulas:
Como só interessam os valores positivos das variáveis de estado, o sistema tem então 3 pontos de equilíbrio, nos pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1) do espaço de fase ( , ).
A matriz jacobiana do sistema é:
As matrizes das aproximações lineares nas vizinhanças dos 3 pontos de equilíbrio são então:
A primeira matriz é diagonal e com um único valor próprio, igual a 1. Como tal, o primeiro ponto de equilíbrio, na origem do espaço de fase, é um nó próprio repulsivo.
Os valores próprios nos outros dois pontos de equilíbrio são os seguintes:
Ou seja, o segundo ponto de equilíbrio, (1, 0), é ponto de sela e terceiro ponto de equilíbrio, (0, 1), é um nó impróprio atrativo.
O retrato de fase, na região relevante onde as duas populações e são positivas ou nulas, constrói-se com o seguinte comando:
Se inicialmente existem predadores ( maior que zero), o sistema evolui sempre até extinguirem-se todas as presas, ficando a população de predadores igual a uma unidade.
O sistema dinâmico:
tem um ponto de equilíbrio na origem. Encontre as equações de evolução em coordenadas polares, nomeadamente, as expressões para e em função de e . Explique que tipo de ponto de equilíbrio é a origem e quantos ciclos limite existem.
As derivadas das expressões e são:
Substituindo nas equações de evolução, obtém-se as equações de evolução em coordenadas polares:
que são duas equações lineares para e . Aplicando qualquer método de resolução de equações lineares, obtém-se essas duas expressões. Por exemplo, o método de eliminação; multiplicando a primeira equação por e a segunda por ,
e somando as duas equações obtêm-se a expressão para
Multiplicando a primeira equação de evolução por e a segunda por ,
e subtraindo a primeira equação da segunda obtêm-se a expressão para
Fora da origem, é positiva e, como tal, é sempre positiva. Ou seja, o estado do sistema afasta-se sempre da origem ( aumenta). Enquanto o estado se afasta da origem, dá várias voltas no sentido negativo (sentido dos ponteiros do relógio), porque é igual a -1. Isso implica que a origem é um foco repulsivo e não existe nenhum ciclo limite.
As expressões para e também podem ser obtidas no Maxima com os seguintes comandos:
Em relação ao seguinte sistema não linear:
(a) Encontre as equações de evolução em coordenadas polares (sugestão: use o comando trigreduce para simplificar o resultado).
(b) Trace o gráfico de em função de ( não pode ser negativo), demonstre que o sistema tem um único ciclo limite e determine se é atrativo ou repulsivo.
(c) Escreva a equação do ciclo limite, em função das coordenadas cartesianas ( , ).
(d) Corrobore a resposta traçando o retrato de fase no plano cartesiano ( , ).
(a) Substituem-se as coordenadas cartesianas por coordenadas polares nas duas equações de evolução, e resolvem-se em simultâneo para encontrar as expressões para e (designadas por w e v nos comandos seguintes):
As duas equações de evolução, em coordenadas polares, são então: , .
(b) O gráfico de em função de obtém-se com o comando:
e mostra que existe uma única raiz diferente de zero, em , e aumenta se for menor que 1 e diminui se for maior que 1. Assim sendo, existe um único ciclo limite, atrativo, que é uma circunferência de raio 1.
(c) O ciclo limite é a circunferência de raio 1 e centro na origem, que em coordenadas cartesianas tem equação
(d) Para criar o retrato de fase, em coordenadas cartesianas, é necessário eliminar primeiro a definição das coordenas polares:
