Os elementos de circuitos são produzidos com terminais de tamanho padrão para facilitar a sua montagem. Uma forma de montar circuitos, sem ser preciso soldar (figura à esquerda), é com uma placa de teste (breadboard). Para construir circuitos mais duradouros, pode-se usar uma placa de circuito (stripboard), que é uma placa de um material isolador com furos e com pistas paralelas de cobre num dos lados (figura à direita); o contacto entre diferentes componentes consegue-se inserindo os terminais em furos que estejam na mesma pista, tal como na placa de teste, mas soldando os terminais sobre o cobre. Também se podem construir circuitos mais compactos, utilizando placas de circuito impresso (PCB). Uma PCB é semelhante a uma placa de circuito, mas as pistas de cobre e os furos são desenhados por medida para cada circuito específico.
Um circuito de corrente contínua, ou circuito C.C. (em inglês, Direct Current, D.C.), é um circuito em que todas as fontes de tensão têm força eletromotriz constante e todas as resistências são constantes. Se no circuito forem ligados condensadores, a corrente poderá variar em função do tempo (resposta transitória do circuito), mas passado algum tempo a carga e tensão nos condensadores atingem valores constantes.
Neste capítulo explica-se como calcular os valores iniciais e finais de correntes e cargas e no capítulo sobre processamento de sinais estuda-se a análise da resposta transitória dos circuitos de corrente contínua. Para analisar circuitos é conveniente usar os diagramas simplificados. Um exemplo de diagrama de circuito é a montagem usada para carregar um condensador e a seguir observar como diminui a diferença de potencial quando o condensador é descarregado através de um voltímetro. O diagrama do circuito é apresentado na figura 5.1. A pilha liga-se ao condensador durante algum tempo, até este ficar carregado e é logo desligada. A ação de ligar e desligar a pilha é representada no diagrama de circuito pelo interruptor, que estará fechado enquanto o condensador é carregado.
O voltímetro é representado no diagrama por meio da sua resistência interna . Geralmente, admite-se que o voltímetro não interfere com o circuito, sendo representado apenas pelas setas com sinais positivo e negativo, que indicam os pontos onde são ligados os terminais positivo e negativo do voltímetro. Neste caso a resistência do voltímetro é importante e, por isso, foi desenhada. Um voltímetro ideal teria uma resistência infinita, que não permitiria que o condensador descarregasse, permanecendo a sua diferença de potencial constante. Num voltímetro real, a carga no condensador produz uma corrente através do voltímetro, que faz diminuir a carga e, consequentemente, a diferença de potencial.
A análise de um circuito consiste em calcular a corrente ou diferença de potencial em cada resistência e a carga ou diferença de potencial em cada condensador. Com essas grandezas pode-se também determinar a potência que está a ser dissipada nas resistências e a energia armazenada nos condensadores. Para analisar os circuitos é conveniente usar duas regras gerais chamadas leis de Kirchhoff.
A primeira lei, a lei dos nós ou lei das correntes, estabelece que em qualquer ponto de um circuito onde há separação da corrente (nó), é igual a soma das correntes que entram no ponto e a soma das correntes que dele saem. Por exemplo, no nó representado na figura 5.2, há uma corrente a entrar no nó, e duas correntes e a sair. A lei das correntes implica:
Esta lei é válida sempre que as correntes são estacionárias; nomeadamente, quando a densidade da nuvem de cargas de condução permanece constante dentro do condutor, sem que haja acumulação de cargas em nenhum ponto; nesse caso, toda a carga que entra por um condutor, por unidade de tempo, deverá sair por outros condutores.
A segunda lei designada lei das malhas, ou lei das tensões, estabelece que a soma das diferenças de potencial, em qualquer percurso fechado (malha) num circuito, é sempre nula.
Por exemplo, o circuito na figura 5.3 tem três malhas: ABCDEA, BFGDCB e ABFGDEA. A lei das malhas associa uma equação a cada malha. A equação da malha ABCDEA é:
Na equação anterior, denota o potencial em B, em relação ao potencial em A, ou seja, a voltagem . A equação anterior corrobora-se facilmente tendo em conta essa notação.
Nos circuitos com várias resistências estudados no capítulo 3 foi sempre possível substituir as resistências por uma resistência equivalente e calcular a corrente fornecida pela fonte bem como todas as correntes nas resistências.
Nos casos em que há várias fontes ou quando não é possível associar resistências (ou condensadores) em série e em paralelo até obter uma única resistência (ou condensador) equivalente, é útil usar o método das malhas. Por exemplo, no circuito da figura 5.4 nenhuma das resistências está em série ou em paralelo com qualquer outra. Como tal, não é possível usar o método do capítulo 3.
Usaremos o circuito da figura 5.4para mostrar o fundamento do método das malhas. Na resolução de problemas não não é necessário fazer uma análise como a que segue, pois basta aplicar as regras enunciadas no fim da secção, para obter a matriz do circuito.
Como se mostra na figura 5.5, começa-se por identificar as 3 malhas do circuito e a cada malha atribui-se uma das 3 correntes de malha , e . Note-se que na figura 5.5, as malhas estão desenhadas com forma retangular, mas são equivalentes à malhas do circuito na figura 5.4. É conveniente escolher o mesmo sentido de rotação para todas as correntes de malha; no caso da figura 5.5, escolheu-se o sentido horário.
Nos dispositivos que pertencem apenas a uma malha, a corrente é igual à corrente dessa malha. Por exemplo, na figura 5.5, a corrente na resistência de 3~ é igual a . Nos dispositivos situados entre duas malhas vizinhas, a corrente é a soma algébrica das correntes nessas duas malhas. Por exemplo, a corrente que na resistência de 5 é , do ponto A para o C (ou, de forma equivalente, de C para o A).
Com este método a regra dos nós é garantida em cada nó, e basta aplicar a regra das malhas a cada uma das três malhas para obter 3 equações com as 3 correntes de malha. As diferenças de potencial entre os vários pontos do circuito da figura 5.5, em função das correntes de malha, são as seguintes (unidades SI):
substituindo esses valores, as três equações das malhas são:
Agrupando os termos que dependem de cada uma das correntes, pode-se escrever o sistema na forma matricial:
O sistema matricial 5.5 foi obtido calculando primeiro as diferenças de potencial nas secções do circuito e aplicando a regra das malhas. No entanto, é possível escrever esse sistema imediatamente olhando para o circuito (figura 5.5) e usando as seguintes regras:
A matriz do circuito é sempre simétrica, com os elementos na diagonal positivos e todos os restantes elementos negativos. No exemplo 5.1 as regras acima enunciadas são usadas para escrever diretamente o sistema matricial de equações do circuito.
As 3 correntes de malha são a solução do sistema 5.5, que pode ser obtida por qualquer dos métodos de resolução de sistemas de equações lineares, por exemplo, a regra de Cramer:
Neste caso, todas as correntes obtidas são positivas, o que indica que o sentido das correntes de malha coincide com os sentidos arbitrados na figura 5.5. A corrente que passa pela fonte é então mA; a corrente na resistência de 3 é mA e a corrente na resistência de 4 é mA (ver figura 5.5. Na resistência de 5 , entre as malhas 1 e 2, a corrente é mA, para a direita, que é o sentido de , porque é maior que . Na resistência de 2 a corrente é mA, para a direita, e na resistência de 6 a corrente é mA, para baixo porque .
No circuito representado no diagrama, calcule: (a) A intensidade e sentido da corrente na resistência de 5.6 kΩ. (b) A diferença de potencial na resistência de 3.3 kΩ. (c) A potência fornecida ou dissipada por cada uma das fontes.
Resolução. Começa-se por escolher um sistema consistente de unidades, para poder trabalhar com números, sem ter que escrever unidades em cada equação. Exprimindo os valores das resistências em kΩ e a diferença de potencial em V, os valores das correntes aparecem em mA.
O circuito tem 3 malhas; no entanto, pode-se reduzir o número de malhas para 2, pois as resistências de 2.2 kΩ e 3.3 kΩ estão em paralelo e podem ser substituídas por uma única resistência: 2.2 || 3.3 = (2.2×3.3)/(2.2 + 3.3) = 1.32.
O circuito equivalente obtido, com duas correntes de malha, é:
O sistema matricial correspondente a esse circuito é:
Usando o Maxima, a solução do sistema é:
e os sinais negativos das duas correntes indicam que são no sentido oposto ao sentido que foi arbitrado no diagrama. (a) Na resistência de 5.6 kΩ passa a corrente de malha 1.888, no sentido de A para B, e a corrente de malha 2.829, no sentido de B para A. Consequentemente, a corrente nessa resistência é 2.829 mA, de B para A. (b) A corrente na resistência de 1.32 kΩ é igual à segunda corrente de malha, 2.829 mA, de C para B. Como tal, a diferença de potencial entre C e B, que é também a diferença de potencial na resistência de 3.3 kΩ, é 1.32×2.829=3.73 V (maior potencial em C do que em B). (c) A corrente que passa pela fonte de 3 V é igual á primeira corrente de malha, 1.888 mA; como essa corrente passa do elétrodo positivo para o negativo, a fonte de 3 V dissipa uma potência de 1.888×3=5.664 mW. Na fonte de 9 V, a corrente é igual à segunda corrente de malha, 2.829 mA; como essa corrente passa do elétrodo negativo para o positivo, a fonte fornece uma potência de 2.829×9=25.46 mW.
No exemplo 5.1, se cada uma das correntes de malha e for separada em duas parcelas, e , a equação matricial 5.9 pode ser escrita da forma seguinte:
E, se as correntes , , e forem soluções dos dois sistemas:
ficará garantido que e são a solução da equação 5.9. Estes dois sistemas de equações acima correspondem a dois circuitos mais simples do que o circuito original na figura 5.6, em cada um desses circuitos uma das fontes é substituída por um fio com resistência nula. Esses dois novos circuitos são tão simples, que podem ser resolvidos sem recorrer ao método das malhas, como mostra o exemplo seguinte.
Resolva novamente o exemplo 5.1, usando o princípio de sobreposição.
Resolução. Colocando a fonte de 9 V em curto-circuito na figura 5.6, obtém-se o seguinte circuito:
As correntes , e são as correntes nas três resistências, em unidades de mA. Note"-se que essas já são as correntes reais e não correntes de malha. A resistência total entre os terminais da fonte é:
Como tal, a corrente é:
A diferença de potencial no conjunto em paralelo (5.6 || 1.32) é
e as outras duas correntes são:
Colocando a fonte de 3 V em curto-circuito na figura 5.6, obtém-se o seguinte circuito:
As correntes nas três resistências são agora , e . Note-se que as correntes e têm sentidos opostos aos sentidos de e . A resistência total entre os terminais da fonte é:
e, como tal, a corrente é:
A diferença de potencial no conjunto em paralelo (1.2 || 5.6) é
e as outras duas correntes são:
Com estes resultados e olhando para os dois diagramas de circuito, pode-se calcular:
(para a direita)
(para cima)
(para baixo), que são os mesmos resultados obtidos usando o método das malhas. O resto da resolução é segue os mesmos passos já feitos quando as correntes foram calculadas pelo método das malhas.
A diferença de potencial num condensador é diretamente proporcional à carga armazenada nas suas armaduras. Se ligarmos um condensador, inicialmente sem carga, entre dois pontos de um circuito, a sua diferença de potencial inicial é nula; é como se, nesse instante, fosse feito um curto-circuito entre os dois pontos com um fio de resistência nula. Nos instantes seguintes a diferença de potencial aumenta, à medida que entra carga no condensador; como a diferença de potencial no condensador não pode aumentar indefinidamente, a carga e a tensão atingirão valores finais constantes.
Quando a carga e a tensão no condensador alcançarem os seus valores finais, a corrente no condensador é nula e o condensador pode então ser considerado como um interruptor aberto que não deixa passar corrente. O aumento da carga até ao valor final, no período em que a corrente diminui do valor inicial até zero, constitui a resposta transitória à alteração produzida pela ligação da fonte.
A resposta transitória será estudada no capítulo sobre processamento de sinais. No presente capítulo consideram-se apenas os valores iniciais e finais das grandezas elétricas nos circuitos de corrente contínua. Todos os condensadores no circuito podem ser substituídos por fios com resistência nula, no instante inicial e por interruptores abertos para calcular os valores finais. O tempo necessário para as cargas atingirem os valores finais é habitualmente muito curto.
Um condensador de 1.2 µF, inicialmente descarregado, liga-se a uma pilha com f.e.m. de 9 V e resistência interna de 230 Ω e usa-se um voltímetro com resistência interna de 3.2 kΩ para medir a voltagem no condensador. (a) Determine as correntes inicial e final na pilha. (b) Determine o valor da carga final do condensador.
Resolução. A ligação do condensador à pilha pode ser representada por um interruptor que está inicialmente aberto. O voltímetro deve ser ligado em paralelo ao condensador e, assim sendo, representa-se por uma resistência de 3.2 kΩ em paralelo com o condensador. O diagrama do circuito é então
(a) No instante inicial, quando se fecha o interruptor, a voltagem do condensador e nula, porque está descarregado, sendo equivalente a um fio com resistência nula; o diagrama equivalente é os seguinte
Note-se que toda a corrente que sai da fonte passa por esse fio e nenhuma corrente passa pelo voltímetro, porque a resistência do fio é nula. Outra forma de explicar este resultado é que como a resistência do fio é nula, a diferença de potencial nele também é nula e como está em paralelo com o voltímetro, a voltagem do voltímetro é nula (está em curto-circuito); a corrente no volimetro é e como é nula, a corrente no voltímetro também é nula. A corrente no instante inicial é então igual a (unidades SI)
Quando o condensador fica completamente carregado, é então equivalente a um interruptor aberto e o circuito equivalente é:
e a corrente final é igual a
(b) Como o condensador está ligado em paralelo com o voltímetro, a diferença de potencial final entre as suas armaduras é igual à diferença de potencial final na resistência de 3.2 Ω, que é:
e a carga final do condensador é igual a
ou seja, µC. Note-se que os resultados dos comandos do Maxima mostram apenas 4 algarismos significativos, mas internamente está a ser usada uma precisão maior nos cálculos e nos valores armazenados nas variáveis.
No circuito do exemplo 5.1, se a resistência de 5.6 kΩ for substituída por um condensador de 1.8 µF, qual a carga final desse condensador e qual a sua polaridade?
Resolução. O diagrama do circuito é:
Quando a carga alcança o valor final, o condensador atua como interruptor aberto e o circuito equivalente é:
Como tal, o circuito também é equivalente a uma fonte única de 6~V, no mesmo sentido da fonte de 9~, ligada a uma resistência de 2.52~kΩ. A corrente é então no sentido anti-horário e com intensidade igual a
Essa corrente permite calcular a diferença de potencial no condensador (igual à diferença de potencial entre os pontos A e B) e a carga:
A carga final do condensador é então 10.543 µC e a polaridade é positiva na armadura ligada ao ponto B e negativa na armadura ligada ao ponto A (o cálculo de DV com o comando %i7 foi feito admitindo um potencial de B maior do que o potencial de A).
No circuito representado no diagrama, determine a potência dissipada em cada resistência e a energia armazenada em cada condensador, no estado estacionário.
Resolução. Quando o circuito estiver no estado estacionário, os condensadores comportam-se como interruptores abertos e o circuito equivalente é o seguinte
Na resistência de 39 kΩ a corrente é nula (não tem por onde circular) e o circuito tem apenas uma malha, com resistência total 1.5 + 18 + 16 = 35.5 kΩ e corrente igual a
A partir dessa corrente calculam-se a seguir todas as potências dissipadas nas resistências e as energias armazenadas nos condensadores.
(Para conferir a sua resposta, clique nela.)
Perguntas: 1. C. 2. C. 3. B. 4. C. 5. D.
Problemas
As cargas que chegam a um nó têm que passar por algum dos possíveis percursos ligados a esse nó; isso não tem nada a ver com as energias das cargas.
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As cargas que chegam a um nó tem que passar por algum dos possíveis percursos ligados a esse nó; a conservação da carga implica que a carga total que sai do nó é igual à carga total que chega a esse nó.
(clique para continuar)
As cargas que chegam a um nó têm que passar por algum dos possíveis percursos ligados a esse nó; isso não tem nada a ver com as energias das cargas.
(clique para continuar)
As cargas que chegam a um nó têm que passar por algum dos possíveis percursos ligados a esse nó; isso não tem nada a ver com as energias das cargas.
(clique para continuar)
No estado estacionário o condensador pode ficar carregado com carga diferente de zero.
(clique para continuar)
No estado estacionário o condensador pode ficar carregado com carga diferente de zero e, consequentemente, com diferença de potencial diferente de zero.
(clique para continuar)
No estado estacionário a carga no condensador já não se altera, o que implica corrente nula.
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A capacidade de um condensador é uma constante independente do tempo.
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No estado estacionário o condensador pode ficar carregado com carga diferente de zero e, consequentemente, com energia diferente de zero.
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No estado estacionário a resistência de 6 kΩ não interessa, porque o condensador comporta-se como circuito aberto que não deixa passar nenhuma corrente por essa resistência.
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No estado estacionário toda a corrente passa unicamente pelas resistências de 3 kΩ e 2 kΩ, em série.
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No estado estacionário a resistência de 6 kΩ não interessa, porque o condensador comporta-se como circuito aberto que não deixa passar nenhuma corrente por essa resistência.
(clique para continuar)
No estado estacionário há corrente através das resistências de 3 kΩ e 2 kΩ.
(clique para continuar)
No estado estacionário há corrente através das resistências de 3 kΩ e 2 kΩ.
(clique para continuar)
O sentido da corrente é de cima para baixo (do ponto com maior potencial para o ponto com menor potencial).
(clique para continuar)
O sentido da corrente é de esquerda para direita (do ponto com maior potencial para o ponto com menor potencial).
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(clique para continuar)
Essa equação implica então que é nula, que não é certo.
(clique para continuar)
Essa equação implica então que é nula, que não é certo.
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é 6 volt maior que , devido à fonte.
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é menor que , porque a corrente circula de A para C.
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é menor que , porque a corrente circula de C para B.
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é 6 volt maior que , devido à fonte.
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As cargas que chegam a um nó têm que passar por algum dos possíveis percursos ligados a esse nó; isso não tem nada a ver com as energias das cargas.
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