B. Números complexos e fasores
B.1 Números complexos
A forma retangular dum número complexo é
(B.1) |
onde (parte real) e (parte imaginária) são dois números reais, no campo dos números reais, , e o produto representa um número imaginário. A figura B.1 mostra o chamado plano complexo, que é um plano onde cada ponto corresponde a um número complexo ; as suas partes real e imaginária são as projeções e em dois eixos perpendiculares, designados de Re (eixo real) e Im (eixo imaginário).
Definem-se o módulo e o ângulo de fase do número complexo :
(B.2) |
No plano complexo, é a distância desde o ponto onde se encontra , até à origem e é o ângulo que o segmento desde até à origem faz com o semieixo Re positivo (ver figura B.1).
O número complexo pode então ser escrito também na chamada forma polar,
(B.3) |
A função complexa entre parêntesis na equação (B.3) costuma ser designada , ou ainda, , por ter propriedades semelhantes à função exponencial real . Para mostrar mais facilmente algumas operações entre números complexos, escreveremos a forma polar em algumas das duas notações seguintes:111A expressão é designada de fórmula de Euler.
(B.4) |
A soma de dois números complexos, e , é outro número complexo, , com partes real e imaginária iguais à soma das respetivas partes dos dois números:
(B.5) |
esta é a mesma forma da soma de dois vetores no plano , em função das suas componentes. Como tal, a soma de números complexos segue a mesma regra do paralelogramo, no plano complexo, do que a soma de vetores, como mostra a figura B.2. E a soma de números complexos tem as mesmas propriedades da soma de vetores.
Em contraste com os vetores, no caso dos números complexos é possível definir um produto que dá como resultado outro número complexo e tem as mesmas propriedades do produto entre números reais (comutatividade, associatividade, distributividade, etc.). O produto entre dois números complexos, e , é outro número complexo, , que pode ser obtido usando a sua propriedade distributiva e o facto de que :
(B.6) |
Produto este que tem uma expressão mais simples em termos das componentes polares dos números complexos:
(B.7) |
Ou seja, o produto tem módulo igual ao produto dos módulos de e e ângulo de fase igual à soma dos ângulos de fase de e . E a divisão é feita dividindo os módulos e subtraindo as fases:
(B.8) |
Define-se o conjugado, , do número , mantendo o módulo igual mas trocando o sinal do ângulo de fase:
(B.9) |
O produto de um número complexo com o seu conjugado é igual ao seu módulo ao quadrado:
(B.10) |
B.2 Fasores
As funções sinusoidais com a forma geral:
(B.11) |
são caraterizadas pela sua amplitude , frequência angular, , e ângulo de fase .
A forma polar (B.3) dum número complexo mostra que a sua parte real é,
(B.12) |
o qual sugere uma outra representação para as funções sinusoidais (B.11):
(B.13) |
Define-se o fasor da função como o número complexo,
(B.14) |
e a função escreve-se,
(B.15) |
Consideremos uma segunda função sinusoidal, , com a mesma frequência angular , mas com outro fasor diferente, :
(B.16) |
A soma das funções e é:
(B.17) |
onde usamos a propriedade de que a parte real da soma de dois números complexos é igual à soma das suas partes reais.
Ou seja, a soma das duas funções sinusoidais com a mesma frequência é também uma função sinusoidal com a mesma frequência e com um fasor igual à soma dos fasores das duas funções, que é uma simples soma de números complexos. Note-se o uso da notação especial para os fasores, , devido a que a pesar de somarem-se como números complexos que são, dando outro fasor, o produto complexo entre dois fasores da um número complexo que já não representa o fasor de nenhuma função sinusoidal.
A derivada da função , igual a,
(B.18) |
pode ser escrita também como:
(B.19) |
que é outra função sinusoidal, com fasor . Isto é, o resultado da derivação de uma função sinusoidal é multiplicar o módulo do seu fasor por e aumentar ao seu ângulo de fase.
O mesmo resultado pode ser obtido mais facilmente derivando a expressão (B.15) (a derivada da parte real é igual à parte real da derivada):
(B.20) |
O qual mostra que o fasor da derivada de é o fasor de vezes :
(B.21) |
De forma semelhante, a primitiva da expressão (B.15) conduz a:
(B.22) |
E conclui-se que o fasor da primitiva de é o fasor de dividido por :
(B.23) |
Em , a expressão (B.15) mostra que . Já em , é um número complexo com módulo unitário e ângulo de fase que aumenta diretamente proporcional ao tempo. O produto do fasor por deixa o seu módulo igual mas faz rodar o seu ângulo de fase em , no sentido positivo (do eixo Re para o eixo Im). Como tal, o fasor roda no plano complexo, com velocidade angular constante e a cada instante o valor da função é a projeção do fasor, após rodar, no eixo Re. O lado esquerdo da figura B.3 mostra a representação do fasor , como um vetor no plano complexo, e o lado direito mostra o fasor multiplicado por , em quatro instantes: , , e , em que é o seu período de rotação (em cada intervalo o vetor roda radianos).
Os valores da função nos quatro instantes , , e são as quatro coordenadas , , e do vetor no eixo real. Os fasores são vetores que rodam no plano complexo, em função do tempo; os fasores de funções sinusoidais com a mesma frequência rodam com a mesma velocidade angular e, portanto, a soma deles também roda com a mesma frequência.