B. Números complexos e fasores

Jaime E. Villate e Luís Miguel Martelo
(21 de dezembro de 2023)

B.1 Números complexos

A forma retangular dum número complexo z é

z=x+iy (B.1)

onde x (parte real) e y (parte imaginária) são dois números reais, no campo dos números reais, i=1, e o produto iy representa um número imaginário. A figura B.1 mostra o chamado plano complexo, que é um plano onde cada ponto corresponde a um número complexo z; as suas partes real e imaginária são as projeções x e y em dois eixos perpendiculares, designados de Re (eixo real) e Im (eixo imaginário).

Número complexo
Figura B.1: Número complexo z=x+iy representado no plano complexo.

Definem-se o módulo |z| e o ângulo de fase φ do número complexo z:

|z|=x2+y2  φ=tan1(yx) (B.2)

No plano complexo, |z| é a distância desde o ponto onde se encontra z, até à origem e φ é o ângulo que o segmento desde z até à origem faz com o semieixo Re positivo (ver figura B.1).

O número complexo z pode então ser escrito também na chamada forma polar,

z=|z|(cosφ+isinφ) (B.3)

A função complexa entre parêntesis na equação (B.3) costuma ser designada cis(φ), ou ainda, eiφ, por ter propriedades semelhantes à função exponencial real ex. Para mostrar mais facilmente algumas operações entre números complexos, escreveremos a forma polar em algumas das duas notações seguintes:111A expressão eiφ=(cosφ+isinφ) é designada de fórmula de Euler.

z=|z|eiφ    z=|z|φ (B.4)

A soma de dois números complexos, z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2, é outro número complexo, z1+z2, com partes real e imaginária iguais à soma das respetivas partes dos dois números:

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) (B.5)

esta é a mesma forma da soma de dois vetores no plano xy, em função das suas componentes. Como tal, a soma de números complexos segue a mesma regra do paralelogramo, no plano complexo, do que a soma de vetores, como mostra a figura B.2. E a soma de números complexos tem as mesmas propriedades da soma de vetores.

Adição de números complexos no plano complexo.
Figura B.2: Adição de números complexos no plano complexo.

Em contraste com os vetores, no caso dos números complexos é possível definir um produto que dá como resultado outro número complexo e tem as mesmas propriedades do produto entre números reais (comutatividade, associatividade, distributividade, etc.). O produto entre dois números complexos, z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2, é outro número complexo, z1z2, que pode ser obtido usando a sua propriedade distributiva e o facto de que i2=1:

z1z2 =(x1+iy1)(x2+iy2)
=x1x2+i2y1y2+ix1y2+ix2y1
=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1) (B.6)

Produto este que tem uma expressão mais simples em termos das componentes polares dos números complexos:

z1z2=|z1z2|ei(φ1+φ2)=|z1z2|(φ1+φ2) (B.7)

Ou seja, o produto z1z2 tem módulo igual ao produto dos módulos de z1 e z2 e ângulo de fase igual à soma dos ângulos de fase de z1 e z2. E a divisão é feita dividindo os módulos e subtraindo as fases:

z1z2=|z1z2|ei(φ1φ2)=|z1z2|(φ1φ2) (B.8)

Define-se o conjugado, z*, do número z, mantendo o módulo igual mas trocando o sinal do ângulo de fase:

z*=|z|eiφ=|z|φ=xiy (B.9)

O produto de um número complexo com o seu conjugado é igual ao seu módulo ao quadrado:

zz*=z*z=|z|2 (B.10)

B.2 Fasores

As funções sinusoidais com a forma geral:

f(t)=fmáxcos(ωt+φ) (B.11)

são caraterizadas pela sua amplitude fmáx, frequência angular, ω, e ângulo de fase φ.

A forma polar (B.3) dum número complexo mostra que a sua parte real é,

Re(z)=Re(eiφ)=|z|cos(φ) (B.12)

o qual sugere uma outra representação para as funções sinusoidais (B.11):

f(t)=Re(fmáxei(ωt+φ))=Re(fmáxeiφeiωt) (B.13)

Define-se o fasor da função f(t) como o número complexo,

𝐟=fmáxeiφ=fmáxφ (B.14)

e a função escreve-se,

f(t)=Re(𝐟eiωt) (B.15)

Consideremos uma segunda função sinusoidal, g(t), com a mesma frequência angular ω, mas com outro fasor diferente, 𝐠:

g(t)=gmáxcos(ωt+φ)=Re(𝐠eiωt) (B.16)

A soma das funções f e g é:

f(t)+g(t)=Re(𝐟eiωt)+Re(𝐠eiωt)=Re[(𝐟+𝐠)eiωt] (B.17)

onde usamos a propriedade de que a parte real da soma de dois números complexos é igual à soma das suas partes reais.

Ou seja, a soma das duas funções sinusoidais com a mesma frequência é também uma função sinusoidal com a mesma frequência e com um fasor igual à soma dos fasores das duas funções, que é uma simples soma de números complexos. Note-se o uso da notação especial para os fasores, 𝐟, devido a que a pesar de somarem-se como números complexos que são, dando outro fasor, o produto complexo entre dois fasores da um número complexo que já não representa o fasor de nenhuma função sinusoidal.

A derivada da função f(t), igual a,

f(t)=ωfmáxsin(ωt+φ) (B.18)

pode ser escrita também como:

f(t)=ωfmáxcos(ωt+φ+π2) (B.19)

que é outra função sinusoidal, com fasor ωfmáx(φ+π/2). Isto é, o resultado da derivação de uma função sinusoidal é multiplicar o módulo do seu fasor por ω e aumentar π/2 ao seu ângulo de fase.

O mesmo resultado pode ser obtido mais facilmente derivando a expressão (B.15) (a derivada da parte real é igual à parte real da derivada):

f(t)=Re(iω𝐟eiωt) (B.20)

O qual mostra que o fasor da derivada de f é o fasor de f vezes iω:

iω𝐟=(ωπ/2)(fmáxφ)=ωfmáx(φ+π2) (B.21)

De forma semelhante, a primitiva da expressão (B.15) conduz a:

fdt=Re(𝐟iωeiωt) (B.22)

E conclui-se que o fasor da primitiva de f é o fasor de f dividido por iω:

𝐟iω=fmáxφωπ/2=fmáxω(φπ2) (B.23)

Em t=0, a expressão (B.15) mostra que f(0)=Re(𝐟). Já em t>0, eiωt=1ωt é um número complexo com módulo unitário e ângulo de fase ωt que aumenta diretamente proporcional ao tempo. O produto do fasor por eiωt deixa o seu módulo igual mas faz rodar o seu ângulo de fase em ωt, no sentido positivo (do eixo Re para o eixo Im). Como tal, o fasor roda no plano complexo, com velocidade angular ω constante e a cada instante t o valor da função f é a projeção do fasor, após rodar, no eixo Re. O lado esquerdo da figura B.3 mostra a representação do fasor 𝐟, como um vetor no plano complexo, e o lado direito mostra o fasor multiplicado por eiωt, em quatro instantes: t0=0, t1=T/4, t2=T/2 e t3=3T/2, em que T=2π/ω é o seu período de rotação (em cada intervalo T/4 o vetor roda ωT/4=π/2 radianos).

Fasor
Figura B.3: Fasor 𝐟 no plano complexo (esquerda) e valores de f(t) em 4 instantes (direita).

Os valores da função f(t) nos quatro instantes t0, t1, t2 e t3 são as quatro coordenadas f0, f1, f2 e f3 do vetor no eixo real. Os fasores são vetores que rodam no plano complexo, em função do tempo; os fasores de funções sinusoidais com a mesma frequência rodam com a mesma velocidade angular e, portanto, a soma deles também roda com a mesma frequência.