8. Cálculo do campo magnético

Jaime E. Villate e Luís Miguel Martelo
(21 de dezembro de 2023)
Problema 8.1

A figura mostra dois fios compridos e paralelos, no plano perpendicular a eles. A intensidade da corrente em cada fio é a mesma, I, mas com sentidos opostos, como indicam o ponto e o x nos dois fios.
(a) Represente graficamente os vetores de campo magnético devido a cada fio e o campo magnético resultante no ponto P.
(b) Encontre a expressão do módulo do campo magnético em qualquer ponto P sobre o eixo x, em função da distância x de P à origem.

Resolução. (a) No plano xy, as linhas do campo B1 devido a fio de cima são circunferências com centro no fio, no sentido contrário aos ponteiros do relógio. No ponto P, o vetor B1 é perpendicular ao segmento entre P e o fio, no sentido indicado na figura seguinte. As linhas do campo devido ao fio de baixo rodam no sentido dos ponteiros do relógio e no ponto P o campo B2 é perpendicular ao segmento entre P e esse fio, como mostra a figura:

Como os dois fios estão à mesma distância do ponto P, e transportam correntes com a mesma intensidade, os módulos de B1 e B2 são iguais. E como o ângulo que cada um desses vetores faz com o eixo dos x é o mesmo, o campo resultante em P, B=B1+B2, será no sentido positivo do eixo dos x, tal como mostra a figura acima.

(b) Os módulos dos dois campos no ponto P são:

B1=B2=2kmId

O campo resultante, B=Bıˆ, no sentido positivo do eixo dos x, tem módulo B igual à soma das componentes x de B1 e B2

B=2B1cosθ=4kmIdcosθ=4kmIad2=4kmIax2+a2
Problema 8.2

Considere o fio representado na figura, composto por dois segmentos semicirculares concêntricos de raios R1 e R2, percorrido por uma corrente de intensidade I. Determine o campo magnético no centro P dos dois segmentos semicirculares.

Resolução. Com plano xy no plano do fio e origem no ponto P, o vetor posição r do ponto P é nulo. Nos dois segmentos retilíneos o vetor posição r de um ponto no segmento é na mesma direção da corrente e, como tal,

I×(rr)=0

No segmento semicircular de raio R1, o vetor r é perpendicular à corrente I e, usando a regra da mão direita obtém-se:

I×(rr)=I|r|kˆ=IR1kˆ

O campo magnético produzido por esse segmento, no ponto P, calcula-se a partir da lei de Biot-Savart:

B=km0πI×(rr)|rr|3R1dϕ=πkmIR1kˆ

No segmento semicircular de raio R2, o vetor r também é perpendicular à corrente I, mas a regra da mão direita conduz a um vetor oposto a kˆ:

I×(rr)=I|r|kˆ=IR2kˆ

E o campo magnético produzido por esse segmento, no ponto P, é igual a:

B=km0πI×(rr)|rr|3R2dϕ=πkmIR2kˆ

O campo total é a soma vetorial dos campos dos dois segmentos semicirculares:

B=πkmI(1R11R2)kˆ

em que o versor kˆ aponta para fora da folha.

Problema 8.3

A figura mostra uma bobina de Helmholtz, formada por duas bobinas circulares, cada uma de raio R e com N espiras, ambas com eixo no eixo z, paralelas e a uma distância R entre elas. A corrente I é igual nas duas bobinas e circula no mesmo sentido em ambas. Com essa configuração é possível produzir campo magnético aproximadamente constante na região central entre as duas bobinas.

(a) Encontre a expressão B(z) do módulo do campo magnético em função de z, com z=0 no ponto médio entre os centros das duas bobinas.
(b) Mostre que as duas primeiras derivadas de B(z) são nulas em z=0.
(c) Mostre que os três primeiros termos na série de Taylor de B(z) em torno de z=0 conduzem a um valor constante.

Resolução. (a) O módulo do campo magnético de cada bobina ao longo do eixo z, calculado no exemplo 8.3 do livro, é:

2πkmNIR2(d2+R2)3/2

onde d é a distância desde o centro da bobina. Na bobina de cima d=zR/2 e na bobina de baixo d=z+R/2. Como os campos das duas bobinas são ambos no sentido positivo do eixo z, o campo total é também nessa direção e tem módulo:

B(z)=2πkmNIR2((zR2)2+R2)3/2+2πkmNIR2((z+R2)2+R2)3/2

(b) Derivando B(z) obtém-se:

dBdz=6πkmNIR2(zR2)((zR2)2+R2)5/26πkmNIR2(z+R2)((z+R2)2+R2)5/2

e em z=0 o resultado é:

dBdz|0=3πkmNIR3(R24+R2)5/23πkmNIR3(R24+R2)5/2=0

A segunda derivada é:

d2Bdz2= 6πkmNIR2((zR2)2+R2)5/26πkmNIR2((z+R2)2+R2)5/2
+30πkmNIR2(zR2)2((zR2)2+R2)7/2+30πkmNIR2(z+R2)2((z+R2)2+R2)7/2

e em z=0 o resultado é:

d2Bdz2|0 =12πkmNIR2(R24+R2)5/2+15πkmNIR4(R24+R2)7/2
=384πkmNI55/2R3+1920πkmNI57/2R3=0

(c) Os três primeiros termos na série de Taylor de B(z) em torno de z=0 são:

B(z)=B(0)+dBdz|0z+d2Bdz2|0z2

e usando os resultados das alíneas anteriores obtém-se:

B(z)=32πkmNI53/2R

que não depende de z.

Problema 8.4

Um condutor cilíndrico oco, com raio interno a e raio externo b transporta uma corrente I, paralela ao eixo do condutor, distribuída uniformemente na secção transversal do condutor. Encontre a expressão do campo magnético em função da distância até ao eixo do cilindro, ϱ.

Resolução. A figura mostra a secção transversal do condutor. As linhas de campo magnético serão circunferências perpendiculares ao eixo do condutor e com centro nele; a curva C na figura é uma dessas linhas de campo, de raio ϱ entre 0 e .

A área da secção transversal do condutor é π(b2a2), e como a corrente está distribuída uniformemente, a densidade de corrente é constante e com módulo igual a:

J=Iπ(b2a2)

o integral de linha do campo magnético, ao longo da curva C na figura, é:

CBdr=Bds=2πϱB

E usando a lei de Ampère,

CBdr=4πkmIC

concluímos que:

B=2kmICϱ

Se o raio do círculo for menor que a, a corrente interna IC e o campo magnético serão nulos:

B=0  (ϱ<a)

se ϱ>b, a corrente interna será igual à corrente total I e o campo magnético será:

B=2kmIϱϕˆ  (ϱ>b)

onde ϕˆ é o versor azimutal num sistema de coordenadas cilíndricas em que kˆ aponta na direção e sentido da corrente. Finalmente, dentro do condutor (aϱb) a corrente interna calcula-se multiplicando a área da parte da secção do condutor dentro do círculo, π(ϱ2a2), vezes a densidade da corrente. O resultado obtido é:

B=2kmIϱ(ϱ2a2b2a2)ϕˆ(aϱb)
Problema 8.5

Um fio condutor cilíndrico muito comprido, de raio a, conduz corrente de intensidade I. A corrente está distribuída de forma não-uniforme, com J=Aϱ3, onde ϱ é a distância até o eixo do fio e A uma constante. Determine a expressão do campo magnético no interior e no exterior do fio.

Resolução. Escolhendo o eixo z no eixo do cilindro, no sentido da corrente, e como a densidade de corrente depende unicamente da distância ao eixo, existe simetria cilíndrica e as linhas de campo magnético serão circunferências perpendiculares ao cilindro e com centro no eixo dos z. O integral de linha do campo B, ao longo de uma linha de campo magnético de raio ϱ é:

CBdr=Bds=2πϱB

E usando a lei de Ampère, obtemos

CBdr=4πkmIC

Comparando as duas equações anteriores, conclui-se que:

B=2kmICϱ

Se ϱ for menor que o raio do cilindro, a corrente através de C será:

IC=JdA=A02π0ϱr4drdϕ=25πAϱ5

Se ϱ for maior do que o raio do cilindro, o integral de J é no intervalo 0ra e no resultado anterior basta substituir ϱ por a:

IC=25πAa5=I

Como tal, a constante A é igual a:

A=5I2πa5

e o módulo do campo magnético é:

B={2kmIϱϱa2kmIa5ϱ4ϱa

O campo B é na direção azimutal ϕˆ.

Problema 8.6

A figura representa três fios condutores retilíneos, muito compridos e paralelos ao eixo z, com correntes no sentido positivo desse eixo. O primeiro fio passa pelo ponto (x, y) = (0, 1 cm) e tem corrente de 0.64 A, o segundo fio passa pelo pela origem e tem corrente de 0.63 A e o terceiro fio passa pelo ponto (x, y) = (2 cm, 0) e tem corrente de 0.43 A. Calcule o módulo da força magnética resultante, por unidade de comprimento, no fio que passa pela origem.

Resolução. Ambos fios produzem forças atrativas no fio que passa pela origem. Em unidades SI, a força produzida pelo fio que passa pelo ponto (0, 1 cm), por unidade de comprimento, é igual a:

F1l=2×107×0.64×0.630.01ȷˆ=8.064×106ȷˆ

E o fio que passa pelo ponto (2 cm, 0) produz força por unidade de comprimento igual a:

F2l=2×107×0.43×0.630.02ıˆ=2.709×106ıˆ

A força resultante sobre o fio na origem, por unidade de comprimento, é então:

Fl=2.709×106ıˆ+8.064×106ȷˆ

O módulo da força, por unidade de comprimento, é igual a:

Fl=2.7092+8.064×106=8.507μNm
Problema 8.7

Considere dois fios de cobre, retilíneos e paralelos, de 60 cm de comprimento, distanciados de 9 cm e com raios de 2 mm e 3 mm. Calcule o valor da força magnética entre os fios quando cada um deles for ligado a uma f.e.m. de 1.5 V. (Use o valor da resistividade do cobre à temperatura ambiente: 17 nΩ·m.)

Resolução. As resistências dos fios, R1 e R2, calculam-se multiplicando a resistividade do cobre pelo comprimento do fio, dividido pela área da secção transversal do fio (unidades SI):

R1 =ρL1πr12=17×109×0.6π×0.0022=8.117×104Ω
R2 =ρL2πr22=17×109×0.6π×0.0032=3.608×104Ω

A corrente em cada fio é igual à diferença de potencial sobre a resistência do fio:

I1 =ΔVR1==1.58.117×104=1848A
I2 =ΔVR2=1.53.608×104=4158A

O módulo da força magnética entre os dois fios é:

F=kmI1I2Ld=2×107×0.6×1848×41580.09=10.25N

Comentários: A diferença de potencial de 1.5 V em cada fio conduz a correntes de milhares de ampere, que queimavam um fio de apenas uns poucos milímetros de raio. Se fosse usada uma pilha de 1.5 V, a resistência interna provavelmente seria maior do que a resistência de cada fio; como tal, a diferença de potencial no fio seria muito menor do que 1.5 V e a própria pilha aqueceria com o fio. Para realizar esse tipo de experiências para medir a força magnética entre dois fios de cobre, costuma ligar-se uma resistência em série para reduzir a intensidade da corrente, e a força magnética a medir será muito menor.

Problema 8.8

A figura mostra as linhas de campo magnético de um fio com corrente, dentro de um campo magnético externo uniforme Bext; o fio é perpendicular à folha e os eixos y e z foram escolhidos sobre o plano da folha.
(a) Escreva o versor na direção do campo externo, usando o sistema de eixos dado.
(b) Escreva o versor direção da corrente no fio.
(c) Calcule e represente o vetor unitário na direção da força sobre o fio.
(d) Considerando que I=0.5 A e se a força sobre o fio, por unidade de comprimento, for de 2×105 N/m, calcule a distância desde o fio até o ponto P.

Resolução. (a) O campo externo aponta da direita para a esquerda, que no sistema de eixos yz é:

Bˆext=cos30ȷˆ+sin30kˆ=12(3ȷˆ+kˆ)

(b) Na vizinhança do fio, as linhas de campo rodam no sentido contrário dos ponteiros do relógio, indicando que a corrente do fio é para cá da folha, ou seja, na direção de ȷˆ×kˆ que é o versor ıˆ.

(c) A direção e sentido da força é a mesma de I×Bext, ou seja,

ıˆ×Bˆext=12ıˆ×(3ȷˆ+kˆ)=12(ȷˆ3kˆ)

Não é necessário dividir pelo módulo do vetor, porque este vetor já tem módulo unitário. Observe-se que a direção e sentido da força é de cima para baixo na figura.

(d) A força magnética sobre o fio é produzida pelo campo externo Bext. Usando a expressão para a força magnética sobre o fio por unidade de comprimento, F/L, obtém-se o módulo do campo externo (unidades SI):

FL=IBext2×105=0.5BextBext=4×105

No ponto P, o campo produzido pelo fio tem o mesmo módulo do campo externo. Igualando à expressão para o módulo do campo produzido pelo fio no ponto P ao módulo do campo externo, encontra-se a distância d (unidades SI):

2kmId=Bextd=2kmIBext=1074×105=2.5×103

O ponto P encontra-se a 2.5 mm do fio.