8. Cálculo do campo magnético
Problema 8.1
A figura mostra dois fios compridos e paralelos, no plano
perpendicular a eles. A intensidade da corrente em cada fio é a
mesma, , mas com sentidos opostos, como indicam o ponto e o x nos
dois fios.
(a) Represente graficamente os vetores de campo magnético
devido a cada fio e o campo magnético resultante no ponto
P.
(b) Encontre a expressão do módulo do campo magnético em
qualquer ponto P sobre o eixo , em função da distância de P à
origem.
Resolução. (a) No plano , as linhas do campo devido a fio de cima são circunferências com centro no fio, no sentido contrário aos ponteiros do relógio. No ponto P, o vetor é perpendicular ao segmento entre P e o fio, no sentido indicado na figura seguinte. As linhas do campo devido ao fio de baixo rodam no sentido dos ponteiros do relógio e no ponto P o campo é perpendicular ao segmento entre P e esse fio, como mostra a figura:
Como os dois fios estão à mesma distância do ponto P, e transportam correntes com a mesma intensidade, os módulos de e são iguais. E como o ângulo que cada um desses vetores faz com o eixo dos é o mesmo, o campo resultante em P, , será no sentido positivo do eixo dos , tal como mostra a figura acima.
(b) Os módulos dos dois campos no ponto P são:
O campo resultante, , no sentido positivo do eixo dos , tem módulo igual à soma das componentes de e
Problema 8.2
Considere o fio representado na figura, composto por dois segmentos semicirculares concêntricos de raios e , percorrido por uma corrente de intensidade . Determine o campo magnético no centro P dos dois segmentos semicirculares.
Resolução. Com plano no plano do fio e origem no ponto P, o vetor posição do ponto P é nulo. Nos dois segmentos retilíneos o vetor posição de um ponto no segmento é na mesma direção da corrente e, como tal,
No segmento semicircular de raio , o vetor é perpendicular à corrente e, usando a regra da mão direita obtém-se:
O campo magnético produzido por esse segmento, no ponto P, calcula-se a partir da lei de Biot-Savart:
No segmento semicircular de raio , o vetor também é perpendicular à corrente , mas a regra da mão direita conduz a um vetor oposto a :
E o campo magnético produzido por esse segmento, no ponto P, é igual a:
O campo total é a soma vetorial dos campos dos dois segmentos semicirculares:
em que o versor aponta para fora da folha.
Problema 8.3
A figura mostra uma bobina de Helmholtz, formada por duas bobinas circulares, cada uma de raio e com espiras, ambas com eixo no eixo , paralelas e a uma distância entre elas. A corrente é igual nas duas bobinas e circula no mesmo sentido em ambas. Com essa configuração é possível produzir campo magnético aproximadamente constante na região central entre as duas bobinas.
(a) Encontre a expressão do módulo do campo magnético
em função de , com no ponto médio entre os
centros das duas bobinas.
(b) Mostre que as duas primeiras derivadas de são
nulas em .
(c) Mostre que os três primeiros termos na série de Taylor de
em torno de conduzem a um valor constante.
Resolução. (a) O módulo do campo magnético de cada bobina ao longo do eixo , calculado no exemplo 8.3 do livro, é:
onde é a distância desde o centro da bobina. Na bobina de cima e na bobina de baixo . Como os campos das duas bobinas são ambos no sentido positivo do eixo , o campo total é também nessa direção e tem módulo:
(b) Derivando obtém-se:
e em o resultado é:
A segunda derivada é:
e em o resultado é:
(c) Os três primeiros termos na série de Taylor de em torno de são:
e usando os resultados das alíneas anteriores obtém-se:
que não depende de .
Problema 8.4
Um condutor cilíndrico oco, com raio interno e raio externo transporta uma corrente , paralela ao eixo do condutor, distribuída uniformemente na secção transversal do condutor. Encontre a expressão do campo magnético em função da distância até ao eixo do cilindro, .
Resolução. A figura mostra a secção transversal do condutor. As linhas de campo magnético serão circunferências perpendiculares ao eixo do condutor e com centro nele; a curva C na figura é uma dessas linhas de campo, de raio entre 0 e .
A área da secção transversal do condutor é , e como a corrente está distribuída uniformemente, a densidade de corrente é constante e com módulo igual a:
o integral de linha do campo magnético, ao longo da curva C na figura, é:
E usando a lei de Ampère,
concluímos que:
Se o raio do círculo for menor que , a corrente interna e o campo magnético serão nulos:
se , a corrente interna será igual à corrente total e o campo magnético será:
onde é o versor azimutal num sistema de coordenadas cilíndricas em que aponta na direção e sentido da corrente. Finalmente, dentro do condutor () a corrente interna calcula-se multiplicando a área da parte da secção do condutor dentro do círculo, , vezes a densidade da corrente. O resultado obtido é:
Problema 8.5
Um fio condutor cilíndrico muito comprido, de raio , conduz corrente de intensidade . A corrente está distribuída de forma não-uniforme, com , onde é a distância até o eixo do fio e uma constante. Determine a expressão do campo magnético no interior e no exterior do fio.
Resolução. Escolhendo o eixo no eixo do cilindro, no sentido da corrente, e como a densidade de corrente depende unicamente da distância ao eixo, existe simetria cilíndrica e as linhas de campo magnético serão circunferências perpendiculares ao cilindro e com centro no eixo dos . O integral de linha do campo , ao longo de uma linha de campo magnético de raio é:
E usando a lei de Ampère, obtemos
Comparando as duas equações anteriores, conclui-se que:
Se for menor que o raio do cilindro, a corrente através de C será:
Se for maior do que o raio do cilindro, o integral de é no intervalo e no resultado anterior basta substituir por :
Como tal, a constante é igual a:
e o módulo do campo magnético é:
O campo é na direção azimutal .
Problema 8.6
A figura representa três fios condutores retilíneos, muito compridos e paralelos ao eixo , com correntes no sentido positivo desse eixo. O primeiro fio passa pelo ponto (, ) = (0, 1 cm) e tem corrente de 0.64 A, o segundo fio passa pelo pela origem e tem corrente de 0.63 A e o terceiro fio passa pelo ponto (, ) = (2 cm, 0) e tem corrente de 0.43 A. Calcule o módulo da força magnética resultante, por unidade de comprimento, no fio que passa pela origem.
Resolução. Ambos fios produzem forças atrativas no fio que passa pela origem. Em unidades SI, a força produzida pelo fio que passa pelo ponto (0, 1 cm), por unidade de comprimento, é igual a:
E o fio que passa pelo ponto (2 cm, 0) produz força por unidade de comprimento igual a:
A força resultante sobre o fio na origem, por unidade de comprimento, é então:
O módulo da força, por unidade de comprimento, é igual a:
Problema 8.7
Considere dois fios de cobre, retilíneos e paralelos, de 60 cm de comprimento, distanciados de 9 cm e com raios de 2 mm e 3 mm. Calcule o valor da força magnética entre os fios quando cada um deles for ligado a uma f.e.m. de 1.5 V. (Use o valor da resistividade do cobre à temperatura ambiente: 17 n·m.)
Resolução. As resistências dos fios, e , calculam-se multiplicando a resistividade do cobre pelo comprimento do fio, dividido pela área da secção transversal do fio (unidades SI):
A corrente em cada fio é igual à diferença de potencial sobre a resistência do fio:
O módulo da força magnética entre os dois fios é:
Comentários: A diferença de potencial de 1.5 V em cada fio conduz a correntes de milhares de ampere, que queimavam um fio de apenas uns poucos milímetros de raio. Se fosse usada uma pilha de 1.5 V, a resistência interna provavelmente seria maior do que a resistência de cada fio; como tal, a diferença de potencial no fio seria muito menor do que 1.5 V e a própria pilha aqueceria com o fio. Para realizar esse tipo de experiências para medir a força magnética entre dois fios de cobre, costuma ligar-se uma resistência em série para reduzir a intensidade da corrente, e a força magnética a medir será muito menor.
Problema 8.8
A figura mostra as linhas de campo magnético de um fio com corrente,
dentro de um campo magnético externo uniforme ; o
fio é perpendicular à folha e os eixos e foram escolhidos sobre o
plano da folha.
(a) Escreva o versor na direção do campo externo, usando o
sistema de eixos dado.
(b) Escreva o versor direção da corrente no fio.
(c) Calcule e represente o vetor unitário na direção da força
sobre o fio.
(d) Considerando que A e se a força sobre o fio, por
unidade de comprimento, for de N/m, calcule a distância
desde o fio até o ponto P.
Resolução. (a) O campo externo aponta da direita para a esquerda, que no sistema de eixos é:
(b) Na vizinhança do fio, as linhas de campo rodam no sentido contrário dos ponteiros do relógio, indicando que a corrente do fio é para cá da folha, ou seja, na direção de que é o versor .
(c) A direção e sentido da força é a mesma de , ou seja,
Não é necessário dividir pelo módulo do vetor, porque este vetor já tem módulo unitário. Observe-se que a direção e sentido da força é de cima para baixo na figura.
(d) A força magnética sobre o fio é produzida pelo campo externo . Usando a expressão para a força magnética sobre o fio por unidade de comprimento, , obtém-se o módulo do campo externo (unidades SI):
No ponto P, o campo produzido pelo fio tem o mesmo módulo do campo externo. Igualando à expressão para o módulo do campo produzido pelo fio no ponto P ao módulo do campo externo, encontra-se a distância d (unidades SI):
O ponto P encontra-se a 2.5 mm do fio.