10. Circuitos de corrente alternada

Problema 10.1

A resistência de uma bobina é 150 $\mathrm{\Omega }$ e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo $t$.

Resolução. Usaremos unidades SI. A frequência angular da tensão e da corrente é

$$\omega =2\pi f=100\pi \approx 314.16$$

A bobina é considerada como uma resistência em série com um indutor. Como tal, a sua impedância é a soma das impedâncias da resistência e do indutor:

$Z$ $=150+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}1.4}\times 314.16$

$=\sqrt{{150}^2+{439.824}^2}\mathrm{\angle }{\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{439.824}{150}}\right)=464.7\mathrm{\angle }\mathrm{\hspace{0.17em}1.242}$

Admitindo que a tensão da rede elétrica em função do tempo seja $325\cos (\omega t)$, a voltagem máxima na bobina será 325 V, com fase ${\phi }_V=0$. A corrente máxima e o desfasamento da corrente na bobina são:

$$I_{\text{máx}}=\frac{V_{\text{máx}}}{|Z|}=\frac{325}{464.7}=0.6694\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\phi }_I={\phi }_V-{\phi }_Z=-1.242$$

E a expressão para a corrente é

$$I(t)=0.6694\cos (314.16t-1.242)$$

Problema 10.2

Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.

Resolução. (a) Usando unidades de k$\mathrm{\Omega }$ para as impedâncias, H para as indutâncias, µF para as capacidades, V para as voltagens e kHz para as frequências, a frequência angular da fonte e as impedâncias dos 3 elementos no circuito são as seguintes:

$\omega$ $={\displaystyle \frac{2\pi \times 60}{1000}}={\displaystyle \frac{3\pi }{25}}$

$Z_1$ $=3$

$Z_2$ $={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{i}\omega }}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}25}}{3\pi }}$

$Z_3$ $=\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}2}\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}6}\pi }{25}}$

A voltagem no sistema da resistência em série com o condensador é igual à voltagem da fonte; como tal, o fasor da corrente através desses dois elementos é

$${𝐈}_1=\frac{170}{Z_1+Z_2}=42.45\mathrm{\angle }\mathrm{\hspace{0.17em}0.724}$$

Ou seja, se $t$ for dado em ms, a expressão da corrente é:

$$I_1=I_2=42.45\cos \left(\frac{3\pi }{25}t+0.724\right)$$

Os fasores das voltagens na resistência e no condensador são então,

${𝐕}_1$ $=Z_1{𝐈}_1=127.4\mathrm{\angle }\mathrm{\hspace{0.17em}0.724}$

${𝐕}_2$ $=Z_2{𝐈}_1=112.6\mathrm{\angle }-0.8468$

e as voltagens em função do tempo são:

$V_1$ $=127.4\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{25}}t+0.724\right)$

$V_2$ $=112.6\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{25}}t-0.8468\right)$

No indutor, a voltagem é a mesma voltagem da fonte:

$$V_3=170\cos \left(\frac{3\pi }{25}t\right)$$

E o fasor da corrente é,

$${𝐈}_3=\frac{170}{Z_3}=225.5\mathrm{\angle }-\frac{\pi }{2}$$

Que corresponde à função:

$$I_3=225.5\cos \left(\frac{3\pi }{25}t-\frac{\pi }{2}\right)$$

(b) Segue-se o mesmo procedimento da alínea (a), mas com os novos valores de frequência e voltagem máxima da fonte e tendo em conta que agora $Z_1$ é a impedância do condensador, $Z_2$ a impedância do indutor e $Z_3$ a impedância da resistência, e a frequência angular é agora: $\omega =\pi /10$.

$Z_1$ $={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{i}\omega }}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}10}}{\pi }}$

$Z_2$ $=\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}2}\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{i}\pi }{5}}$

$Z_3$ $=3$

${𝐈}_1$ $={\displaystyle \frac{325}{Z_1+Z_2}}=127.2\mathrm{\angle }{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

${𝐕}_1$ $=Z_1{𝐈}_1=404.9$

${𝐕}_2$ $=Z_2{𝐈}_1=79.93\mathrm{\angle }\pi$

${𝐈}_3$ $={\displaystyle \frac{325}{Z_3}}=108.3$

Como tal, a corrente e a voltagem no condensador são:

$$I_1=127.2\cos \left(\frac{\pi }{10}t+\frac{\pi }{2}\right)\mathit{\hspace{1em}}{V}_1=404.9\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$$

No indutor:

$$I_2=127.2\cos \left(\frac{\pi }{10}t+\frac{\pi }{2}\right)\mathit{\hspace{1em}}{V}_2=79.93\cos \left(\frac{\pi }{10}t+\pi \right)$$

E na resistência:

$$I_3=108.3\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)\mathit{\hspace{1em}}{V}_3=325\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$$

Problema 10.3

A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz.

(a) Determine a função de resposta em frequência, $ℛ$, do circuito.
(b) Mostre que para $\omega =1$ kHz, $ℛ$ é igual a zero.
(c) Calcule o módulo de $ℛ$ e trace o seu gráfico para $\omega$ entre 0 e 2 kHz.

Resolução. (a) Usando unidades de k$\mathrm{\Omega }$ para as impedâncias, H para a indutância, µF para a capacidade e kHz para a frequência $\omega$, as impedâncias do condensador, o indutor e a resistência são:

$$Z_C=\frac{1}{\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}10}\omega }\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{Z}_L=\frac{\mathrm{i}\omega }{10}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{Z}_R=1$$

A impedância equivalente é,

$$Z=\frac{Z_C{Z}_L}{Z_C+Z_L}+Z_R=1-\frac{\mathrm{i}\omega }{10{\omega }^2-10}$$

O fasor da tensão de saída, na resistência, é:

$${𝐕}_{\text{out}}=\frac{{𝐕}_{\text{in}}}{Z}=\frac{\left(10{\omega }^2-10\right){𝐕}_{\text{in}}}{10{\omega }^2-10-\mathrm{i}\omega }$$

A função de resposta em frequência é,

$$ℛ=\frac{10{\omega }^2-10}{10{\omega }^2-10-\mathrm{i}\omega }$$

(b) O valor da função de resposta em frequência, para $\omega =1$ kHz, é igual a:

$$ℛ(1)=\frac{10-10}{10-10-\mathrm{i}}=0$$

(c) O módulo da função de resposta, $|ℛ|$, é igual à raiz quadrada de $ℛ$ vezes o seu complexo conjugado:

$$|ℛ|=\left(\frac{10{\omega }^2-10}{10{\omega }^2-10-\mathrm{i}\omega }\right)\left(\frac{10{\omega }^2-10}{10{\omega }^2-10+\mathrm{i}\omega }\right)=\frac{\left|10{\omega }^2-10\right|}{\sqrt{100{\omega }^4-199{\omega }^2+100}}$$

O gráfico dessa função, entre 0 e 2 kHz, é o seguinte:

Comentários: Observe-se que em quase tudo o intervalo de frequências $|ℛ|$ é aproximadamente igual a 1, o que implica que o sinal de entrada não é atenuado. No entanto, em $\omega =1$ kHz, $|ℛ(1)|=0$, ou seja, o sinal de saída é nulo. É por essa razão que o filtro chama-se rejeita-banda; as frequências angulares próximas de uma frequência típica do filtro, neste caso 1 kHz, são eliminadas no sinal de saída.

Problema 10.4

A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias $L$ e $d$ foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores $L=6$ cm, $d=1$ cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é $V_{\text{máx}}=36$ V e a corrente máxima é $I_{\text{máx}}=12$ mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.

Resolução. O ângulo da impedância é igual à constante de fase da tensão menos a constante de fase da corrente:

$${\phi }_Z={\phi }_V-{\phi }_I$$

O gráfico mostra que a tensão está adiantada em relação à corrente ($V$ passa pelo seu valor máximo ou mínimo um pouco antes que $I$); a diferença das fases, ${\phi }_V-{\phi }_I$, é então positiva e corresponde à distância $d$ no gráfico. Como a distância $L$ corresponde a um ângulo de $2\pi$, então a o ângulo da impedância é:

$${\phi }_Z={\phi }_V-{\phi }_I=\frac{d}{L}\mathrm{\hspace{0.17em}2}\pi =\frac{\pi }{3}$$

O módulo da impedância é, em k$\mathrm{\Omega }$, é igual à tensão máxima em volts dividida pela corrente máxima em miliampere.

$$|Z|=\frac{V_{\text{máx}}}{I_{\text{máx}}}=\frac{36}{12}=3$$

A impedância, em k$\mathrm{\Omega }$, é o número complexo:

$$Z=3\mathrm{\angle }\frac{\pi }{3}$$

E as partes real e imaginária da impedância são:

$$Z=3\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}3}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=(1.5+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}2.598})\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$$

Problema 10.5

No filtro de frequências representado no diagrama, o sinal de entrada é a tensão $V_{\text{in}}$ de uma fonte de tensão alternada, com frequência angular $\omega$, e o sinal de saída é a tensão $V_{\text{out}}$ medida no indutor e no condensador, como indica a figura. Encontre a expressão da função de resposta em frequência.

Resolução. Como 1 $\mathrm{\Omega }$ = 1/(F·Hz), então 1 k$\mathrm{\Omega }$ = 1/(µF·kHz) e pode usar-se unidades de k$\mathrm{\Omega }$ para a resistência, µF para a capacidade e kHz para as frequências $s$ e $\omega$. 1 H = 1 $\mathrm{\Omega }$/Hz = 1 k$\mathrm{\Omega }$/kHz e então a indutância deve ser dada em H. A resistência, o condensador e o indutor estão em série; em função de $s=\mathrm{i}\omega$, a impedância equivalente é:

$$Z_{\mathrm{s}}=0.25+\frac{1}{3s}+5s=\frac{15s^2+0.75s+1}{3s}$$

E o fasor da tensão de saída determina-se usando a lei de divisão de voltagem:

$${𝐕}_{\text{out}}=\frac{1/(3s)+5s}{Z_{\mathrm{s}}}=\frac{15s^2+1}{15s^2+0.75s+1}{𝐕}_e$$

A função de resposta em frequência é:

$$ℛ=\frac{1-15{\omega }^2}{1-15{\omega }^2+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}0.75}\omega }$$

Problema 10.6

No circuito representado no diagrama, determine a potência média fornecida pela fonte, sabendo que esta tem frequência de 30 Hz e voltagem máxima de 9 V.

Resolução. Usando unidades de k$\mathrm{\Omega }$ para a impedância e µF para a capacidade, o tempo deverá ser medido então em ms, a frequência em kHz e a indutância em H. A impedância equivalente nos terminais da fonte é então:

$$Z=1+0.020s+\frac{8\left({\displaystyle \frac{1}{2s}}\right)}{8+{\displaystyle \frac{1}{2s}}}=\frac{16s^2+801s+450}{800s+50}$$

A frequência $s$, em unidades de kHz, é neste caso:

$$s=\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}2}\pi f=\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}0.06}\pi$$

A impedância complexa é então

$$Z=1.7924-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}2.3861}=2.984\mathrm{\angle }-0.9265$$

E a potência média fornecida pela fonte é

$$\overline{P}=\frac{1}{2}{V}_{\max }{I}_{\max }\cos {\phi }_Z=\frac{V_{\max }^2\cos {\phi }_Z}{2|Z|}=\frac{81\cos (-0.9265)}{2\times 2.984}=8.15$$

Como a voltagem foi dada em volts e a impedância em k$\mathrm{\Omega }$, as unidades desta potência calculada são mW.

Problema 10.7

No filtro de frequências representado no diagrama, o sinal de entrada é a tensão $V_{\mathrm{e}}$ de uma fonte de tensão alternada, com frequência angular $\omega$, e o sinal de saída é a tensão $V$ medida no condensador, como indica a figura. Encontre a expressão da função de resposta em frequência, em função de $\omega$.

Resolução. Usando unidades de µC para a capacidade e H para a indutância, como $LC=Z_L/(Z_C{s}^2)$ tem unidades de tempo ao quadrado, então o tempo deverá ser medido em ms e a frequência em kHz. As impedâncias ($Z_L=Ls$) deverão então ser medidas em k$\mathrm{\Omega }$. Nessas unidades, os valores das impedâncias das resistências, do indutor e do condensador no circuito, em função de $s=\mathrm{i}\omega$, são:

$$Z_R=0.21\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{Z}_L=s\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{Z}_C=\frac{1}{2s}$$

No ramo onde está o condensador, encontram-se em série o condensador, o indutor e uma das resistências, com impedância total:

$$Z_{\mathrm{s}}=0.21+s+\frac{1}{2s}=\frac{2s^2+0.42s+1}{2s}$$

O fasor da tensão nesse ramo é o mesmo fasor da tensão de entrada, ${𝐕}_{\mathrm{in}}$. Como tal, o fasor da tensão no condensador é igual a:

$${𝐕}_{\text{out}}=\frac{Z_C}{Z_{\mathrm{s}}}{𝐕}_{\mathrm{in}}=\frac{{𝐕}_{\mathrm{in}}}{2s^2+0.42s+1}$$

A função de resposta em frequência é:

$$ℛ=\frac{1}{1-2{\omega }^2+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}0.42}\omega }$$

em que a frequência angular $\omega$ é dada em kHz.

Problema 10.8

A fonte no circuito representado no diagrama tem voltagem máxima 9 V e frequência angular $\omega =125$ kHz. Determine a voltagem máxima no condensador de 2 nF.

Resolução. As impedâncias complexas dos dois condensadores são, em $\mathrm{\Omega }$,

$Z_1={\displaystyle \frac{-\mathrm{i}}{125\times {10}^3\times 8\times {10}^{-9}}}=-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}1000}$

$Z_2={\displaystyle \frac{-\mathrm{i}}{125\times {10}^3\times 2\times {10}^{-9}}}=-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4000}$

Como tal, com as impedâncias em k$\mathrm{\Omega }$ e as voltagens em V, o circuito é o seguinte:

Para determinar o fasor $𝐕$, usam-se circuitos equivalentes mais simples, da forma seguinte:

Onde a impedância em paralelo e a impedância total são:

$$Z_{\mathrm{p}}=\frac{4-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}{5-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}{Z}_{\mathrm{t}}=-\mathrm{i}+\frac{4-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}{5-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}=\frac{9}{4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}5}}$$

O fasor da corrente total é (em mA),

$${𝐈}_{\mathrm{t}}=\frac{9}{{\displaystyle \frac{9}{4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}5}}}}=4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}5}$$

O fasor da voltagem na impedância $Z_{\mathrm{p}}$ é:

$${𝐕}_{\mathrm{p}}=\left(\frac{4-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}{5-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}\right)\left(4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}5}\right)=4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}$$

E os fasores da corrente e da voltagem no condensador de 2 nF são:

$$𝐈=\frac{4+\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}{4-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}}=\mathrm{i}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}𝐕=-\mathrm{i}\mathrm{\hspace{0.17em}4}\times \mathrm{i}=4$$

Ou seja, a voltagem máxima nesse condensador é igual a 4 V.