11. Ondas eletromagnéticas

Problema 11.1

Uma onda eletromagnética propaga-se no vácuo, no sentido positivo do eixo $x$. No instante $t=0$, o campo elétrico em função de $x$ é dado pela função (unidades SI)

$$E=\frac{50}{x^2+2}$$

Calcule o campo no ponto $x=50$ m, no instante $t=0.2$ µs.

Resolução. Como a onda propaga-se no sentido positivo do eixo dos $x$, a função de onda do campo elétrico deverá ser da forma $E=f(x-ct)$, onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo.

No instante $t=0$ a expressão do campo em função de $x$ é $E=f(x)$ e, comparando com a função dada no enunciado, conclui-se que

$$f(x)=\frac{50}{x^2+2}$$

Como tal, a função de onda do campo elétrico é:

$$E=f(x-ct)=\frac{50}{{(x-ct)}^2+2}$$

Substituindo os valores dados de $x$ e $t$ e o valor de $c$, em unidades SI, na equação de onda. obtém-se o valor do campo:

$$E=\frac{50}{{(50-3\times {10}^8\times 0.2\times {10}^{-6})}^2+2}=0.4902\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$$

Problema 11.2

Uma lâmina metálica muito extensa encontra-se sobre o plano $xy$. A lâmina é ligada a uma fonte variável que produz um campo elétrico uniforme no plano $xy$, mas variável no tempo segundo a expressão:

$$\overrightarrow{E}=E_{\text{máx}}\sin (\omega t)\hat{ı}$$

onde $E_{\text{máx}}$ e $\omega$ são constantes. O campo elétrico na lâmina origina uma onda eletromagnética plana. Escreva as funções que representam os campos elétrico e magnético da dita onda, em função do tempo e da posição.

Resolução. A onda plana produzida estará a sair do plano O$xy$ para os dois lados. Ou seja, propagar-se-á no sentido positivo do eixo dos $z$ na região $z>0$, e no sentido negativo do eixo dos $z$ na região . Como tal, a função de onda para o campo elétrico terá a forma:

onde $s=z-ct$ e $r=z+ct$.

Em $z=0$, obtêm-se as funções $g(-ct)$ e $f(ct)$, as quais deverão ser iguais ao valor do campo elétrico na lâmina:

$g(-ct)$ $=E_{\text{máx}}\sin (\omega t)$

$f(ct)$ $=E_{\text{máx}}\sin (\omega t)$

Substituindo $s=-ct$ e $r=ct$, as expressões das funções $g$ e $f$ são:

$g(s)$ $=E_{\text{máx}}\sin \left(-ks\right)$

$f(r)$ $=E_{\text{máx}}\sin \left(kr\right)$

onde $k=\omega /c$ é o número de onda angular.

Em $z\ne 0$, $s=z-ct$, $r=z+ct$ e a função de onda do campo elétrico será então:

A função de onda do campo magnético deverá ser igual à do campo elétrico, dividida pela velocidade da luz; como tal,

O campo elétrico será na direção de $\hat{ı}$ em todo o espaço. Na região $z>0$, como a velocidade é segundo $\hat{k}$, o campo magnético deverá estar na direção e sentido de $\hat{ȷ}$ (o produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético deverá ser na direção e sentido da velocidade). Na região , como a velocidade é segundo $-\hat{k}$, o campo magnético deverá estar na direção de $-\hat{ȷ}$. As expressões vetoriais dos campos são então:

Problema 11.3

Considere um condensador de armaduras circulares de raio $1\mathrm{cm}$, paralelas e planas, separadas por $1\mathrm{mm}$ de ar. Num determinado instante, a corrente no condensador é 5 A.
(a) Calcule a derivada do campo elétrico entre as placas, em ordem ao tempo, nesse instante.
(b) Mostre que a corrente de deslocamento entre as placas é igual à corrente de 5 A.
(c) Porque razão as duas correntes são iguais?

Resolução. (a) Em função do raio $r$ das armaduras e da distância $d$ entre elas a capacidade do condensador é (usando $K=1$ para o ar):

$$C=K{ϵ}_0\frac{A}{d}=\frac{\pi r^2}{4\pi kd}=\frac{r^2}{4kd}$$

A voltagem no condensador, em função da carga $Q$ armazenada nele, é:

$$V=\frac{Q}{C}=\frac{4kdQ}{r^2}$$

e, como a derivada temporal de $Q$ é igual à intensidade da corrente,

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{4kdI}{r^2}$$

Finalmente, admitindo campo elétrico constante entre as armaduras, o módulo do campo é igual a $V/d$ e a derivada do campo em ordem ao tempo é,

$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{4kI}{r^2}=\frac{4\times 8.988\times {10}^9\times 5}{{0.01}^2}=1.7976\times {10}^{15}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}}$$

(b) No interior do condensador, admitindo campo elétrico uniforme e perpendicular às armaduras do condensador, o fluxo elétrico que passa pelas armaduras é igual a:

$$\mathrm{\Psi }=EA=\pi r^{2}E$$

e a corrente de deslocamento no interior do condensador é,

$$I_{\mathrm{d}}=\frac{1}{4\pi k}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Psi }}{\mathrm{d}t}=\frac{r^2}{4k}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$$

Substituindo a expressão obtida na alínea anterior para a derivada de $E$, o resultado é:

$$I_{\mathrm{d}}=\frac{r^2}{4k}\left(\frac{4kI}{r^2}\right)=I=5\mathrm{A}$$

(c) A figura seguinte mostra uma curva fechada C que envolve o condensador, paralela às armaduras.

Como admitimos que o campo elétrico é constante no interior do condensador e nulo fora dele, quando a curva C estiver fora do condensador, não há fluxo elétrico nem corrente de deslocamento; o integral de linha de $\overrightarrow{B}$ ao longo de C é igual a $4\pi k_{\mathrm{m}}I$. Se a curva C estiver na região entre as duas armaduras, como admitimos que o campo elétrico é constante, o fluxo elétrico e a corrente de deslocamento serão iguais em qualquer posição entre as armaduras. E nesse caso, como a corrente $I$ já não passa pelo interior C e, o integral de linha de $\overrightarrow{B}$ ao longo de C é igual a $4\pi k_{\mathrm{m}}{I}_{\mathrm{d}}$. Como esse integral deve ser contínuo na passagem de fora para dentro das armaduras, a corrente de deslocamento $I_{\mathrm{d}}$ tem de ser igual a $I$.

Problema 11.4

Uma onda harmónica plana, polarizada, com comprimento de onda $\lambda =3$ m, propaga-se na direção do versor $\hat{ȷ}$. Escreva as expressões dos campos elétrico e magnético, nos seguintes casos:
(a) A onda está polarizada linearmente, com versor de polarização $(\hat{ı}+\hat{k})/\sqrt{2}$.
(b) A onda está polarizada linearmente, com versor de polarização $(\hat{ı}+\sqrt{3}\hat{k})/2$.
($c$) A onda tem polarização circular negativa.

Resolução.

Como a onda propaga-se na direção positiva do eixo $y$, a função de onda do campo elétrico, arbitrando constante de fase inicial nula, pode-se escrever como

$$E(y,t)=E_{\text{máx}}\cos (ky-\omega t)$$

A função de onda do campo magnético é $B(y,t)=E(y,t)/c$. Os campos $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ deverão ser perpendiculares e o seu produto vetorial, $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$, tem de ser na direção positiva do eixo dos $y$. Como tal, os versores na direção dos campos deverão ser como na figura seguinte, em que o eixo $y$ aponta para dentro da figura.

O ângulo $\theta$ que o versor $\hat{E}$ faz com o semieixo positivo $x$ será o mesmo ângulo entre $\hat{B}$ e o semieixo negativo $z$ e em função de $\theta$ os versores são os seguintes:

$$\hat{E}=\cos \theta \hat{ı}+\sin \theta \hat{k}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\hat{B}=\sin \theta \hat{ı}-\cos \theta \hat{k}$$

(a) Como o versor de polarização é o versor do campo elétrico, então $\hat{E}=(\hat{ı}+\hat{k})/\sqrt{2}$, o versor $\hat{B}$ é $(\hat{ı}-\hat{k})/\sqrt{2}$ e as expressões dos campos são as seguintes:

$\overrightarrow{E}$ $=E_{\text{máx}}\cos (ky-\omega t)(\hat{ı}+\hat{k})/\sqrt{2}$

$\overrightarrow{B}$ $={\displaystyle \frac{E_{\text{máx}}}{c}}\cos (ky-\omega t)(\hat{ı}-\hat{k})/\sqrt{2}$

(b) Os versores são $\hat{E}=(\hat{ı}+\sqrt{3}\hat{k})/2$ e $\hat{B}=(\sqrt{3}\hat{ı}-\hat{k})/2$ e as expressões dos campos são:

$\overrightarrow{E}$ $=E_{\text{máx}}\cos (ky-\omega t)(\hat{ı}+\sqrt{3}\hat{k})/2$

$\overrightarrow{B}$ $={\displaystyle \frac{E_{\text{máx}}}{c}}\cos (ky-\omega t)(\sqrt{3}\hat{ı}-\hat{k})/2$

(c) A polarização negativa (também dita esquerda), em relação à direção de propagação segundo $\hat{ȷ}$, implica que os campos rodam no plano $xz$ no sentido do eixo $x$ para o eixo $z$, como mostra a figura seguinte (o eixo $y$ aponta para dentro da figura).

A polarização circular obtém-se com a sobreposição de duas funções de onda planas com polarização linear ao longo dos eixos $x$ e $z$. No caso de $\overrightarrow{E}$ a figura acima mostra que se inicialmente $\overrightarrow{E}$ aponta no sentido de $\hat{ı}$, a onda polarizada segundo $x$ será uma função cosseno e a onda polarizada segundo $z$ uma função seno. Como tal, a expressão do campo elétrico é a seguinte sobreposição de duas ondas planas:

$\overrightarrow{E}=E_{\text{máx}}$ $\left[\cos (ky-\omega t)\hat{ı}+\sin (ky-\omega t)\hat{k}\right]$

Já no caso de $\overrightarrow{B}$, inicialmente apontando no sentido de $-\hat{k}$, a onda polarizada segundo $\hat{ı}$ será uma função seno e a onda polarizada segundo $z$ uma função cosseno com sinal negativo:

$\overrightarrow{B}={\displaystyle \frac{E_{\text{máx}}}{c}}$ $\left[\sin (ky-\omega t)\hat{ı}-\cos (ky-\omega t)\hat{k}\right]$

Usando os dados do problema, em unidades SI, o número de onda angular é igual a:

$$k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{3}=2.094\mathrm{rad}/\mathrm{m}$$

e a frequência angular é,

$$\omega =kc=\frac{2\pi \times 2.998\times {10}^8}{3}=6.279\times {10}^8\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Problema 11.5

Uma estação de rádio transmite na frequência de $90.8$ MHz. Calcule o comprimento de onda, frequência angular e número de onda angular dessas ondas de rádio com $90.8$ MHz.

Resolução. O comprimento de onda é,

$$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{2.998\times {10}^8}{90.8\times {10}^6}=3.30\mathrm{m}$$

A frequência angular é igual a:

$$\omega =2\pi f=2\pi \times 90.8\times {10}^6=5.71\times {10}^8\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

E o número de onda angular é:

$$k=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi \times 90.8\times {10}^6}{2.998\times {10}^8}=1.90\mathrm{rad}/\mathrm{m}$$

Problema 11.6

O fluxo de energia de uma onda eletromagnética esférica e monocromática é 100 W.
(a) Calcule a densidade do fluxo de energia a 2 m do centro da onda.
(b) Determine os valores máximos dos campos $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ a 2 m do centro da onda.

Resolução. (a) A densidade do fluxo de energia calcula-se dividindo o fluxo de energia pela área da esfera com 2 m de raio:

$$S=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{e}}}{4\pi r^2}=\frac{100}{4\pi 2^2}=1.989\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$$

(b) Usando a relação entre a densidade do fluxo de energia e o valor máximo do campo elétrico,

$$S=\frac{c}{8\pi k}{E}_{\text{máx}}^2$$

o valor máximo do campo elétrico obtém-se usando a densidade de fluxo energético calculada na alínea anterior:

$$E_{\text{máx}}=\sqrt{\frac{8\pi \times 8.988\times {10}^9\times 1.989}{2.998\times {10}^8}}=38.7\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$$

e o valor máximo do campo magnético é igual a:

$$B_{\text{máx}}=\frac{E_{\text{máx}}}{c}=1.29\times {10}^{-7}\mathrm{T}=1.29\mathrm{mG}$$

Problema 11.7

A figura seguinte representa o campo eletromagnético de uma onda plana de 420 MHz, no instante $t=0$. As linhas de campo verticais representam o campo elétrico e as linhas perpendiculares ao plano da figura são as linhas de campo magnético. Calcule a distância $d$ e determine a expressão do vetor do campo magnético em função do tempo e da coordenada $x$.

Resolução. Em unidades SI, o comprimento de onda é igual a:

$$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{2.998\times {10}^8}{420\times {10}^6}=0.714\mathrm{m}$$

A figura mostra que a distância $d$ é metade do comprimento de onda, ou seja,

$$d=\frac{\lambda }{2}=0.357=35.71\mathrm{cm}$$

A frequência angular e o número de onda angular são (unidades SI):

$$\omega =2\pi f=2.64\times {10}^9\mathrm{rad}/\mathrm{s}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}k=\frac{2\pi f}{c}=8.80\mathrm{rad}/\mathrm{m}$$

Num ponto qualquer, por exemplo na origem, o produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético é na direção de propagação da onda; com os dados da figura, esse produto é na direção negativa do eixo $x$. O facto de ter uma frequência específica, indica que a onda é harmónica. Como tal, a função de onda do campo magnético é a função de uma onda harmónica plana, propagando-se no sentido negativo de $x$, que pode escrever-se (arbitrando constante de fase inicial nula):

$$B=B_{\text{máx}}\cos \left(8.80x+2.64\times {10}^{9}t\right)$$

Como o campo $\overrightarrow{B}$ na origem aponta na direção negativa de $z$ com módulo máximo, $B_{\text{máx}}$, o campo magnético em $x=0$ e $t=0$ é $\overrightarrow{B}=-B_{\text{máx}}\hat{k}$ e a expressão do campo magnético em função de $x$ e de $t$ é a seguinte:

$$\overrightarrow{B}=-B_{\text{máx}}\cos \left(8.80x+2.64\times {10}^{9}t\right)\hat{k}$$

Problema 11.8

Demonstre que a equação de onda é linear, ou seja, que qualquer combinação linear de duas soluções é também solução.

Resolução. Se $E_1$ e $E_2$ são duas soluções da equação de onda, verificam as seguintes duas equações (admitindo variáveis $x$ e $t$):

$$\frac{{\partial }^2{E}_1}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2{E}_1}{\partial x^2}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\frac{{\partial }^2{E}_2}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2{E}_2}{\partial x^2}$$

Uma combinação linear das duas soluções, com duas constantes $a_1$ e $a_2$ é,

$$E=a_1{E}_1+a_2{E}_2$$

A segunda derivada parcial de $E$ em ordem a $x$ é,

$$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}=a_1\frac{{\partial }^2{E}_1}{\partial x^2}+a_2\frac{{\partial }^2{E}_2}{\partial x^2}$$

E a segunda derivada parcial de $E$ em ordem a $t$ é,

$$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=a_1\frac{{\partial }^2{E}_1}{\partial t^2}+a_2\frac{{\partial }^2{E}_2}{\partial t^2}$$

que usando as equações de onda para $E_1$ e $E_2$ pode escrever-se como:

$$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=a_1{c}^2\frac{{\partial }^2{E}_1}{\partial x^2}+a_2{c}^2\frac{{\partial }^2{E}_2}{\partial x^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}$$

Conclui-se assim que a combinação linear também verifica a equação de onda e a equação de onda é linear.