Cinemática do movimento unidimensional

Problemas

2. Uma partícula material move-se ao longo do eixo dos $y$ segundo a lei horária: $y(t)=2t^3+4t^2+4$ (SI). Determine o valor da velocidade média e da aceleração média do ponto material entre os instantes $t=1$ s e $t=4$ s. Resposta $v_{\mathrm{m}}=62$ m/s, $a_{\mathrm{m}}=38$ m/s².

3. Uma partícula material move-se ao longo do eixo dos $x$ segundo a lei horária: $x(t)=4t^3+4t^2+6$ (SI). Calcule a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante $t=2$ s. Resposta $x=54$ m, $v=64$ m/s, e $a=56$ m/s².

4. Uma partícula movimenta-se com uma aceleração positiva constante de 2 m/s² ao longo do eixo dos $x$. Sabe-se que no instante $t=1$ s a partícula se encontrava na posição $x=0$ m e se movia com velocidade $v=-2$ m/s.

1. Determine para este movimento a lei das velocidades e a lei dos espaços em função do tempo. Resposta $x(t)=3-4t+t^2$, $v(t)=-4+2t$ (SI).
2. Calcule o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento, indicando os intervalos de tempo em que se movimenta no sentido positivo e no sentido negativo do eixo. Resposta 2 s. Movimento no sentido negativo de $x$ em $t<2$, repouso em $t=2$, e movimento no sentido positivo de $x$ em $t>2$.
3. Calcule o deslocamento $\Delta x$ sofrido pela partícula no intervalo de tempo $0\le t\le 5$ s. Resposta 5 m.
4. Determine a distância $\Delta s$ percorrida pela partícula no mesmo intervalo de tempo referido na alínea anterior. Resposta 13 m.

5. A aceleração de uma partícula material que se move ao longo do eixo dos $x$ é definida em função do tempo pela expressão $a(t)=36t-24t^3$ (SI). Sabendo que no instante $t=0$ s a partícula se encontrava em repouso na origem do referencial, determine:

1. A velocidade e a posição da partícula em função do tempo. Resposta $v(t)=18t^2-6t^4$, $x(t)=6t^3-6t^5/5$ (SI).
2. O afastamento máximo da partícula, relativamente à origem, para $t>0$. Resposta 12.5 m.
3. O valor máximo da velocidade para $t>0$. Resposta 13.5 m/s.
4. O valor da velocidade média da partícula no intervalo $0<t<2$. Resposta 4.8 m/s.
5. O valor da aceleração média da partícula no mesmo intervalo. Resposta $-12$ m/s².

7. Uma balsa de travessia entre margens desloca-se com a velocidade constante $v_{0x}=8.0$ m/s durante 60 s. Nesse instante, os seus motores são desligados e começa a acostagem. A sua velocidade de acostamento é dada por

onde $t_1=60$ s.

Qual é o deslocamento da balsa no intervalo $0<t<\infty$? Resposta 960 m.

2.53 A aceleração de uma motocicleta é dada por $a(t)=At-B{t}^2$, onde $A=1.50$ m/s³ e $B=0.120$ m/s⁴. A motocicleta está em repouso na origem no instante $t=0$.

1. Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. Resposta $v(t)=0.75t^2-0.04t^3$, $x(t)=0.25t^3-0.01t^4$ (SI).
2. Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir. Resposta 39.1 m/s.

2.68 A velocidade de um objeto é dada por $v_x(t)=\alpha -\beta t^2$, onde $\alpha =4.0$ m/s e $\beta =2.0$ m/s³. No instante $t=0$, o objeto está em $x=0$.

1. Calcule a posição e a aceleração do objeto em função do tempo. Resposta$x(t)=(12t-2t^3)/3$ (SI), $a_x(t)=-4t$ (SI)
2. Qual a distância máxima entre o objeto e a origem (no intervalo em que $x$ é positiva)? Resposta3.77 m (em $x<0$ o objeto afasta-se até o infinito)

2.69 A aceleração de uma partícula é dada por $a_x(t)=-2.00{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+(3.00{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^3)t$.

1. Calcule a velocidade inicial $v_{0x}$ de modo que a partícula tenha a mesma coordenada $x$ para $t=4.00$ s e $t=0$. Resposta$-4.00$ m/s
2. Qual será sua velocidade para $t=4.0$ s? Resposta$12.0$ m/s