Leis de Newton

Problemas

1. Uma partícula de massa 2 kg está sujeita a uma força definida pela expressão $\vec{F}(t)=4t\,\hat{\imath}+2t^2\,\hat{\jmath}$ (SI). Sabendo que a partícula se encontrava inicialmente em repouso e na origem dos eixos, determine os vetores aceleração, velocidade e posição da partícula em função do tempo e particularize para o instante $t=2$ s. Resposta $\vec{a}(2)=4\,\hat{\imath}+4\,\hat{\jmath}$ (m/s²; $\vec{v}(2)=4\,\hat{\imath}+\dfrac{8}{3}\,\hat{\jmath}$ (m/s); $\vec{r}(2)=\dfrac{8}{3}\,\hat{\imath}+\dfrac{4}{3}\,\hat{\jmath}$ (m)

2. Uma partícula material de massa 2 g move-se ao longo de uma curva definida pelo vetor posição $\vec{r}(t)=(4t^2-t^3)\hat{\imath}+5t\,\hat{\jmath}+(t^4-2)\hat{k}$ (cm). Calcule a força que atua na partícula no instante $t=2$ s. Apresente o seu resultado em unidades SI e CGS. Resposta $-8\hat{\imath}+96\hat{k}$ (×10⁻⁵N) $=-8\hat{\imath}+96\hat{k}$ (dyn)

3. Um disco de hóquei com massa de 0.160 kg está em repouso na origem ($x=0$) numa superfície horizontal sem atrito. No instante $t=0$, um jogador aplica sobre o disco uma força de 0.250 N paralela ao eixo $\mathrm{O }x$; ele continua a aplicar a força até $t=2.0$ s.

1. Qual é a posição e a velocidade do disco no instante $t=2.0$ s? Resposta $x=3.125$ m; $v=3.125$ m/s.
2. Se a mesma força for aplicada novamente no intervalo entre $t=5.0$ s e $t=7.0$ s, qual será a posição e a velocidade do disco no instante $t=7.0$ s? Resposta $x=21.875$ m; $v=6.25$ m/s.

5. Para cada um dos esquemas representados na figura que se segue, determine o valor das tensões nas cordas AC e BC se o corpo M tiver um peso de 50 N.

Resposta (a) 50 N e 70.7 N; (b) 25 N e 43.3 N.

7. Duas caixas, uma massa de 4.0 kg e outra de 6.0 kg, estão em repouso sobre a superfície sem atrito de um lago congelado, ligadas por uma corda leve (ver figura). Uma mulher, usando umas sapatilhas de sola áspera de modo a não escorregar, puxa horizontalmente a caixa de 6.0 kg com uma força $\vec{F}$ que produz uma aceleração de 2.50 m/s². A corda que liga as duas massas permanece tensa e horizontal durante o movimento descrito.

1. Qual é a aceleração da caixa de 4.0 kg? Resposta 2.50 m/s².
2. Desenhe um diagrama do corpo livre para a caixa de 4.0 kg. Use esse diagrama e a segunda lei de Newton para calcular a tensão $T$ na corda que liga as duas caixas. Resposta $T=10$ N.
3. Desenhe um diagrama do corpo livre para a caixa de 6.0 kg. Qual é a direção da força resultante sobre a caixa de 6.0 kg? Qual tem o maior módulo, a força $\vec{T}$ ou a força $\vec{F}$? Resposta Horizontal, para a direita; $\vec{F}$ tem maior módulo
4. Use a parte c e a segunda lei de Newton para calcular o módulo da força $\vec{F}$. Resposta 25 N.

8. De acordo com o esquema representado em baixo, um corpo com massa 80 kg está preso por um fio no ponto A. No ponto B do fio aplica-se uma força horizontal $\vec{F}$, desviando-o 1 m da parede. Sabendo que AB é 2 m, determine a intensidade da força $\vec{F}$ e o valor da tensão no fio, $T_\mathrm{AB}$. Resposta $\vec{F}=452.5$ N; $T_\mathrm{AB}=905$ N.

9. Um trabalhador está a tentar mover uma caixa de 500 N sobre um piso plano. Para iniciar o movimento, o trabalhador necessita de aplicar uma força horizontal de módulo igual a 230 N. Depois de se mover, isto é, após deixar o repouso e iniciar o movimento, a força que o trabalhador necessita de exercer para manter o movimento da caixa com velocidade constante é de apenas 200 N. Calcule o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético. Resposta $\mu_e=0.46$; $\mu_c=0.40$.

10. Um trabalhador está a tentar mover uma caixa puxando uma corda amarrada a esta, que faz um ângulo de 30º com a horizontal. Considere que $P=500$ N é o peso da caixa e $\mu_c=0.40$ o coeficiente de atrito cinético entre a superfície da caixa e a superfície sobre a qual desliza.

1. Qual é a força que o trabalhador deve fazer para manter o movimento com velocidade constante? Resposta 188 N.
2. O esforço que o trabalhador faz é maior ou menor do que no caso em que a força é aplicada na horizontal? Resposta Menor; a força horizontal seria 200 N.

11. Um trenó, cheio de estudantes com uma massa total igual a $M$, escorrega para baixo numa encosta coberta de neve. A montanha possui uma inclinação $\alpha$ relativamente à horizontal. Em todas as alíneas represente o diagrama do corpo livre.

1. Considerando que o trenó está bem lubrificado de modo a não existir atrito entre este e a encosta, deduza uma expressão para a aceleração do trenó. Resposta $a_x=g\,\sin\alpha$
2. Considerando agora que existe atrito entre o trenó e a encosta, e que o coeficiente de atrito é dado por $\mu_c$, deduza uma expressão para a aceleração do trenó. Resposta $a_x=g(\sin\alpha-\mu_c\,\cos\alpha)$
3. Considerando agora que o trenó tem apenas metade dos estudantes, como irá variar a aceleração? Resposta Se a massa do trenó for desprezável em comparação com a massa dos estudantes, a aceleração será o dobro (metade da massa). Caso contrário, a aceleração será um pouco menor que o dobro.

12. Duas caixas A e B, de massas $m_\mathrm{A }=0.50$ kg e $m_\mathrm{B }=0.25$ kg, respetivamente, estão ligadas entre si por uma haste de massa desprezável, conforme se representa na figura em baixo. Sabendo que o plano tem uma inclinação de 30º e que os coeficientes de atrito cinético entre as caixas A e B e a superfície do plano são, respetivamente, 0.2 e 0.3, determine a aceleração do conjunto, bem como a tensão na haste. Resposta $a=2.9$ m/s²; $T=0.14$ N.

13. No esquema da figura ao lado, os corpos A e B têm massas de 10 kg e 5 kg, respetivamente, estando ligados por um fio inextensível e de massa desprezável. O coeficiente de atrito (estático ou dinâmico, suponha que têm o mesmo valor) entre a superfície do corpo A e a superfície da mesa é 0.25.

1. Desenhe o diagrama do corpo livre de cada um dos corpos A, B e C.
2. Determine o valor mínimo que a massa do corpo C tem de ter para que o conjunto dos corpos A, B e C se encontre em repouso. Resposta 10 kg
3. Calcule a aceleração do sistema, bem como a tensão do fio, no caso do corpo C ser retirado. Resposta $a=1.63$ m/s²; $T=40.8$ N.

14. Uma pessoa guiando uma bicicleta faz uma curva de raio constante, com velocidade constante de 29,0 km/h. Qual o menor raio para fazê-la sem derrapar, se o coeficiente de atrito estático entre os pneus da bicicleta e o asfalto for de 0.32? Resposta 20.7 m.

15. Devido à resistência do ar, as gotas de chuva caem com uma velocidade constante a partir de certa altura. O módulo da força de resistência que o ar exerce é dada por $|\vec{F}|=A\,v^2$, onde $A$ é uma constante de valor 8×10⁻⁶ N·s²/m² e $v$ é o módulo da velocidade. Nessas circunstâncias, calcule o módulo da velocidade, em m/s, com que uma gota da chuva atinge o solo, sabendo que uma gota possui peso, em módulo, igual a 3.2×10⁻⁷ N. Resposta 0.2 m/s.

16. Uma corda é amarrada a um balde de água e o balde é posto a girar num círculo vertical de raio 0.600 m. Calcule o valor mínimo que a velocidade do balde deve ter no ponto mais elevado do círculo para que a água não seja expelida do balde. Resposta 2.4 m/s.

17. Os blocos da figura movem-se sobre uma superfície horizontal com atrito, sendo $\mu_c$ o coeficiente de atrito cinético entre o bloco com massa $M$ e a superfície sobre a qual assenta. Existe igualmente atrito entre as superfícies de ambos os blocos, sendo o coeficiente de atrito estático entre eles $\mu_e$.

1. Represente, em separado, os diagramas de corpo livre para cada um dos dois corpos e escreva a legenda das forças, indicando, se for o caso, os pares ação-reação.
2. Qual é o valor máximo da força horizontal $\vec{F}$, $F_\mathrm{max}$, que se pode aplicar no bloco de cima, de modo a que os blocos permaneçam unidos, sem deslizar um relativamente ao outro?
3. Mostre que no caso de não haver atrito na superfície horizontal, essa força máxima tem o valor:
   
   $F_\mathrm{max}=\mu_e\left(1+\dfrac{m}{M}\right)m\,g$

5.49. Um carro de 1 125 kg e um camião de 2 250 kg aproximam-se de uma curva na estrada que possui raio de 225 m. (a) A que ângulo o engenheiro deve inclinar essa curva, de modo que veículos com velocidade de 65 mi/h possam contorná-la com segurança, seja qual for o estado dos pneus? O camião, mais pesado, deve seguir mais lentamente que o carro mais leve? (b) Considerando que o carro e o camião fazem a curva a 65 mi/h, determine a força normal sobre cada veículo em função da superfície da estrada. Resposta (a) 21.0°, não (b) 11 800 N (carro), 23 600 N (camião)

5.53. Um problema para a vida humana no espaço exterior é o peso aparente igual a zero. Um modo de contornar o problema seria fazer a estação espacial girar em torno do centro com uma taxa constante. Isso criaria uma "gravidade artificial" na borda externa da estação espacial. (a) Se o diâmetro da estação espacial for igual a 800 m, quantas rotações por minuto seriam necessárias a fim de que a aceleração da "gravidade artificial" fosse igual a 9.80 m/s²? (b) Se a estação espacial fosse projetada como área de espera para passageiros rumo a Marte, seria desejável simular a aceleração da gravidade na superfície de Marte (3.70 m/s²). Quantas rotações por minuto seriam necessárias neste caso? Resposta (a) 1.5 rot/min (b) 0.92 rot/min