7. Combinação de spins

7.1. Produto externo de espaços vetoriais

Vamos considerar um sistema que é a combinação de dois sistemas com spin. Em cada um desses sistemas usaremos como base os dois estados próprios da matriz ${\hat{σ}}_{z}$ : ${| z_{+} ⟩, | z_{-} ⟩}$ . Para distinguir os operadores que atuam no primeiro sistema dos que atuam no segundo sistema, usaremos índices 1 e 2. Assim por exemplo, os operadores de spin no primeiro sistema são ${\hat{σ}}_{1 x}$ , ${\hat{σ}}_{1 y}$ e ${\hat{σ}}_{1 z}$ , e os operadores de spin no segundo sistema são ${\hat{σ}}_{2 x}$ , ${\hat{σ}}_{2 y}$ e ${\hat{σ}}_{2 z}$ . Ambos são representados pelas matrizes de Pauli.

O sistema combinado, de dimensão 4, é o produto externo dos dois espaços de dimensão 2. A base que usaremos nesse espaço é a combinação das bases dos dois sistemas, representada por:

{| z_{+}, z_{+} ⟩, | z_{+}, z_{-} ⟩, | z_{-}, z_{+} ⟩, | z_{-}, z_{-} ⟩}

(7.1)

Cada ket $| z_{j}, z_{k} ⟩$ é o produto externo $| z_{j} ⟩ \otimes | z_{k} ⟩$ de um ket da base do primeiro sistema e um ket da base do segundo sistema. O produto interno entre dois desses kets calcula-se da forma seguinte:

⟨ z_{j}, z_{k} | z_{l}, z_{m} ⟩ = ⟨ z_{j} | z_{l} ⟩ ⟨ z_{k} | z_{m} ⟩

(7.2)

Como tal, a base do sistema combinado é também uma base ortonormal:

⟨ z_{j}, z_{k} | z_{l}, z_{m} ⟩ = δ_{j l} δ_{k m} (j, k, l, m = +, -)

(7.3)

Um operador linear nesse espaço de dimensão 4 é definido pelo seu resultado quando atua nos 4 elementos da base (7.1). Em particular, um operador escrito como ${\hat{Ω}}_{1} {\hat{Λ}}_{2}$ , corresponde a dois operadores no espaço de dimensão 2; o primeiro operador, $\hat{Ω}$ , atua na primeira parte do ket $| z_{j}, z_{k} ⟩$ , e o segundo operador, $\hat{Λ}$ , atua na segunda parte. Dois exemplos são os seguintes:

{\hat{σ}}_{1 z} {\hat{σ}}_{2 z} | z_{j}, z_{k} ⟩ = j k | z_{j}, z_{k} ⟩ {\hat{σ}}_{1 x} {\hat{σ}}_{2 y} | z_{j}, z_{k} ⟩ = k i | z_{- j}, z_{- k} ⟩

(7.4)

Um ket qualquer no espaço dos dois spins pode ser escrito como combinação geral da base (7.1):

| Υ ⟩ = Υ_{+ +} | z_{+}, z_{+} ⟩ + Υ_{+ -} | z_{+}, z_{-} ⟩ + Υ_{- +} | z_{-}, z_{+} ⟩ + Υ_{- -} | z_{-}, z_{-} ⟩

(7.5)

com quatro componentes $Υ_{j k}$ que podem ser quaisquer números complexos.

O módulo ao quadrado de cada um desses números, $| Υ_{j k} |^{2}$ , é a probabilidade de se obterem os valores $j$ e $k$ na medição simultânea das componentes $z$ dos spins dos dois sistemas. Após esse resultado, o estado $| Υ ⟩$ colapsa para $| z_{j}, z_{k} ⟩$ .

A probabilidade de obter, por exemplo, o resultado $- 1$ quando apenas a componente $z$ do spin do primeiro sistema for medida, seria $| Υ_{- +} |^{2} + | Υ_{& n d a s h;} |^{2}$ , e nesse caso o sistema colapsava para as duas componentes em que aparece $z_{-}$ na primeira posição; esse estado, normalizado, seria:

\frac{Υ_{- +} | z_{-}, z_{+} ⟩ + Υ_{- -} | z_{-}, z_{-} ⟩}{\sqrt{| Υ_{- +} |^{2} + | Υ_{- -} |^{2}}}

(7.6)

7.2. Estados independentes

Se o estado do primeiro sistema for $| Ψ ⟩$ e o estado do segundo sistema for $| Φ ⟩$ , cada um desses estados pode ser escrito em função das componentes na base do respetivo espaço de dimensão 2:

| Ψ ⟩ = Ψ_{+} | z_{+} ⟩ + Ψ_{-} | z_{+} ⟩ | Φ ⟩ = Φ_{+} | z_{+} ⟩ + Φ_{-} | z_{+} ⟩

(7.7)

E a combinação desses dois estados conduz ao seguinte estado no espaço combinado dos dois spins:

| Ψ, Φ ⟩ = Ψ_{+} Φ_{+} | z_{+}, z_{+} ⟩ + Ψ_{+} Φ_{-} | z_{+}, z_{-} ⟩ + Ψ_{-} Φ_{+} | z_{-}, z_{+} ⟩ + Ψ_{-} Φ_{-} | z_{-}, z_{-} ⟩

(7.8)

Trata-se de um caso particular do estado geral (7.5), com $Υ_{j k} = Ψ_{j} Φ_{k}$ . Dado um ket geral, escrito na forma (7.5), podemos determinar se corresponde ao produto externo de dois estados independentes, se as quatro componentes verificam as seguintes duas condições:

\frac{Υ_{+ +}}{Υ_{- +}} = \frac{Υ_{+ -}}{Υ_{- -}} \frac{Υ_{+ +}}{Υ_{+ -}} = \frac{Υ_{- +}}{Υ_{- -}}

(7.9)

A primeira expressão é igual à relação $Ψ_{+} / Ψ_{-}$ entre as componentes do estado do primeiro sistema, e a segunda expressão é a relação $Φ_{+} / Φ_{-}$ entre as componentes do estado do segundo sistema. Com essas relações e a condição de que os estados estejam normalizados, determinam-se cada um dos estados independentes.

7.3. Estados entrelaçados

Quando alguma das duas condições (7.9), ou as duas, não forem verdadeiras, é impossível escrever o estado como o produto externo de dois estados independentes. Nesse caso o estado é designado por entrelaçado. Um exemplo são os seguintes 4 estados:

| S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+}, z_{-} ⟩ - | z_{-}, z_{+} ⟩)

(7.10)

| T_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+}, z_{-} ⟩ + | z_{-}, z_{+} ⟩)

(7.11)

| T_{2} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+}, z_{+} ⟩ + | z_{-}, z_{-} ⟩)

(7.12)

| T_{3} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+}, z_{+} ⟩ - | z_{-}, z_{-} ⟩)

(7.13)

Por exemplo, no caso de $| T_{2} ⟩$ , o quociente $Υ_{+ +} / Υ_{- +}$ é igual a infinito, enquanto que $Υ_{+ -} / Υ_{& n d a s h;}$ é igual a zero. A designação S e T é habitual. S vem do inglês singlet e T do inglês triplet.

Quando o estado do sistema combinado é entrelaçado, nada pode ser concluído sobre o estado de cada sistema por separado. Mas a medição do spin de um dos sistemas permite concluir com que spin ficará o outro sistema. Por exemplo, se o estado do sistema combinado for o ket da equação (7.10) e medirmos a componente $z$ do spin do primeiro sistema obtendo o resultado $+ 1$ , o estado colapsa para $| z_{+}, z_{-} ⟩$ e podemos concluir que a componente $z$ do spin do segundo sistema é igual a $- 1$ .

Os quatro estados $| S ⟩$ , $| T_{1} ⟩$ , $| T_{2} ⟩$ e $| T_{3} ⟩$ são ortogonais entre si e têm norma igual a 1. Como tal, constituem uma base ortonormal do espaço dos dois spins combinados. Todos os elementos da base são estados entrelaçados, mas obviamente algumas combinações lineares deles conduzem a estados não entrelaçados.

7.4. Valores esperados do spin

O resultado de aplicar o operador ${\hat{σ}}_{1 x}$ no estado (7.8) é:

{\hat{σ}}_{1 x} | Ψ, Φ ⟩ = Ψ_{+} Φ_{+} | z_{-}, z_{+} ⟩ + Ψ_{+} Φ_{-} | z_{-}, z_{-} ⟩ + Ψ_{-} Φ_{+} | z_{+}, z_{+} ⟩ + Ψ_{-} Φ_{-} | z_{+}, z_{-} ⟩

(7.14)

e, multiplicando pelo bra correspondente ao ket (7.8), obtém-se o valor esperado de ${\hat{σ}}_{x}$ nesse estado:

⟨ {\hat{σ}}_{1 x} ⟩ = Ψ_{+}^{*} Ψ_{-} + Ψ_{+} Ψ_{-}^{*}

(7.15)

onde foi usada a condição de normalizaçao de $| Φ ⟩$ , nomeadamente, $Φ_{+}^{*} Φ_{+} + Φ_{-}^{*} Φ_{-} = 1$ .

De forma análoga, aplicando ${\hat{σ}}_{1 y}$ no estado (7.8) obtém-se:

{\hat{σ}}_{1 y} | Ψ, Φ ⟩ = i Ψ_{+} Φ_{+} | z_{-}, z_{+} ⟩ + i Ψ_{+} Φ_{-} | z_{-}, z_{-} ⟩ - i Ψ_{-} Φ_{+} | z_{+}, z_{+} ⟩ - i Ψ_{-} Φ_{-} | z_{+}, z_{-} ⟩

(7.16)

E o valor esperado de ${\hat{σ}}_{y}$ nesse estado é:

⟨ {\hat{σ}}_{1 y} ⟩ = - i Ψ_{+}^{*} Ψ_{-} + i Ψ_{+} Ψ_{-}^{*}

(7.17)

Já no caso do operador ${\hat{σ}}_{1 z}$ ,

{\hat{σ}}_{1 z} | Ψ, Φ ⟩ = Ψ_{+} Φ_{+} | z_{+}, z_{+} ⟩ + Ψ_{+} Φ_{-} | z_{+}, z_{-} ⟩ - Ψ_{-} Φ_{+} | z_{-}, z_{+} ⟩ - Ψ_{-} Φ_{-} | z_{-}, z_{-} ⟩

(7.18)

E o valor esperado de ${\hat{σ}}_{z}$ é:

⟨ {\hat{σ}}_{1 z} ⟩ = Ψ_{+}^{*} Ψ_{+} - Ψ_{-}^{*} Ψ_{-}

(7.19)

Os resultados (7.15), (7.17) e (7.19) mostram que os valores esperados das componentes do spin do primeiro sistema são independentes do estado do segundo sistema.

A soma dos quadrados dos valores esperados dos três operadores de spin é:

⟨ {\hat{σ}}_{1 x} ⟩^{2} + ⟨ {\hat{σ}}_{1 y} ⟩^{2} + ⟨ {\hat{σ}}_{1 z} ⟩^{2} = (Ψ_{+}^{*} Ψ_{-} + Ψ_{+} Ψ_{-}^{*}) - {(Ψ_{+}^{*} Ψ_{-} - Ψ_{+} Ψ_{-}^{*})}^{2}

+ {(Ψ_{+}^{*} Ψ_{+} - Ψ_{-} Ψ_{-}^{*})}^{2} = 1

(7.20)

Dependendo dos valores das componentes $Ψ_{+}$ e $Ψ_{-}$ o valor esperado do vetor spin terá diferentes componentes $x$ , $y$ e $z$ , mas o seu módulo será sempre igual a 1.

Vejamos agora como será o valor esperado do spin do primeiro sistema, se o estado combinado dos dois sistemas for um estado entrelaçado. Por exemplo, se o estado for o ket $| S ⟩$ da equação (7.10), os valores esperados das três componentes do spin do primeiro sistema serão:

{\hat{σ}}_{1 x} | S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{-}, z_{-} ⟩ - | z_{+}, z_{+} ⟩) ⟹ ⟨ {\hat{σ}}_{1 x} ⟩ = 0

(7.21)

{\hat{σ}}_{1 y} | S ⟩ = \frac{i}{\sqrt{2}} (| z_{-}, z_{-} ⟩ + | z_{+}, z_{+} ⟩) ⟹ ⟨ {\hat{σ}}_{1 y} ⟩ = 0

(7.22)

{\hat{σ}}_{1 z} | S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+}, z_{-} ⟩ + | z_{-}, z_{+} ⟩) ⟹ ⟨ {\hat{σ}}_{1 z} ⟩ = 0

(7.23)

O valor esperado de cada uma das três componentes é nulo, e o valor esperado do vetor é também nulo. O mesmo acontece se o estado for qualquer outro dos estados entrelaçados $| T_{1} ⟩$ , $| T_{2} ⟩$ ou $| T_{3} ⟩$ .

Aplicando simultaneamente os operadores ${\hat{σ}}_{1 z}$ e ${\hat{σ}}_{2 z}$ , ao estado (7.10) obtém-se:

{\hat{σ}}_{1 z} {\hat{σ}}_{2 z} | S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (- | z_{+}, z_{-} ⟩ + | z_{-}, z_{+} ⟩) = - | S ⟩

(7.24)

isto é, $| S ⟩$ é vetor próprio de ${\hat{σ}}_{1 z} {\hat{σ}}_{2 z}$ com valor próprio $- 1$ . A medição simultânea da componente $z$ do spin dos dois sistemas dá metade das vezes $- 1$ para o primeiro sistema e $+ 1$ para o segundo sistema, e a outra metade das vezes dá $1$ para o primeiro sistema e $- 1$ para o segundo sistema. O produto dos resultados obtidos para os dois sistemas é sempre $- 1$ .

O mesmo resultado obtém-se para o estado $T_{1}$ , que também é vetor próprio de ${\hat{σ}}_{1 z} {\hat{σ}}_{2 z}$ com valor próprio $- 1$ . Já $T_{2}$ e $T_{3}$ são vetores próprios de ${\hat{σ}}_{1 z} {\hat{σ}}_{2 z}$ com valor próprio $+ 1$ . A medição da componente $z$ dos spins dos dois sistemas dá sempre o mesmo resultado nos dois sistemas; metade das vezes obtém-se $+ 1$ em ambos sistemas, e a outra metade das vezes obtém-se $- 1$ nos dois. Esta propriedade dos estados entrelaçados é usada em criptografia quântica e em teleportação (envio de informação entre locais remotos, de forma instantânea).

7.5. Representação matricial

Os kets no espaço de dimensão 4 podem ser representados por matrizes com uma coluna e quatro linhas, que são as quatro componentes do ket na base usada. O respetivo bra será uma matriz de uma linha e quatro colunas, em que cada coluna é o conjugado complexo da respetiva componente:

| Υ ⟩ = [\begin{matrix} Υ_{+ +} \\ Υ_{+ -} \\ Υ_{- +} \\ Υ_{- -} \end{matrix}] ⟨ Υ | = [Υ_{+ +}^{*} Υ_{+ -}^{*} Υ_{- +}^{*} Υ_{+ -}^{*}]

(7.25)

Se as matrizes de dois operadores $\hat{Ω}$ e $\hat{Λ}$ que atuam em cada um dos sistemas por separado são:

\hat{Ω} = [\begin{matrix} Ω_{11} & Ω_{12} \\ Ω_{21} & Ω_{22} \end{matrix}] \hat{Λ} = [\begin{matrix} Λ_{11} & Λ_{12} \\ Λ_{21} & Λ_{22} \end{matrix}]

(7.26)

O efeito do produto externo ${\hat{Ω}}_{1} {\hat{Λ}}_{2}$ entre esses operadores, num ket do espaço combinado é o de multiplicar a matriz do ket, à esquerda, pela matriz:

{\hat{Ω}}_{1} {\hat{Λ}}_{2} = [\begin{matrix} Ω_{11} Λ_{11} & Ω_{11} Λ_{12} & Ω_{12} Λ_{11} & Ω_{12} Λ_{12} \\ Ω_{11} Λ_{21} & Ω_{11} Λ_{22} & Ω_{12} Λ_{21} & Ω_{12} Λ_{22} \\ Ω_{21} Λ_{11} & Ω_{21} Λ_{12} & Ω_{22} Λ_{11} & Ω_{22} Λ_{12} \\ Ω_{21} Λ_{21} & Ω_{21} Λ_{22} & Ω_{22} Λ_{21} & Ω_{22} Λ_{22} \end{matrix}]

(7.27)

Exercícios

7.1. O estado de um sistema de dois spins é:

| Υ ⟩ = \frac{i}{\sqrt{10}} | z_{+}, z_{+} ⟩ - \frac{2}{\sqrt{10}} | z_{+}, z_{-} ⟩ - \frac{1}{\sqrt{10}} | z_{-}, z_{+} ⟩ - \frac{i 2}{\sqrt{10}} | z_{-}, z_{-} ⟩

Mostre que pode ser escrito como produto externo de dois estados independentes dos dois spins, e encontre cada um desses dois estados.

Resolução. As relações entre as componentes é:

\frac{Υ_{- +}}{Υ_{+ +}} = \frac{- 1 / \sqrt{10}}{i \sqrt{10}} = i \frac{Υ_{- -}}{Υ_{+ -}} = \frac{- i 2 \sqrt{10}}{- 2 / \sqrt{10}} = i

\frac{Υ_{+ -}}{Υ_{+ +}} = \frac{- 2 / \sqrt{10}}{i \sqrt{10}} = i 2 \frac{Υ_{- -}}{Υ_{- +}} = \frac{- i 2 \sqrt{10}}{- 1 / \sqrt{10}} = i 2

Como as duas igualdades (7.9) são válidas, fica demonstrado que o estado é o produto externo de dois estados independentes. A relação entre as componentes do estado do primeiro sistema, $| Ψ ⟩$ , é $i$ :

Ψ_{-} = i Ψ_{+} ⟹ | Ψ_{-} |^{2} = | Ψ_{+} |^{2}

e como a soma $| Ψ_{-} |^{2} + | Ψ_{+} |^{2}$ deverá ser igual a 1, as duas componentes têm módulo igual a $1 / \sqrt{2}$ , e para garantir $Ψ_{-} = i Ψ_{+}$ podemos escolher $Ψ_{+}$ real positiva, e $Ψ_{-}$ imaginária positiva:

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ + i | z_{-} ⟩)

A relação entre as componentes do estado do segundo sistema, $| Φ ⟩$ , é $i 2$ :

Φ_{-} = i 2 Φ_{+} ⟹ | Φ_{-} |^{2} = 4 | Φ_{+} |^{2}

e como a soma $| Φ_{-} |^{2} + | Φ_{+} |^{2}$ deve ser 1, $| Φ_{+} | = 1 / \sqrt{5}$ e $| Φ_{+} | = 2 / \sqrt{5}$ . A condição $Φ_{-} = i 2 Φ_{+}$ pode ser garantida escolhendo $Φ_{+}$ real positiva, e $Φ_{-}$ imaginária positiva:

| Φ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{5}} (| z_{+} ⟩ + i 2 | z_{-} ⟩)

7.2. O estado de um sistema de dois spins é o mesmo do exercício anterior. Qual é a probabilidade de obter o valor $+ 1$ quando for medida a componente $z$ do spin do primeiro sistema? Imediatamente após esse resultado, qual seria o estado do sistema?

Resolução. A probabilidade é igual à soma dos quadrados dos módulos das componentes onde aparece $z_{+}$ na primeira posição:

P_{1 +} = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{1}{2}

Observe-se que, tal como foi demostrado no exercício anterior, o estado deste sistema combinado é o produto externo dos estados independentes dos dois sistemas. Como tal, a probabilidade também podia ter sido calculada como a probabilidade de obter o resultado $+ 1$ no estado $| Ψ ⟩$ do primeiro sistema.

Após a medição, o estado colapsa para as duas primeiras componentes do estado $| Υ ⟩$ . Normalizando o estado, o resultado fica:

| Υ ⟩ = \frac{\frac{i}{\sqrt{10}} | z_{+}, z_{+} ⟩ - \frac{2}{\sqrt{10}} | z_{+}, z_{-} ⟩}{\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{4}{10}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} (i | z_{+}, z_{+} ⟩ - 2 | z_{+}, z_{-} ⟩)

Observe-se que este estado é equivalente a qualquer outro obtido multiplicando por um número complexo de módulo 1. Para comparar com o resultado do problema anterior, multiplicaremos por $- i$ para obter:

| Υ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{5}} (| z_{+}, z_{+} ⟩ + i 2 | z_{+}, z_{-} ⟩)

que é igual ao produto externo de $| z_{+} ⟩$ com o estado $| Φ ⟩$ obtido no problema anterior:

| z_{+} ⟩ \otimes | Φ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{5}} (| z_{+}, z_{+} ⟩ + i 2 | z_{+}, z_{-} ⟩)

Isto mostra que outra forma de ter obtido o resultado consiste em colapsar o estado do primeiro sistema para $| z_{+} ⟩$ , e calcular o produto externo com o estado do segundo sistema, que permanece inalterado.