Introdução à Mecânica Quântica

7.1. Produto externo de espaços vetoriais

Vamos considerar um sistema que é a combinação de dois sistemas com spin. Em cada um desses sistemas usaremos como base os dois estados próprios da matriz $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_z$: $\{|\mathrm{z }_+\rangle,|\mathrm{z }_-\rangle\}$. Para distinguir os operadores que atuam no primeiro sistema dos que atuam no segundo sistema, usaremos índices 1 e 2. Assim por exemplo, os operadores de spin no primeiro sistema são $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1x}$, $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1y}$ e $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}$, e os operadores de spin no segundo sistema são $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2x}$, $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2y}$ e $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2z}$. Ambos são representados pelas matrizes de Pauli.

O sistema combinado, de dimensão 4, é o produto externo dos dois espaços de dimensão 2. A base que usaremos nesse espaço é a combinação das bases dos dois sistemas, representada por:

Cada ket $|\mathrm{z_j},\mathrm{z_k}\rangle$ é o produto externo $|\mathrm{z }_j\rangle\otimes|\mathrm{z }_k\rangle$ de um ket da base do primeiro sistema e um ket da base do segundo sistema. O produto interno entre dois desses kets calcula-se da forma seguinte:

Como tal, a base do sistema combinado é também uma base ortonormal:

Um operador linear nesse espaço de dimensão 4 é definido pelo seu resultado quando atua nos 4 elementos da base (7.1). Em particular, um operador escrito como $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}_1\hat{\mathrm{\mathrm{\Lambda} }}_2$, corresponde a dois operadores no espaço de dimensão 2; o primeiro operador, $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}$, atua na primeira parte do ket $|\mathrm{z_j},\mathrm{z_k}\rangle$, e o segundo operador, $\hat{\mathrm{\mathrm{\Lambda} }}$, atua na segunda parte. Dois exemplos são os seguintes:

Um ket qualquer no espaço dos dois spins pode ser escrito como combinação geral da base (7.1):

com quatro componentes $\Upsilon_{jk}$ que podem ser quaisquer números complexos.

O módulo ao quadrado de cada um desses números, $|\Upsilon_{jk}|^2$, é a probabilidade de se obterem os valores $j$ e $k$ na medição simultânea das componentes $z$ dos spins dos dois sistemas. Após esse resultado, o estado $|\mathrm{\Upsilon}\rangle$ colapsa para $|\mathrm{z }_j,\mathrm{z }_k\rangle$.

A probabilidade de obter, por exemplo, o resultado $-1$ quando apenas a componente $z$ do spin do primeiro sistema for medida, seria $|\Upsilon_{-+}|^2+|\Upsilon_{--}|^2$, e nesse caso o sistema colapsava para as duas componentes em que aparece $z_-$ na primeira posição; esse estado, normalizado, seria:

7.2. Estados independentes

Se o estado do primeiro sistema for $|\mathrm{\Psi}\rangle$ e o estado do segundo sistema for $|\mathrm{\Phi}\rangle$, cada um desses estados pode ser escrito em função das componentes na base do respetivo espaço de dimensão 2:

E a combinação desses dois estados conduz ao seguinte estado no espaço combinado dos dois spins:

Trata-se de um caso particular do estado geral (7.5), com $\Upsilon_{jk}=\Psi_{j}\Phi_{k}$. Dado um ket geral, escrito na forma (7.5), podemos determinar se corresponde ao produto externo de dois estados independentes, se as quatro componentes verificam as seguintes duas condições:

A primeira expressão é igual à relação $\Psi_{+}/\Psi_{-}$ entre as componentes do estado do primeiro sistema, e a segunda expressão é a relação $\Phi_{+}/\Phi_{-}$ entre as componentes do estado do segundo sistema. Com essas relações e a condição de que os estados estejam normalizados, determinam-se cada um dos estados independentes.

7.3. Estados entrelaçados

Quando alguma das duas condições (7.9), ou as duas, não forem verdadeiras, é impossível escrever o estado como o produto externo de dois estados independentes. Nesse caso o estado é designado por entrelaçado. Um exemplo são os seguintes 4 estados:

Por exemplo, no caso de $|\mathrm{T }_2\rangle$, o quociente $\Upsilon_{++}/\Upsilon_{-+}$ é igual a infinito, enquanto que $\Upsilon_{+-}/\Upsilon_{--}$ é igual a zero. A designação S e T é habitual. S vem do inglês singlet e T do inglês triplet.

Quando o estado do sistema combinado é entrelaçado, nada pode ser concluído sobre o estado de cada sistema por separado. Mas a medição do spin de um dos sistemas permite concluir com que spin ficará o outro sistema. Por exemplo, se o estado do sistema combinado for o ket da equação (7.10) e medirmos a componente $z$ do spin do primeiro sistema obtendo o resultado $+1$, o estado colapsa para $|\mathrm{z }_{+},\mathrm{z }_{-}\rangle$ e podemos concluir que a componente $z$ do spin do segundo sistema é igual a $-1$.

Os quatro estados $|\mathrm{S }\rangle$, $|\mathrm{T }_1\rangle$, $|\mathrm{T }_2\rangle$ e $|\mathrm{T }_3\rangle$ são ortogonais entre si e têm norma igual a 1. Como tal, constituem uma base ortonormal do espaço dos dois spins combinados. Todos os elementos da base são estados entrelaçados, mas obviamente algumas combinações lineares deles conduzem a estados não entrelaçados.

7.4. Valores esperados do spin

O resultado de aplicar o operador $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1x}$ no estado (7.8) é:

e, multiplicando pelo bra correspondente ao ket (7.8), obtém-se o valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_x$ nesse estado:

onde foi usada a condição de normalizaçao de $|\mathrm{\Phi}\rangle$, nomeadamente, $\Phi_{+}^*\Phi_{+}+\Phi_{-}^*\Phi_{-}=1$.

De forma análoga, aplicando $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1y}$ no estado (7.8) obtém-se:

E o valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_y$ nesse estado é:

Já no caso do operador $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}$,

E o valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_z$ é:

Os resultados (7.15), (7.17) e (7.19) mostram que os valores esperados das componentes do spin do primeiro sistema são independentes do estado do segundo sistema.

A soma dos quadrados dos valores esperados dos três operadores de spin é:

Dependendo dos valores das componentes $\Psi_{+}$ e $\Psi_{-}$ o valor esperado do vetor spin terá diferentes componentes $x$, $y$ e $z$, mas o seu módulo será sempre igual a 1.

Vejamos agora como será o valor esperado do spin do primeiro sistema, se o estado combinado dos dois sistemas for um estado entrelaçado. Por exemplo, se o estado for o ket $|\mathrm{S }\rangle$ da equação (7.10), os valores esperados das três componentes do spin do primeiro sistema serão:

O valor esperado de cada uma das três componentes é nulo, e o valor esperado do vetor é também nulo. O mesmo acontece se o estado for qualquer outro dos estados entrelaçados $|\mathrm{T }_1\rangle$, $|\mathrm{T }_2\rangle$ ou $|\mathrm{T }_3\rangle$.

Aplicando simultaneamente os operadores $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}$ e $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2z}$, ao estado (7.10) obtém-se:

isto é, $|\mathrm{S }\rangle$ é vetor próprio de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2z}$ com valor próprio $-1$. A medição simultânea da componente $z$ do spin dos dois sistemas dá metade das vezes $-1$ para o primeiro sistema e $+1$ para o segundo sistema, e a outra metade das vezes dá $1$ para o primeiro sistema e $-1$ para o segundo sistema. O produto dos resultados obtidos para os dois sistemas é sempre $-1$.

O mesmo resultado obtém-se para o estado $\mathrm{T }_1$, que também é vetor próprio de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2z}$ com valor próprio $-1$. Já $\mathrm{T }_2$ e $\mathrm{T }_3$ são vetores próprios de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{1z}\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_{2z}$ com valor próprio $+1$. A medição da componente $z$ dos spins dos dois sistemas dá sempre o mesmo resultado nos dois sistemas; metade das vezes obtém-se $+1$ em ambos sistemas, e a outra metade das vezes obtém-se $-1$ nos dois. Esta propriedade dos estados entrelaçados é usada em criptografia quântica e em teleportação (envio de informação entre locais remotos, de forma instantânea).

7.5. Representação matricial

Os kets no espaço de dimensão 4 podem ser representados por matrizes com uma coluna e quatro linhas, que são as quatro componentes do ket na base usada. O respetivo bra será uma matriz de uma linha e quatro colunas, em que cada coluna é o conjugado complexo da respetiva componente:

Se as matrizes de dois operadores $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}$ e $\hat{\mathrm{\mathrm{\Lambda} }}$ que atuam em cada um dos sistemas por separado são:

O efeito do produto externo $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}_1\hat{\mathrm{\mathrm{\Lambda} }}_2$ entre esses operadores, num ket do espaço combinado é o de multiplicar a matriz do ket, à esquerda, pela matriz:

Exercícios

Resolução. As quatro componentes do ket $|\mathrm{\Upsilon}\rangle$ são,

e as relações entre elas são:

Como tal, o ket pode ser escrito como a combinação de dois kets $|\mathrm{\Psi}\rangle$ e $|\mathrm{\Phi}\rangle$, com relação entre as suas componentes:

e para que esses dois kets estejam normalizados, é necessário que:

e os dois kets são:

Resolução. A probabilidade é igual à soma dos quadrados dos módulos das componentes onde aparece $\mathrm{z }_+$ na primeira posição:

Observe-se que, tal como foi demostrado no exercício anterior, o estado deste sistema combinado é o produto externo dos estados independentes dos dois sistemas. Como tal, a probabilidade também podia ter sido calculada como a probabilidade de obter o resultado $+1$ no estado $|\mathrm{\Psi}\rangle$ do primeiro sistema.

Após a medição, o estado colapsa para as duas primeiras componentes do estado $|\mathrm{\Upsilon}\rangle$. Normalizando o estado, o resultado fica:

Este estado é equivalente a qualquer outro obtido multiplicando por um número complexo de módulo 1. Para comparar com o resultado do problema anterior, multiplicaremos por $-\mathrm{i }$ para obter:

que é igual ao produto externo de $|\mathrm{z }_+\rangle$ com o estado $|\mathrm{\Phi}\rangle$ obtido no problema anterior:

Isto mostra que outra forma de ter obtido o resultado consiste em colapsar o estado do primeiro sistema para $|\mathrm{z }_+\rangle$, e calcular o produto externo com o estado do segundo sistema, que permanece inalterado.

Resolução. Comparando com a expressão do produto externo de dois kets, temos:

E confirma-se que:

Que implica,

Como a norma de $|\mathrm{\Psi},\mathrm{\Phi}\rangle$ é 1, as normas de $|\mathrm{\Psi}\rangle$ e $|\mathrm{\Phi}\rangle$ também deverão ser 1, para que o seu produto externo seja igual a $|\mathrm{\Psi},\mathrm{\Phi}\rangle$. Como tal,

e podemos escolher:

que conduz a:

Resolução. Usando a representação matricial,

E o produto desses dois resultados é:

Já o produto interno entre os kets $|\mathrm{\Psi},\mathrm{\Phi}\rangle$ e $|\mathrm{\Upsilon},\mathrm{\xi}\rangle$ é:

Que são os mesmos quatro termos obtidos para $\langle \mathrm{\Psi}|\mathrm{\Upsilon}\rangle\langle \mathrm{\Phi}|\mathrm{\xi}\rangle$.

Resolução. Método 1. O valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_z$ é:

E, tendo em conta que $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_y|\mathrm{z }_+\rangle$ e $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_y|\mathrm{z }_-\rangle$ são as duas colunas da matriz $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_y$,

e o valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\sigma} }}_y$ é:

Finalmente, o valor esperado de $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}$ é:

Método 2. A matriz do operador $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}$ é:

E o seu valor esperado é igual a:

Método 3. É possível encontrar os valores próprios $\{\Omega_1,\Omega_2\}$ do operador $\hat{\mathrm{\mathrm{\Omega} }}$, e os respectivos vetores próprios $|\mathrm{\Omega}_1\rangle$ e $|\mathrm{\Omega}_2\rangle$ (normalizados), e a seguir calcular o seu valor esperado como:

onde as probabilidades $P_1$ e $P_2$ são os quadrados dos módulos das componentes do estado $|\mathrm{\Psi}\rangle$ na base dos vetores próprios $|\mathrm{\Omega}_1\rangle$ e $|\mathrm{\Omega}_2\rangle$:

mas este método requer muito mais contas do que os dois métodos anteriores.