5. Oscilador harmónico quântico

5.1. Hamiltoniano do oscilador harmónico

Na mecânica clássica, a função hamiltoniana de um objeto de massa $m$ que oscila no eixo $x$ devido a uma força elástica com constante elástica $k$ , é:

H (x, p) = \frac{1}{2 m} p^{2} + \frac{k}{2} x^{2}

(5.1)

O respetivo operador hamiltoniano será então:

\hat{H} = \frac{1}{2 m} {\hat{p}}^{2} + \frac{k}{2} {\hat{x}}^{2}

(5.2)

onde $\hat{x}$ e $\hat{p}$ são os operadores de posição e quantidade de movimento.

Os valores próprios desse operador são os possíveis valores da energia mecânica do sistema, $E$ . Para determinar esses possíveis valores, teremos de resolver o problema de valores próprios do hamiltoniano:

\hat{H} | E ⟩ = E | E ⟩

(5.3)

onde $| E ⟩$ é um vetor próprio, normalizado.

Aparentemente o hamiltoniano depende de dois parámetros, $m$ e $k$ , mas na realidade é necessário apenas um parámetro $ω$ . Isso pode ser demonstrado introduzindo novos operadores de posição e quantidade de movimento, definidos da forma seguinte:

\hat{X} = (m k)^{1 / 4} \hat{x} \hat{P} = \frac{1}{(m k)^{1 / 4}} \hat{p}

(5.4)

e a expressão do hamiltoniano em função desses novos operadores é,

\hat{H} = \frac{ω}{2} ({\hat{P}}^{2} + {\hat{X}}^{2})

(5.5)

onde a frequência angular $ω$ é definida por:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

(5.6)

Observe-se que $ω$ tem unidades de frequência (inverso do tempo) e os operadores ${\hat{P}}^{2}$ e ${\hat{X}}^{2}$ têm ambos unidades de energia vezes tempo. Os valores próprios de ${\hat{P}}^{2}$ e ${\hat{X}}^{2}$ são os valores próprios de $\hat{P}$ e $\hat{X}$ , ao quadrado, que são números positivos ou zero. Como tal, os valores próprios do hamiltoniano não poderão ser valores negativos: $E \geq 0$ .

Usando a definição (5.4) dos operadores $\hat{X}$ e $\hat{P}$ o seu comutador é:

[\hat{X}, \hat{P}] = \hat{X} \hat{P} - \hat{P} \hat{X} = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = [\hat{x}, \hat{p}]

(5.7)

e, como vimos no capítulo anterior, o comutador dos operadores de posição e quantidade de movimento é igual $i ℏ$ :

[\hat{X}, \hat{P}] = i ℏ

(5.8)

5.2. Operadores de escada

A forma do hamiltoniano (5.5) faz lembrar o produto entre um número complexo e o seu conjugado; neste caso:

(\hat{X} - i \hat{P}) (\hat{X} + i \hat{P}) = {\hat{X}}^{2} + {\hat{P}}^{2} + i (\hat{X} \hat{P} - \hat{P} \hat{X})

(5.9)

o ultimo termo, entre parênteses, é o comutador de $\hat{X}$ e $\hat{P}$ , que é igual a $i ℏ$ . Como tal,

(\hat{X} - i \hat{P}) (\hat{X} + i \hat{P}) = {\hat{X}}^{2} + {\hat{P}}^{2} - ℏ

(5.10)

Vamos definir um operador, designado por operador de abaixamento (o fator $\sqrt{ℏ}$ no denominador garante que seja um operador sem unidades):

\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2 ℏ}} (\hat{X} + i \hat{P})

(5.11)

e o seu operador adjunto, designado por operador de levantamento, é:

{\hat{a}}^{†} = \frac{1}{\sqrt{2 ℏ}} (\hat{X} - i \hat{P})

(5.12)

Conjuntamente, estes dois operadores designam-se operadores de escada e, em função deles, a expressão (5.10) escreve-se:

{\hat{X}}^{2} + {\hat{P}}^{2} - ℏ = 2 ℏ {\hat{a}}^{†} \hat{a}

(5.13)

E o hamiltoniano (5.5) é então:

\hat{H} = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2})

(5.14)

Os operadores de escada não são hermíticos, mas o operador ${\hat{a}}^{†} \hat{a}$ sim é hermítico, e sem unidades.

O comutador dos operadores de escada é igual a 1, como pode mostrar-se substituindo as suas definições e usando o valor do comutador dos operadores de posição e quantidade de movimento:

[\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] = \frac{1}{2 ℏ} [\hat{X} + i \hat{P}, \hat{X} - i \hat{P}] = - \frac{i}{ℏ} [\hat{X}, \hat{P}] = 1

(5.15)

E o comutador do hamiltoniano (5.14) com os operadores de escada é:

[\hat{H}, \hat{a}] = ℏ ω [{\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2}, \hat{a}] = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} [\hat{a}, \hat{a}] + [{\hat{a}}^{†}, \hat{a}] \hat{a}) = - ℏ ω \hat{a}

(5.16)

[\hat{H}, {\hat{a}}^{†}] = ℏ ω [{\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2}, {\hat{a}}^{†}] = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} [\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] + [{\hat{a}}^{†}, {\hat{a}}^{†}] \hat{a}) = ℏ ω {\hat{a}}^{†}

(5.17)

5.3. Espetro de energia do oscilador harmónico

Se $| E ⟩$ for vetor próprio do hamiltoniano, correspondente ao valor próprio $E$ de energia,

\hat{H} | E ⟩ = E | E ⟩

(5.18)

Consideremos agora o ket $\hat{a} | E ⟩$ . O hamiltoniano atuando nesse ket é igual a:

\hat{H} (\hat{a} | E ⟩) = ([\hat{H}, \hat{a}] + \hat{a} \hat{H}) | E ⟩

(5.19)

e, usando a expressão (5.16) obtém-se:

\hat{H} (\hat{a} | E ⟩) = (\hat{a} \hat{H} - ℏ ω \hat{a}) | E ⟩ = (E - ℏ ω) \hat{a} | E ⟩

(5.20)

Isto mostra que $\hat{a} | E ⟩$ é também vetor próprio do hamiltoniano, mas com energia $E - ℏ ω$ . A norma do ket $\hat{a} | E ⟩$ é:

‖ \hat{a} | E ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ E | {\hat{a}}^{†} \hat{a} | E ⟩} = \sqrt{⟨ E | (\frac{\hat{H}}{ℏ ω} - \frac{1}{2}) | E ⟩} = \sqrt{\frac{E}{ℏ ω} - \frac{1}{2}}

(5.21)

Aplicando sucessivamente o operador de abaixamento ao ket $\hat{a} | E ⟩$ , conclui-se que $E - 2 ℏ ω$ , $E - 3 ℏ ω$ , … também são valores próprios da energia. Como esses valores próprios da energia não podem ser negativos, deverá existir um valor mínimo da energia, $E_{o}$ , que quando aplicarmos no respetivo vetor próprio o operador de abaixamento, o resultado seja o ket nulo, com norma igual a zero. Igualando a zero a expressão (5.21) do quadrado da norma de $\hat{a} | E_{0} ⟩$ , obtemos o valor mínimo da energia:

E_{0} = \frac{ℏ ω}{2}

(5.22)

O hamiltoniano atuando no ket ${\hat{a}}^{†} | E_{0} ⟩$ dá:

\hat{H} ({\hat{a}}^{†} | E_{0} ⟩) = ([\hat{H}, {\hat{a}}^{†}] + {\hat{a}}^{†} \hat{H}) | E_{0} ⟩

(5.23)

e, usando a expressão (5.17) obtém-se:

\hat{H} ({\hat{a}}^{†} | E_{0} ⟩) = ({\hat{a}}^{†} \hat{H} + ℏ ω {\hat{a}}^{†}) | E_{0} ⟩ = \frac{3 ℏ ω}{2} {\hat{a}}^{†} | E_{0} ⟩

(5.24)

Isto mostra que ${\hat{a}}^{†} | E_{0} ⟩$ é também vetor próprio do hamiltoniano, mas com energia $3 ℏ ω / 2$ . Aplicando sucessivamente o operador de elevamento, ${\hat{a}}^{†}$ , obtemos que $5 ℏ ω / 2$ , $7 ℏ ω / 2$ , … também são valores próprios. Como tal, os valores próprios do hamiltoniano do oscilador harmónico simples são:

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) (n = 0, 1, 2, \dots)

(5.25)

Aplicando o operador de abaixamento num dos estados próprios de energia, $\hat{a} | E_{n} ⟩$ , o resultado é o estado $| E_{n - 1} ⟩$ , multiplicado por uma constante; constante essa que é a norma de $\hat{a} | E_{n} ⟩$ , que é obtida substituindo $E$ por $E_{n} = ℏ ω (n + 1 / 2)$ na equação (5.21). Temos assim que,

\hat{a} | E_{n} ⟩ = \sqrt{n} | E_{n - 1} ⟩

(5.26)

Já $| Φ_{n} ⟩ = {\hat{a}}^{†} | E_{n} ⟩$ é proporcional a $| E_{n + 1} ⟩$ , e como,

⟨ E_{n} | \hat{a} {\hat{a}}^{†} | E_{n} ⟩ = ⟨ E_{n} | (\frac{\hat{H}}{ℏ ω} + \frac{1}{2}) | E_{n} ⟩ = \frac{E_{n}}{ℏ ω} + \frac{1}{2} = n + 1

(5.27)

O efeito do operador de levantamento num estado próprio da energia é:

{\hat{a}}^{†} | E_{n} ⟩ = \sqrt{n + 1} | E_{n + 1} ⟩

(5.28)

Exercícios

5.1. Encontre as expressões dos operadores de posição, $\hat{x}$ , e quantidade de movimento, $\hat{p}$ , em função de $\hat{a}$ e ${\hat{a}}^{†}$ .

Resolução. substituindo a definição (5.4) dos operadores $\hat{X}$ e $\hat{P}$ , na expressão (5.11) do operador de abaixamento, e na expressão (5.12), e tendo em conta que $\sqrt{k} m = ω$ , obtemos:

\hat{a} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (\hat{x} + \frac{i}{m ω} \hat{p}) {\hat{a}}^{†} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (\hat{x} - \frac{i}{m ω} \hat{p})

A soma e a diferença desses operadores são,

\hat{a} + {\hat{a}}^{†} = \sqrt{\frac{2 m ω}{ℏ}} \hat{x} \hat{a} - {\hat{a}}^{†} = i \sqrt{\frac{2}{m ℏ ω}} \hat{p}

E as expressões dos operadores de posição e quantidade de movimento são:

\hat{x} = \sqrt{\frac{ℏ}{2 m ω}} (\hat{a} + {\hat{a}}^{†}) \hat{p} = - i \sqrt{\frac{m ℏ ω}{2}} (\hat{a} - {\hat{a}}^{†})

5.2. Se o estado do sistema for um dos estados próprios do hamiltoniano do oscilador harmónico, $| E_{n} ⟩$ , de energia $E_{n}$ , determine os valores esperados de: $⟨ \hat{x} ⟩$ , $⟨ \hat{p} ⟩$ , $⟨ {\hat{x}}^{2} ⟩$ e $⟨ {\hat{p}}^{2} ⟩$ , e mostre que o valor esperado do hamiltoniano,

⟨ \hat{H} ⟩ = \frac{1}{2 m} ⟨ {\hat{p}}^{2} ⟩ + \frac{m ω^{2}}{2} ⟨ {\hat{x}}^{2} ⟩

é igual à energia $E_{n}$ .

Resolução. Usando a expressão de $\hat{x}$ obtida no exercício 5.1, e as equações (5.26) e (5.28),

\hat{x} | E_{n} ⟩ = \sqrt{\frac{ℏ}{2 m ω}} (\hat{a} + {\hat{a}}^{†})

= \sqrt{\frac{ℏ}{2 m ω}} (\sqrt{n} | E_{n - 1} ⟩ + \sqrt{n + 1} | E_{n + 1} ⟩)

e como os kets $| E_{n - 1} ⟩$ e $| E_{n + 1} ⟩$ são ortogonais a $| E_{n} ⟩$ , o valor esperado e $\hat{x}$ é zero:

⟨ \hat{x} ⟩ = ⟨ E_{n} | \hat{x} | E_{n} ⟩ = 0

De forma análoga, a partir da expressão de $\hat{p}$ obtida no exercício 5.1, e as equações (5.26) e (5.28), obtemos:

\hat{p} | E_{n} ⟩ = - i \sqrt{\frac{m ℏ ω}{2}} (\hat{a} - {\hat{a}}^{†})

= - i \sqrt{\frac{m ℏ ω}{2}} (\sqrt{n} | E_{n - 1} ⟩ - \sqrt{n + 1} | E_{n + 1} ⟩)

e o valor esperado e $\hat{p}$ também é zero:

⟨ \hat{p} ⟩ = ⟨ E_{n} | \hat{p} | E_{n} ⟩ = 0

A expressão de ${\hat{x}}^{2}$ é:

{\hat{x}}^{2} = \frac{ℏ}{2 m ω} {(\hat{a} + {\hat{a}}^{†})}^{2} = \frac{ℏ}{2 m ω} ({\hat{a}}^{2} + {\hat{a}}^{† 2} + \hat{a} {\hat{a}}^{†} + {\hat{a}}^{†} \hat{a})

e usando as equações (5.26) e (5.28), obtemos:

{\hat{x}}^{2} | E_{n} ⟩ = \frac{ℏ}{2 m ω} (\sqrt{n (n - 1)} | E_{n - 2} ⟩ + \sqrt{(n + 1) (n + 2)} | E_{n + 2} ⟩

+ (n + 1) | E_{n} ⟩ + n | E_{n} ⟩)

O produto de $⟨ E_{n} |$ com os dois primeiros kets é zero, e com os dois últimos é 1. Como tal, o valor esperado do operador ${\hat{x}}^{2}$ é:

⟨ {\hat{x}}^{2} ⟩ = ⟨ E_{n} | {\hat{x}}^{2} | E_{n} ⟩ = \frac{ℏ (2 n + 1)}{2 m ω}

A expressão de ${\hat{p}}^{2}$ é:

{\hat{p}}^{2} = - \frac{m ℏ ω}{2} {(\hat{a} - {\hat{a}}^{†})}^{2} = - \frac{m ℏ ω}{2} ({\hat{a}}^{2} + {\hat{a}}^{† 2} - \hat{a} {\hat{a}}^{†} - {\hat{a}}^{†} \hat{a})

e usando as equações (5.26) e (5.28), obtemos:

{\hat{p}}^{2} | E_{n} ⟩ = - \frac{m ℏ ω}{2} (\sqrt{n (n - 1)} | E_{n - 2} ⟩ + \sqrt{(n + 1) (n + 2)} | E_{n + 2} ⟩

- (n + 1) | E_{n} ⟩ - n | E_{n} ⟩)

O produto de $⟨ E_{n} |$ com os dois primeiros kets é zero, e com os dois últimos é 1. Como tal, o valor esperado do operador ${\hat{p}}^{2}$ é:

⟨ {\hat{p}}^{2} ⟩ = ⟨ E_{n} | {\hat{x}}^{2} | E_{n} ⟩ = \frac{m ℏ ω (2 n + 1)}{2}

Com os valores obtidos para $⟨ {\hat{x}}^{2} ⟩$ e $⟨ {\hat{p}}^{2} ⟩$ , temos que:

\frac{1}{2 m} ⟨ {\hat{p}}^{2} ⟩ + \frac{m ω^{2}}{2} ⟨ {\hat{x}}^{2} ⟩ = \frac{ℏ ω (2 n + 1)}{4} + \frac{ℏ ω (2 n + 1)}{4} = ℏ ω (n + \frac{1}{2})

que é exatamente o valor de $E_{n}$ .