3. Síntese de mecânica analítica

3.1. Movimento no espaço de fase

Na mecânica clássica, o movimento de uma partícula determina-se a partir da segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à variação da sua quantidade de movimento, $\vec{p}$ , em ordem ao tempo:

\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t}

(3.1)

Se a massa do corpo é constante, a derivada da sua quantidade de movimento é igual à sua massa vezes a sua aceleração. No século XVII, Kepler determinou as acelerações dos planetas nas suas órbitas em torno do Sol. Newton, baseado nos resultados de Kepler, determinou a expressão da força gravítica do Sol sobre qualquer objeto em qualquer posição do sistema solar e mostrou que tem a mesma forma da força que a Terra exerce nos corpos na sua "esfera de influência" (vizinhança da Terra onde a atração do Sol é praticamente igual em todos os pontos mas a atração da Terra varia significativamente) e estudou como seria o movimento de qualquer corpo sob a ação de uma força gravítica.

Conhecida a expressão de uma força $\vec{F}$ , a equação (3.1) permite determinar o movimento de um corpo sob a ação dessa força. Consideremos o caso em que o corpo só pode deslocar-se ao longo de uma curva. A posição do corpo ao longo da curva é dada por um comprimento de arco $s$ ao longo da curva. A cada instante $t$ , o estado do corpo é dado pela sua posição, $s$ , e a sua quantidade de movimento $p$ . Podemos representar os diferentes estados, em diferentes instantes, como pontos num plano com coordenadas $s$ e $p$ , designado por espaço de fase (figura 3.1).

**Figure 3.1:** Espaço de fase de um corpo em movimento numa dimensão.

Em cada instante $t$ , o estado corresponde a um ponto P no espaço de fase, com coordenadas:

P = (s, p)

(3.2)

A figura 3.1 mostra o estado $P_{0}$ num instante $t_{0}$ , e o estado $P_{1}$ num instante posterior $t_{1}$ . O estado só pode mudar de forma contínua no espaço de fase; como tal, existe uma curva contínua entre $P_{0}$ e $P_{1}$ , designada por curva de evolução, que inclui todos os estados no intervalo de tempo entre $t_{0}$ e $t_{1}$ . A cada instante, a derivada das coordenadas do estado P definem um vetor $\vec{u}$ , tangente à curva de evolução, designado por velocidade de fase:

\vec{u} = \frac{d P}{d t} = (\frac{d s}{d t}, \frac{d p}{d t})

(3.3)

A figura 3.2 mostra a velocidade de fase ${\vec{u}}_{0}$ no instante $t_{0}$ , e a velocidade de fase $\vec{u}$ num instante intermédio entre $t_{0}$ e $t_{1}$ .

**Figure 3.2:** Velocidade de fase de um corpo em movimento numa dimensão.

A derivada da posição $s$ em ordem ao tempo é a velocidade, $v$ , igual à sua quantidade de movimento, $p$ , dividida pela sua massa, $m$ . E de acordo com a segunda lei de Newton (3.1), a derivada da quantidade de movimento é a força resultante $F$ . Como tal, as componentes da velocidade de fase são:

\vec{u} = (\frac{p}{m}, F)

(3.4)

Basta então conhecer a expressão de $F$ , que, em geral, é uma função que depende do tempo $t$ , da posição $s$ e da quantidade de movimento $p$ , para determinar a velocidade de fase em qualquer ponto do espaço de fase. A partir de um estado inicial ( $s_{0}$ , $p_{o}$ ), a descrição do movimento do corpo obtém-se integrando a expressão da velocidade de fase, desde $t_{0}$ até um tempo $t$ posterior:

(s (t), p (t)) = (s_{0}, p_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} \vec{u} d t

(3.5)

Observe-se que dois estados diferentes, nunca podem evoluir para o mesmo estado. Se assim fosse, as duas curvas de evolução, diferentes, encontravam-se num ponto comum, onde teríamos então duas direções tangentes á duas curvas e, como tal, duas velocidades de fase diferentes no mesmo ponto, que é impossível; em cada ponto a velocidade de fase está definida de forma única pela expressão (3.4).

O retrato de fase de um sistema mostra algumas curvas de evolução no espaço de fase. Por exemplo, a figura 3.3 mostra um sistema com quatro curvas de evolução que se aproximam do ponto $P_{0}$ . Se o estado inicial do sistema estiver num dos pontos $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ou $P_{4}$ , após algum tempo o estado estará muito próximo do ponto $P_{0}$ . No entanto, as curvas de evolução aproximam-se assimptoticamente desse ponto, sem chegar exatamente a ele. A velocidade de fase no ponto $P_{0}$ é nula, e esse ponto está isolado: nenhuma curva de evolução passa por ele. Se num instante o sistema estiver no estado $P_{0}$ , permanecerá sempre nesse mesmo estado, sem evoluir. Um ponto como $P_{0}$ , onde a velocidade de fase é nula, é designado por ponto de equilíbrio.

**Figure 3.3:** Ponto de equilíbrio, $P_{0}$ e quatro curvas de evolução que se aproximam assimptoticamente desse estado.

O retrato de fase de um sistema pode ser traçado calculando a velocidade de fase em alguns pontos, e identificando os pontos onde a velocidade de fase é nula (pontos de equilíbrio). Um retrato de fase permite saber como evoluirá o sistema em diferentes regiões do espaço de fase, sem ter de resolver a equação (3.5). Uma curva de evolução que regressa ao ponto inicial representa um movimento oscilatório, em que os valores da posição e da velocidade repetem-se periodicamente. Na secção seguinte veremos um exemplo muito importante.

3.2. O oscilador harmónico simples

A figura 3.4 mostra um cilindro de massa $m$ pendurado de uma mola com constante elástica $k$ . Se a massa se desloca na vertical, sem oscilar, o movimento é ao longo de uma reta vertical, e basta uma variável, a altura $y$ do cilindro, para determinar a sua posição em qualquer instante..

**Figure 3.4:** Massa pendurada de uma mola elástica.

Há duas forças a atuar no objeto: o seu peso $m g$ , para baixo, e a força da mola, dada pela lei de Hooke e apontando para a posição em que a mola não está alongada. Se a altura $y$ for medida de baixo para cima, com origem no ponto onde a mola não está alongada, a força resultante sobre o objeto é,

F = - m g - k y

(3.6)

as componentes da velocidade e fase são então,

\vec{u} = (\frac{d y}{d t}, \frac{d p}{d t}) = (\frac{p}{m}, - m g - k y)

(3.7)

Existe um ponto de equilíbrio no espaço de fase, onde a velocidade de fase é nula:

P_{e} = (y_{e}, p_{e}) = (- \frac{m g}{k}, 0)

(3.8)

que corresponde ao ponto onde a mola desceu $m g / k$ unidades, pela ação do peso, e ficou em repouso. É útil mudar a variável $y$ para uma nova variável $s$ , de forma a que o ponto de equilíbrio fique na origem do espaço de fase, e a expressão da velocidade de fase fique mais simples. A mudança de variável que usaremos é:

y = \frac{s}{\sqrt{m k}} - \frac{m g}{k}

(3.9)

Com essa mudança de variável a velocidade de fase passa a ser:

\vec{u} = (\frac{d s}{d t}, \frac{d p}{d t}) = \sqrt{\frac{k}{m}} (p, - s)

(3.10)

com módulo constante,

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

(3.11)

e perpendicular ao segmento desde a origem até o ponto $P = (s, p)$ no espaço de fase.

**Figure 3.5:** Retrato de fase do oscilador harmónico simples.

A figura 3.5 é o retrato de fase do oscilador harmónico, que mostra as possíveis curvas de evolução. Todos os possíveis movimentos são circumferências no espaço de fase, percorridas com velocidade $\vec{u}$ de módulo constante, igual a $ω$ .

Arbitrando $t = 0$ no instante em que o estado passa pelo semieixo positivo $s$ , em $s_{0}$ , o ângulo que o estado faz com esse semieixo, em $t > 0$ , é $θ = ω t$ , e a posição $s$ é,

s (t) = s_{0} \cos (ω t)

(3.12)

Substituindo na equação (3.9), a altura do cilindro, em função do tempo, é:

y (t) = y_{e} + A \cos (ω t)

(3.13)

onde a amplitude $A$ do movimento é uma constante, $s_{0} / \sqrt{m k}$ , que depende da posição inicial, e o movimento é oscilatório com frequência:

f = \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

(3.14)

3.4. Parênteses de Poisson

Num sistema com variáveis de estado ( $s$ , $p$ ), definem-se os parênteses de Poisson de duas funções $F (s, p)$ e $G (s, p)$ igual à expressão,

{F, G} = \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial G}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial G}{\partial s}

(3.21)

Algumas propriedades importantes dos parênteses de Poisson são as seguintes:

Anticomutatividade: ${F, G} = - {G, F}$
Linearidade: ${a F + b G, J} = a {F, J} + b {G, J}$
Regra da cadeia: ${F G, J} = F {G, J} + {F, J} F$
Identidade de Jacobi: ${F, {G, J}} + {G, {J, F}} + {J, {F, G}} = 0$

A anticomutatividade implica que os parênteses de qualquer função com si própria são nulos: ${F, F} = 0$ . A derivada em ordem ao tempo de qualquer função do estado, $F (s, p)$ pode ser calculada pela regra da cadeia:

\frac{d F}{d t} = \frac{\partial F}{\partial s} \frac{d s}{d t} + \frac{\partial F}{\partial p} \frac{d p}{d t}

(3.22)

e, se o sistema é hamiltoniano, usando as equações de Hamilton temos,

\frac{d F}{d t} = \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial s}

(3.23)

conclui-se que a derivada temporal da função é igual aos parênteses de Poisson da função com a função hamiltoniana:

\frac{d F}{d t} = {F, H}

(3.24)

Isto é, a evolução temporal de qualquer função do estado é dada pelos parênteses de Poisson da função com a função hamiltoniana. As equações de Hamilton são dois casos particulares da equação geral (3.24), quando $f$ for igual a uma das variáveis de estado.

No caso mais geral, o estado de um sistema é dado por $n$ variáveis de posição: $s_{1}$ , $s_{2}$ ,…, $s_{n}$ e $n$ quantidades de movimento associadas a essas variáveis de posição: $p_{1}$ , $p_{2}$ ,…, $p_{n}$ . As funções de estado dependem dessas $2 n$ variáveis, e os parênteses de Poisson entre duas variáveis de estado são:

{F, G} = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial F}{\partial s_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial s_{i}})

(3.25)

A função hamiltoniana é também uma função das $2 n$ variáveis de estado, e a derivada temporal de qualquer função de estado é igual aos parênteses de Poisson da função com a função hamiltoniana.

Exercícios

3.1. Demonstre a identidade de Jacobi para parênteses de Poisson.

Resolução. Desenvolvendo o primeiro termo na identidade de Jacobi temos:

{F, {G, J}} = \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial {G, J}}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial {G, J}}{\partial s}

= \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial}{\partial p} (\frac{\partial G}{\partial s} \frac{\partial J}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial J}{\partial s}) - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial}{\partial s} (\frac{\partial G}{\partial s} \frac{\partial J}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial J}{\partial s})

e calculando as derivadas dos produtos obtêm-se oito termos:

{F, {G, J}} = \frac{\partial F}{\partial s} (\frac{\partial^{2} G}{\partial p \partial s} \frac{\partial J}{\partial p} + \frac{\partial G}{\partial s} \frac{\partial^{2} J}{\partial p^{2}} - \frac{\partial^{2} G}{\partial p^{2}} \frac{\partial J}{\partial s} - \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial^{2} J}{\partial p \partial s})

- \frac{\partial F}{\partial p} (\frac{\partial^{2} G}{\partial s^{2}} \frac{\partial J}{\partial p} + \frac{\partial G}{\partial s} \frac{\partial^{2} J}{\partial s \partial p} - \frac{\partial^{2} G}{\partial s \partial p} \frac{\partial J}{\partial s} - \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial^{2} J}{\partial s^{2}})

(3.26)

O segundo e terceiro termos na identidade de Jacobi obtêm-se permutando as funções $F$ , $G$ e $J$ , de forma cíclica no resultado anterior:

{G, {J, F}} = \frac{\partial G}{\partial s} (\frac{\partial^{2} J}{\partial p \partial s} \frac{\partial F}{\partial p} + \frac{\partial J}{\partial s} \frac{\partial^{2} F}{\partial p^{2}} - \frac{\partial^{2} J}{\partial p^{2}} \frac{\partial F}{\partial s} - \frac{\partial J}{\partial p} \frac{\partial^{2} F}{\partial p \partial s})

- \frac{\partial G}{\partial p} (\frac{\partial^{2} J}{\partial s^{2}} \frac{\partial F}{\partial p} + \frac{\partial J}{\partial s} \frac{\partial^{2} F}{\partial s \partial p} - \frac{\partial^{2} J}{\partial s \partial p} \frac{\partial F}{\partial s} - \frac{\partial J}{\partial p} \frac{\partial^{2} F}{\partial s^{2}})

(3.27)

{J, {F, G}} = \frac{\partial J}{\partial s} (\frac{\partial^{2} F}{\partial p \partial s} \frac{\partial G}{\partial p} + \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial^{2} G}{\partial p^{2}} - \frac{\partial^{2} F}{\partial p^{2}} \frac{\partial G}{\partial s} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial^{2} G}{\partial p \partial s})

- \frac{\partial J}{\partial p} (\frac{\partial^{2} F}{\partial s^{2}} \frac{\partial G}{\partial p} + \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\partial^{2} G}{\partial s \partial p} - \frac{\partial^{2} F}{\partial s \partial p} \frac{\partial G}{\partial s} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial^{2} G}{\partial s^{2}})

(3.28)

Observando os oito termos em cada uma das expressões (3.26), (3.27) e (3.28), observa-se que os termos 1 e 6 anulam-se entre as equações (3.26) e (3.28), e entre (3.28) e (3.27); os termos 2 e 3 anulam-se entre (3.26) e (3.27), e entre (3.27) e (3.28); os termos 4 e 7 anulam-se entre (3.26) e (3.27), e entre (3.28) e (3.26); e, finalmente, os termos 5 e 8 anulam-se entre (3.26) e (3.28), e entre (3.27) e (3.26).

3.2. O momento angular $\vec{L}$ de um corpo é o produto vetorial entre o seu vetor posição e a sua quantidade de movimento:

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

Calcule os três parênteses de Poisson:

{L_{x}, L_{y}} {L_{y}, L_{z}} {L_{z}, L_{x}}

Resolução. Há seis variáveis de estado, as três coordenadas cartesianas, $x$ , $y$ e $z$ , e as três componentes da quantidade de movimento, $p_{x}$ , $p_{y}$ e $p_{z}$ .

O produto vetorial entre $\vec{r} = x \hat{ı} + y \hat{ȷ} + z \hat{k}$ e $\vec{p} = p_{x} \hat{ı} + p_{y} \hat{ȷ} + p_{z} \hat{k}$ conduz às componentes do momento angular:

L_{x} = y p_{z} - z p_{y} L_{y} = z p_{x} - x p_{z} L_{z} = x p_{y} - y p_{x}

(3.29)

Os parênteses entre $L_{x}$ e $L_{y}$ são iguais a:

{L_{x}, L_{y}} = \frac{\partial L_{x}}{\partial x} \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{x}} - \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{x}} \frac{\partial L_{y}}{\partial x} + \frac{\partial L_{x}}{\partial y} \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{y}} - \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{y}} \frac{\partial L_{y}}{\partial y}

+ \frac{\partial L_{x}}{\partial z} \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{z}} - \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{z}} \frac{\partial L_{y}}{\partial z}

e derivando as expressões (3.29) obtém-se:

{L_{x}, L_{y}} = 0 \times z - 0 \times (- p_{z}) + p_{z} \times 0 - (- z) \times 0 + (- p_{y}) (- x) - y p_{x}

= x p_{y} - y p_{x} = L_{z}

De forma análoga,

{L_{y}, L_{z}} = \frac{\partial L_{y}}{\partial x} \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{x}} - \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{x}} \frac{\partial L_{z}}{\partial x} + \frac{\partial L_{y}}{\partial y} \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{y}} - \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{y}} \frac{\partial L_{z}}{\partial y}

+ \frac{\partial L_{y}}{\partial z} \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{z}} - \frac{\partial L_{y}}{\partial p_{z}} \frac{\partial L_{z}}{\partial z}

e a partir de (3.29) unicamente os dois primeiros termos são diferentes de zero e são iguais a:

{L_{y}, L_{z}} = (- p_{z}) (- y) - z p_{y} = L_{x}

Finalmente,

{L_{z}, L_{x}} = \frac{\partial L_{z}}{\partial x} \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{x}} - \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{x}} \frac{\partial L_{x}}{\partial x} + \frac{\partial L_{z}}{\partial y} \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{y}} - \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{y}} \frac{\partial L_{x}}{\partial y}

+ \frac{\partial L_{z}}{\partial z} \frac{\partial L_{x}}{\partial p_{z}} - \frac{\partial L_{z}}{\partial p_{z}} \frac{\partial L_{x}}{\partial z}

em que unicamente os terceiro e quarto termos são diferentes de zero e conduzem a:

{L_{z}, L_{x}} = (- p_{x}) (- z) - x p_{z} = L_{y}

Introdução à Mecânica Quântica

3. Síntese de mecânica analítica

3.1. Movimento no espaço de fase

3.2. O oscilador harmónico simples

3.3. Função hamiltoniana

3.4. Parênteses de Poisson

Exercícios