Introdução à Mecânica Quântica

6.2. Operadores de Spin

Vamos mostrar que é possível termos uma grandeza vetorial, com três operadores ${\hat{σ}}_{x}$ , ${\hat{σ}}_{y}$ e ${\hat{σ}}_{z}$ , em que cada um deles tem apenas dois valores próprios, $+ 1$ e $- 1$ . Assim, teremos um vetor simétrico em relação às direções dos três eixos, e em relação aos dois sentidos de cada eixo. O spin realmente tem valores próprios $\pm ℏ / 2$ , com unidades de momento angular, mas por simplicidade os operadores que definiremos nesta secção são os operadores de spin divididos por $ℏ / 2$ .

Sejam $| z ⟩_{+}$ e $| z ⟩_{-}$ os vetores próprios de ${\hat{σ}}_{z}$ , correspondentes aos valores próprios $1$ e $- 1$ :

{\hat{σ}}_{z} | z_{+} ⟩ = | z_{+} ⟩ {\hat{σ}}_{z} | z_{-} ⟩ = - | z_{-} ⟩

(6.1)

Como ${\hat{σ}}_{z}$ é hermítico, esses vetores são ortogonais e, se estiverem normalizados, formam uma base ortonormal:

⟨ z_{+} | z_{-} ⟩ = 0 ⟨ z_{+} | z_{+} ⟩ = ⟨ z_{-} | z_{-} ⟩ = 1

(6.2)

Os vetores próprios dos outros dois operadores, ${\hat{σ}}_{x}$ e ${\hat{σ}}_{y}$ , podem ser escritos em função dessa base. Se $| x ⟩_{+}$ e $| x ⟩_{-}$ são os vetores próprios de ${\hat{σ}}_{x}$ :

{\hat{σ}}_{x} | x_{+} ⟩ = | x_{+} ⟩ {\hat{σ}}_{x} | x_{-} ⟩ = - | x_{-} ⟩

(6.3)

Em função da base ${| z ⟩_{+}, | z ⟩_{-}}$ temos:

| x_{+} ⟩ = α_{+} | z ⟩_{+} + α_{-} | z ⟩_{-}

| x_{-} ⟩ = β_{+} | z ⟩_{+} + β_{-} | z ⟩_{-}

(6.4)

Como ${\hat{σ}}_{x}$ e ${\hat{σ}}_{z}$ são independentes, em qualquer um desses dois estados as probabilidades de medir ${\hat{σ}}_{z}$ igual a $+ 1$ ou $- 1$ devem ser iguais. Isso implica:

| α_{+} |^{2} = | α_{-} |^{2} = | β_{+} |^{2} = | β_{-} |^{2} = \frac{1}{2}

⟹ | α_{+} | = | α_{-} | = | β_{+} | = | β_{-} | = \frac{1}{\sqrt{2}}

Todos os números complexos da forma $e^{i θ} / \sqrt{2}$ (circunferência de raio $1 / \sqrt{2}$ e centro na origem do plano complexo) têm módulo igual a $1 / \sqrt{2}$ . Por outro lado, como os dois kets (6.4) devem ser ortogonais,

⟨ x_{+} | x_{-} ⟩ = α_{+}^{*} β_{+} + α_{-}^{*} β_{-} = 0

(6.5)

Uma forma simples de garantir esta condição, com quatro números reais de módulo $1 / \sqrt{2}$ , é: $α_{+} = α_{-} = β_{+} = 1 / \sqrt{2}$ e $β_{-} = - 1 / \sqrt{2}$ , que conduz a:

| x_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ + | z_{-} ⟩)

| x_{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ - | z_{-} ⟩)

(6.6)

Consideremos agora os vetores próprios $| y_{+} ⟩$ e $| y_{-} ⟩$ do operador ${\hat{σ}}_{y}$ :

{\hat{σ}}_{y} | y_{+} ⟩ = | y_{+} ⟩ {\hat{σ}}_{y} | y_{-} ⟩ = - | y_{-} ⟩

(6.7)

Em função da base ${| z ⟩_{+}, | z ⟩_{-}}$ podem ser escritos:

| y_{+} ⟩ = γ_{+} | z ⟩_{+} + γ_{-} | z ⟩_{-}

| y_{-} ⟩ = δ_{+} | z ⟩_{+} + δ_{-} | z ⟩_{-}

(6.8)

Como ${\hat{σ}}_{y}$ e ${\hat{σ}}_{z}$ são independentes, em qualquer um desses dois estados as probabilidades de medir ${\hat{σ}}_{z}$ igual a $+ 1$ ou $- 1$ devem ser iguais; isto é,

| γ_{+} |^{2} = | γ_{-} |^{2} = | δ_{+} |^{2} = | δ_{-} |^{2} = \frac{1}{2}

⟹ | γ_{+} | = | γ_{-} | = | δ_{+} | = | δ_{-} | = \frac{1}{\sqrt{2}}

E a condição de ortogonalidade entre $| y_{+} ⟩$ e $| y_{-} ⟩$ implica que:

γ_{+}^{*} δ_{+} + γ_{-}^{*} δ_{-} = 0

(6.9)

o qual pode ser garantido se $γ_{+} = γ_{-}$ e $δ_{+} = - δ_{-}$

Os vetores próprios (6.6) permitem calcular a probabilidade de medir ${\hat{σ}}_{x}$ igual a $+ 1$ nos estados (6.8):

| ⟨ x_{+} | y_{+} ⟩ |^{2} = \frac{1}{2} {| γ_{+} + γ_{-} |}^{2} = \frac{1}{2} (γ_{+}^{*} γ_{-} + γ_{+} γ_{-}^{*} + 1)

| ⟨ x_{+} | y_{-} ⟩ |^{2} = \frac{1}{2} {| δ_{+} + δ_{-} |}^{2} = \frac{1}{2} (δ_{+}^{*} δ_{-} + δ_{+} δ_{-}^{*} + 1)

probabilidades essas que deverão ser iguais a $1 / 2$ ; como tal:

γ_{+}^{*} γ_{-} = - γ_{+} γ_{-}^{*} δ_{+}^{*} δ_{-} = - δ_{+} δ_{-}^{*}

(6.10)

e os dois produtos $γ_{+}^{*} γ_{-}$ e $δ_{+}^{*} δ_{-}$ deverão ser números imaginários puros. Podemos escolher $γ_{+}$ e $δ_{+}$ reais, e $γ_{-}$ e $δ_{-}$ imaginários puros. Tendo em conta que as quatro constantes deverão ter módulo $1 / \sqrt{2}$ , e com a condição de ortogonalidade, uma escolha simples das quatro constantes conduz a:

| y_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ + i | z_{-} ⟩)

| y_{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ - i | z_{-} ⟩)

(6.11)

6.3. Matrizes de Pauli

Substituindo as expressões (6.6) na definição (6.3) dos vetores próprios de ${\hat{σ}}_{x}$ , obtemos:

\frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{σ}}_{x} | z_{+} ⟩ + {\hat{σ}}_{x} | z_{-} ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ + | z_{-} ⟩)

\frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{σ}}_{x} | z_{+} ⟩ - {\hat{σ}}_{x} | z_{-} ⟩) = - \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ - | z_{-} ⟩)

e a solução deste sistema é:

{\hat{σ}}_{x} | z_{+} ⟩ = | z_{-} ⟩ {\hat{σ}}_{x} | z_{-} ⟩ = | z_{+} ⟩

(6.12)

Isto quer dizer que a matriz que representa ${\hat{σ}}_{x}$ na base ${| z_{+} ⟩, | z_{-} ⟩}$ é:

{\hat{σ}}_{x} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

(6.13)

A seguir, substituiremos as expressões (6.11) na definição (6.7) dos vetores próprios de ${\hat{σ}}_{y}$ :

\frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{σ}}_{y} | z_{+} ⟩ + i {\hat{σ}}_{y} | z_{-} ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ + i | z_{-} ⟩)

\frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{σ}}_{y} | z_{+} ⟩ - i {\hat{σ}}_{x} | z_{-} ⟩) = - \frac{1}{\sqrt{2}} (| z_{+} ⟩ - i | z_{-} ⟩)

que conduz a:

{\hat{σ}}_{y} | z_{+} ⟩ = i | z_{-} ⟩ {\hat{σ}}_{x} | z_{-} ⟩ = - i | z_{+} ⟩

(6.14)

E a matriz que representa ${\hat{σ}}_{y}$ na base ${| z_{+} ⟩, | z_{-} ⟩}$ é:

{\hat{σ}}_{y} = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

(6.15)

Finalmente, a definição (6.1) dos vetores próprios de ${\hat{σ}}_{z}$ implica que a matriz que representa a ${\hat{σ}}_{z}$ é:

{\hat{σ}}_{z} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

(6.16)

As três matrizes (6.13), (6.15) e (6.16) são conhecidas como Matrices de Pauli. Algumas das propriedades dessas matrizes são as seguintes:

Anticomutam entre si, isto é, trocando a ordem do produto de duas delas, diferentes, muda o sinal:
${\hat{σ}}_{j} {\hat{σ}}_{k} = - {\hat{σ}}_{k} {\hat{σ}}_{j} (j \neq k)$
O quadrado de cada uma delas é igual à matriz identidade:
${\hat{σ}}_{j}^{2} = \hat{1}$
O produto de duas delas, diferentes, é igual à terceira matriz multiplicada por $i$ ou $- i$ :
${\hat{σ}}_{x} {\hat{σ}}_{y} = i {\hat{σ}}_{z} {\hat{σ}}_{y} {\hat{σ}}_{z} = i {\hat{σ}}_{x} {\hat{σ}}_{z} {\hat{σ}}_{x} = i {\hat{σ}}_{y}$

Exercícios

6.1. Encontre os valores e vetores próprios da matriz de Pauli:

{\hat{σ}}_{y} = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

Resolução. A equação que define os valores próprios é:

| \begin{matrix} - σ_{y} & - i \\ i & - σ_{y} \end{matrix} | = 0 ⟹ σ_{y}^{2} = 1 ⟹ σ_{y} = \pm 1

Vetores próprios com $σ_{y} = 1$ :

[\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] ⟹ b = i a ⟹ | y_{+} ⟩ = [\begin{matrix} a \\ i a \end{matrix}]

em que $a$ pode ser qualquer número complexo (pode escolher-se $a = 1 / \sqrt{2}$ para que a norma do vetor seja 1, mas o enunciado não pede que assim seja).

Vetores próprios com $σ_{y} = - 1$ :

[\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}] = - [\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}] ⟹ d = - i c ⟹ | y_{-} ⟩ = [\begin{matrix} c \\ - i c \end{matrix}]

em que $c$ pode ser qualquer número complexo.

6.2. Mostre que qualquer operador linear no espaço gerado pela base ${| z ⟩_{+}, | z_{-} ⟩}$ pode ser escrito como combinação linear dos operadores de spin e o operador identidade.

Resolução. A matriz que representa um operador $\hat{Ω}$ nesse espaço é:

\hat{Ω} = [\begin{matrix} Ω_{+ +} & Ω_{+ -} \\ Ω_{- +} & Ω_{- -} \end{matrix}]

onde $Ω_{j k} = ⟨ z_{j} | \hat{Ω} | z_{k} ⟩$ .

Combinando a matriz identidade com as matrizes de Pauli temos:

\frac{1}{2} (\hat{1} + {\hat{σ}}_{z}) = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \frac{1}{2} (\hat{1} - {\hat{σ}}_{z}) = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

\frac{1}{2} ({\hat{σ}}_{x} - i {\hat{σ}}_{y}) = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \frac{1}{2} ({\hat{σ}}_{x} + i {\hat{σ}}_{y}) = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

Como tal,

\hat{Ω} = \frac{Ω_{+ +}}{2} (\hat{1} + {\hat{σ}}_{z}) + \frac{Ω_{+ -}}{2} ({\hat{σ}}_{x} - i {\hat{σ}}_{y}) + \frac{Ω_{- +}}{2} ({\hat{σ}}_{x} + i {\hat{σ}}_{y}) + \frac{Ω_{- -}}{2} (\hat{1} - {\hat{σ}}_{z})

= \frac{1}{2} (Ω_{+ +} + Ω_{- -}) \hat{1} + \frac{1}{2} (Ω_{+ -} + Ω_{- +}) {\hat{σ}}_{x}

+ \frac{i}{2} (Ω_{- +} - Ω_{+ -}) {\hat{σ}}_{y} + \frac{1}{2} (Ω_{+ +} - Ω_{- -}) {\hat{σ}}_{z}

Introdução à Mecânica Quântica

6. Spin

6.1. Observáveis vetoriais

6.2. Operadores de Spin

6.3. Matrizes de Pauli

Exercícios