Neste apêndice mostra-se como surgem as equações de Lagrange a partir da segunda lei de Newton. Considere-se um sistema formado por corpos rígidos com vetores posição dos centros de massa: , , …, . Ou seja, são necessárias coordenadas, que podem ser distâncias ou ângulos, para determinar a configuração dosistema.
Se o sistema é holonómico, existem equações que relacionam algumas das coordenadas e que permitem reduzir o número de coordenadas independentes para coordenadas generalizadas ( ):
Cada vetor de posição pode depender de várias dessas coordenadas e do tempo:
e a velocidade do corpo é
ou seja, também depende das coordenadas generalizadas, do tempo e das velocidades generalizadas :
e as derivadas parciais de obtêm-se derivando o somatório acima:
O vetor aceleração do corpo é:
Se num instante dado o valor de cada coordenada é modificado para , cada vetor posição sofre uma alteração:
e multiplicando escalarmente os dois lados da equação B.2 pelos dois lados desta equação, obtém-se
Como a derivada do produto é,
De acordo com as equações B.1, a derivada e o termo dentro dos parêntesis no lado direito da equação são as derivadas parciais de em ordem a e , obtendo-se assim o resultado:
e a equação B.4 pode escrever-se então,
A seguir observe-se que as derivadas parciais de em ordem às coordenadas e velocidades generalizadas são:
substituindo estas duas expressões na equação B.5 e multiplicando os dois lados da equação pela massa do corpo , obtém-se
onde é a energia cinética do corpo . A segunda lei de Newton diz que é a força resultante sobre o corpo ; usando a expressão B.3 e somando sobre todos os corpos , obtém-se
que conduz às equações de Lagrange:
onde é a energia cinética total do sistema e a força generalizada é definida por