dinâmica

Dinâmica e Sistemas Dinâmicos - Formulário

1. Cinemática

¯ v = ∆ s ∆ t
¯ a t = ∆ v ∆ t
v = d s d t
a t = d v d t
a t = v d v d s

2. Cinemática vetorial

v x = d x d t  (ou y ou z )
a x = d v x d t  (ou y ou z )
a x = v x d v x d x  (ou y ou z )
r = x ˆ ı + y ˆ + z ˆ k
v = d r d t
a = d v d t
r = r i + t t i v ( t )d t
v = v i + t t i a ( t )d t

Movimento relativo:

r P = r P/Q + r Q
v P = v P/Q + v Q
a P = a P/Q + a Q

Produto escalar:

a · b = a b cos θ
a · b = a x b x + a y b y + a z b z
a = a · a

3. Movimento curvilíneo

v = ˙ s ˆ e t
a = ˙ v ˆ e t + v 2 R ˆ e n
a 2 = a 2t + a 2n

Movimento circular:

s = R θ
v = R ω
a t = R α

Produto vetorial:

a × b = a b sin θ ˆ n
a × b = ⏐⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ˆ ı ˆ ˆ k a x a y a z b x b y b z ⏐⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
a × b =− b × a

Rotação dos corpos rígidos:

v = ω × r
α = d ω d t
a = α × r + ω × v

Rotação plana:

v b/a = R b/a ω
ω = ω ˆ e eixo
ω = d θ d t
α = d ω d t
α = ω d ω d θ

4. Mecânica vetorial

p = m v
t 2 t 1 F d t = p 2 − p 1
F = m a
P = m g
F e ≤ µ e R n
F c = µ c R n

Esfera num fluido:

N R = r v ρ η
F f = 6 πη r v  ( N R < 1 )
F f = π 4 ρ r 2 v 2  ( N R > 10 3 )

5. Dinâmica dos corpos rígidos

M o = F b
M o = r × F
M z = ⏐⏐ ⏐ ⏐ x y F x F y ⏐⏐ ⏐ ⏐
r cm = 1 m r d m
v cm = 1 m v d m
a cm = 1 m a d m
n i = 1 F i = m a cm
n i = 1 M z , i = I z α
I z = R 2 d m

6. Trabalho e energia

W 12 = s 2 s 1 F t d s
W 12 = E c (2) − E c (1)
E c = 1 2 m v 2cm + 1 2 I cm ω 2
U =− r r 0 F · d r
W 12 = U (1) − U (2)
U g = m g z
U e = 1 2 k s 2
E m = E c + U
s 2 s 1 F nct d s = E m (2) − E m (1)

Oscilador harmónico simples:

Ω = k m = 2 π f
s = A sin( Ω t + φ 0 )
E m = 1 2 m v 2 + 1 2 k s 2

7. Sistemas dinâmicos

˙ x 1 = f 1 ( x 1 , x 2 )
˙ x 2 = f 2 ( x 1 , x 2 )
u = f 1 ( x 1 , x 2 )ˆ e 1 + f 2 ( x 1 , x 2 )ˆ e 2

Equações diferenciais de segunda ordem:

¨ x = f ( x , ˙ x )
y = ˙ x
u = y ˆ ı + f ( x , y )ˆ

Sistemas conservativos:

∂ f 1 ∂ x 1 + ∂ f 2 ∂ x 2 = 0
f 1 = ∂ H ∂ x 2
f 2 =− ∂ H ∂ x 1
Evolução: H = constante

8. Mecânica lagrangiana

d d t ∂ E c ∂ ˙ q j − ∂ E c ∂ q j + ∂ U ∂ q j = Q j
Q j = i F i · ∂ r i ∂ q j

Multiplicadores de Lagrange:

d d t ∂ E c ∂ ˙ q j − ∂ E c ∂ q j + ∂ U ∂ q j − λ∂ f ∂ q j = Q j
λ∂ f ∂ q j = componente j da força/momento de ligação

9. Sistemas lineares

d r d t = A r
r = x y
A = a 11 a 12 a 21 a 22
λ 2 − tr( A ) λ + det( A ) = 0

Valores próprios λTipo de pontoTipo de equilíbrio
2 reais; sinais opostosponto de selainstável
2 reais, positivosnó repulsivoinstável
2 reais, negativosnó atrativoestável
2 complexos; parte real positivafoco repulsivoinstável
2 complexos; parte real negativafoco atrativoestável
2 imaginárioscentroestável
1 real, positivonó impróprio repulsivoinstável
1 real, negativonó impróprio atrativoestável

10. Sistemas não lineares

˙ x 1 = f 1 ( x 1 , x 2 )
˙ x 2 = f 2 ( x 1 , x 2 )
( f 1 e f 2 funções contínuas)
J ( x 1 , x 2 ) = ⎡⎢ ⎢ ⎣ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⎤⎥ ⎥ ⎦

Pêndulo:

¨ θ =− g l sin θ
l = r 2g r cm

11. Ciclos limite e dinâmica populacional

Sistemas de duas espécies:

˙ x 1 = f 1 ( x 1 , x 2 )
˙ x 2 = f 2 ( x 1 , x 2 )
lim x 1 → 0 f 1 ( x 1 , x 2 ) = 0
lim x 2 → 0 f 2 ( x 1 , x 2 ) = 0

Sistema com cooperação:  ∂ f 1 ∂ x 2  e   ∂ f 2 ∂ x 1  positivas.

Sistema com competição:  ∂ f 1 ∂ x 2  e   ∂ f 2 ∂ x 1  negativas.

Sistema predador presa:  ∂ f 1 ∂ x 2  e   ∂ f 2 ∂ x 1  com sinais opostos.

12. Sistemas caóticos

Conjunto limite positivo:  ω ( Γ ) = onde se aproxima a curva Γ em t →∞

Conjunto limite negativo:  α ( Γ ) = onde se aproxima a curva Γ em t →−∞

Divergência:  ∇· u = ∂ f 1 ∂ x 1 + ∂ f 2 ∂ x 2

Teorema de Poincaré-Bendixson. Num sistema com apenas duas variáveis de estado, se existir α ( Γ ) ou ω ( Γ ) , deverá ser um dos três casos seguintes:

  1. ponto de equilíbrio;
  2. ciclo;
  3. órbita homoclínica ou heteroclínica.

Com 3 ou mais variáveis de estado, um conjunto limite que não seja nenhum desses 3 casos é um atrator estranho.

Critério de Bendixson. Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região simplesmente conexa do espaço de fase a divergência é sempre positiva ou sempre negativa, nessa região não existem nem ciclos nem órbitas.

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