Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?
No eixo horizontal , a projeção da velocidade permanece constante e é igual à velocidade inicial (unidades SI). A distância que o berlinde se desloca na horizontal é então , a partir de , quando abandona a superfície horizontal. Como a largura de cada degrau é 0.3, então o tempo que o berlinde demora em avançar cada degrau é 0.1 segundos. Se durante o tempo que demora até avançar algum degrau a distância vertical que cai chega a ultrapassar a distância que esse mesmo degrau desce, em relação ao ponto inicial, então o berlinde não chegará a ultrapassar esse degrau, batendo nele.
Como tal, é necessário calcular a sequencia de posições verticais em = 0.1, 0.2, 0.3, … e compará-las com as posições verticais dos degraus: = , , , … O primeiro valor de na sequência que faça com que seja menor que , será o degrau em que o berlinde bate.
A projeção vertical da velocidade em é , porque o berlinde é lançado horizontalmente. Integrando a aceleração, , em ordem a , obtém-se:
Arbitrando , a posição em qualquer instante é então o integral de , desde zero até :
E a sequencia de posições verticais é então,
Comparando com , conclui-se que o berlinde bate no quarto degrau ( é menor que ).
A velocidade de uma partícula em movimento no plano é dada pela expressão: (unidades SI). No instante = 0 a partícula encontra-se no eixo dos , na posição .
(a) Determine em que instante passará pelo eixo dos e a que distância da origem estará nesse instante.
(b) Calcule a aceleração em = 0 e no instante em que passa pelo eixo dos .
A expressão da posição obtém-se somando a posição inicial mais o integral da velocidade, em ordem ao tempo, desde o instante inicial até um instante qualquer
Ou seja, a partícula passa pelo eixo dos no instante s e a uma distância de 0.96 m da origem.
A aceleração no instante inicial é ~m/s2 e quando passa pelo eixo dos é ~m/s2.
Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20° com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável,
(a) Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado.
(b) A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado?
(c) Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão.
(a) Com na horizontal e na vertical, a velocidade inicial é (unidades SI)
A posição inicial é e a aceleração é constante: . A expressão da velocidade obtém-se integrando a aceleração desde o instante inicial até um instante qualquer
e a expressão da posição obtém-se integrando essa expressão da velocidade desde o instante inicial até um instante qualquer
O tempo que demora até bater no chão é o tempo que faz com que a componente da posição seja nula
(b) A distância horizontal entre o ponto onde a pedra bate no chão e o ponto onde abandonou o telhado é o valor da componente da posição no instante em que bate no chão
(c) A velocidade no instante em que bate no chão é
e o ângulo que faz com a vertical é a tangente inversa da componente dividida pelo valor absoluto da componente
Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.5 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 20 minutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, nesse dia, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s.
(a) O barco desloca-se 1500 m entre as duas margens, durante 20 minutos, com velocidade constante. Como tal, a sua velocidade em relação à terra é igual a
(b) A velocidade do barco em relação à água, , mais a velocidade da corrente, , é igual à velocidade do barco em relação à Terra, , como se mostra na figura seguinte.
Como o barco atravessa o rio na direção perpendicular às margens, a velocidade da corrente é perpendicular à velocidade do barco e essas duas velocidades são os catetos num triângulo retângulo onde é a hipotenusa.
Como tal, a velocidade do barco em relação à água é
(c) O motor do barco é responsável pela sua velocidade em relação à água, . A velocidade em relação à Terra depende também da corrente no rio. O valor de calculado na alínea anterior corresponde à velocidade máxima produzida pelo motor. No segundo dia, para atravessar o rio no tempo mínimo, o motor deverá funcionar à sua potência máxima produzindo esse mesmo valor da velocidade, , mas a direção do vetor deverá ser diferente, para que seja novamente perpendicular às margens do rio.
No triângulo retângulo da figura acima, o comprimento da hipotenusa será então 1.733, mas os catetos terão valores diferentes. O cateto vertical (velocidade da corrente) terá comprimento 0.8.
Como tal, o comprimento do cateto horizontal será:
Com essa velocidade, o tempo mínimo necessário para atravessar o rio será
ou seja, aproximadamente 16 minutos e 16 segundos.
Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura. Num instante, a velocidade do bloco A é m/s, para cima, e a sua aceleração é m/s2, para baixo; no mesmo instante, a velocidade e aceleração do bloco C são: m/s, para baixo, m/s2, para cima. Determine a velocidade e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo.
Definem-se 4 variáveis , , e para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel, em relação a algo fixo, por exemplo o teto, tal como mostra a figura ao lado.
Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio, então
e a ligação dos cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica:
Derivando essas duas equações em ordem ao tempo, obtêm-se as relações para as velocidades:
Como as distâncias aumentam quando os objetos descem, então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas. Assim sendo, as velocidades dadas no enunciado são e e a equação acima dá ; ou seja, a velocidade do cilindro B é 5 m/s, para baixo.
Derivando novamente a relação entre as velocidades obtém-se a relação entre as acelerações:
e substituindo os valores dados, e , obtém-se ; ou seja, a aceleração do cilindro B é nula.
No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal.
Há dois movimentos diferentes: o movimento da barra e das duas roldanas móveis e o movimento do cilindro. Esses dois movimentos são a variação da posição da barra e do cilindro em relação a algum objeto fixo; usando como referência o teto (ver figura) as posições da barra e do cilindro são e .
A distância entre o centro de uma das roldanas móveis e o centro de uma das roldanas fixas é menos uma constante. Assim sendo, o comprimento do fio é
Derivando esta equação em ordem ao tempo obtém-se
e derivando novamente