Uma particula com massa
= 2 kg desloca-se sobre uma calha
parabólica vertical com equação
, onde
é medida na
horizontal e
na vertical (ambas em metros). Como tal, o
movimento da partícula tem apenas um grau de liberdade, que pode ser
escolhido como a coordenada
.
(a) Escreva a equação da energia cinética em função de
.
(b) Escreva a equação da energia potencial gravítica em função
de
(use o valor
m/s2).
(c) Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força não
conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a sua equação
de movimento.
(d) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema no espaço de
fase, e determine se são estáveis ou instáveis.
(a) A relação entre e encontra-se derivando a equação da calha
Em função da coordenada generalizada e da velocidade generalizada , a energia cinética da partícula é:
(b) Arbitrando energia potencial gravítica nula em = 0, A energia potencial gravítica da partícula é:
(c) A equação de Lagrange é:
e a equação de movimento:
(d) As equações de evolução são as seguintes
Os pontos de equilíbrio são as soluções do sistema de equações
Ou seja, o único ponto de equilíbrio é a origem do espaço de fase, que corresponde a quando a partícula se encontra em repouso, no ponto mais baixo da calha. Nessa situação, se a partícula fosse afastada do ponto mais baixo da calha, a sua tendência será regressar a esse ponto; como tal, trata-se de um ponto de equilíbrio estável. Pode também traçar-se o retrato de fase correspondente às equações de evolução e conferir que a origem é ponto de equilíbrio estável, com infinitos ciclos à sua volta.
O cilindro A na figura tem massa de 36 gramas, o cilindro B tem massa de 24 gramas e o momento de inércia da roldana dupla é 4.43×10−7 kg·m2. A roldana está formada por dois discos, de raios 5 cm e 8 cm, colados um ao outro. Cada cilindro está ligado a um fio com o extremo oposto ligado à roldana, de forma que o fio enrola-se ou desenrola-se, sem deslizar sobre a roldana, quando esta roda. (a) Desprezando o atrito no eixo da roldana e a resistência do ar, determine os valores das acelerações de cada cilindro e diga se são para cima ou para baixo. (b) Determine os valores das tensões nos dois fios.
(a) Se e são as alturas dos centros de massa dos dois cilindros, num instante inicial, como mostra o lado esquerdo da figura seguinte,
num instante posterior a roldana terá rodado um ângulo , que se for no sentido contrário aos ponteiros do relógio, como no lado direito da figura, faz diminuir a altura do cilindro A num comprimento igual ao arco de círculo com 5 cm e ângulo , e a altura do cilindro B aumenta uma distância igual ao arco de círculo de 8 cm e ângulo . Como tal, num instante qualquer as alturas dos dois cilindros serão
Onde e são duas constantes (alturas iniciais). Como tal, o sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo . As expressões para as velocidades e acelerações dos cilindros são então:
onde é a velocidade angular da roldana e é a sua aceleração angular. A expressão da energia cinética total do sistema é:
E a energia potencial gravítica, excluindo a energia potencial da roldana e outros termos constantes, é:
Aplicando a equação de Lagrange, obtém-se a aceleração angular:
O sinal negativo indica que a roldana acelera no sentido dos ponteiros do relógio. Como tal, a aceleração do bloco A é para cima e a do bloco B é para baixo, e os seus valores absolutos são:
(b) Para determinar as tensões nos fios, faz-se de conta que as alturas dos cilindros podem variar independentemente do ângulo que a roldana rode. Ou seja, o sistema passa a ter três graus de liberdade, , e , com três equações de Lagrange. Nessas 3 equações de Lagrange introduzem-se dois multiplicadores de Lagrange e , que correspondem às duas condições nas equações (1) da alínea anterior, que devem ser escritas como funções com valor constante:
A expressão da energia cinética do sistema deve ser escrita agora em função das três velocidades , e , consideradas independentes entre si
E a energia potencial gravítica, excluindo a energia potencial da roldana que permanece constante, é:
A equação de Lagrange associada a e é:
A equação associada a e é:
E a equação associada a e é:
Estas três equações de Lagrange devem ser resolvidas junto com as duas expressões obtidas derivando duas vezes as funções constantes e (equações (2)):
No Maxima, usa-se o comando solve. Observe-se que os dois multiplicadores de Lagrange, e , são as próprias tensões nos dois fios, e
Que corrobora os resultados obtidos na alínea anterior para as acelerações e mostra que a tensão no fio ligado ao cilindro A é 0.3615 N e a tensão no fio ligado ao cilindro B é 0.2259 N. Observe-se que, a pesar de que a tensão é maior que , a roldana roda no sentido dos ponteiros do relógio, porque o momento produzido por é maior do que o produzido por .
No sistema representado na figura, a massa das rodas e da roldana e o atrito nos seus eixos podem ser desprezados. (a) Determine as expressões para as energias cinética e potencial do sistema, em função do ângulo e do deslocamento horizontal do carrinho. (b) Determine as expressões da aceleração do carrinho e da aceleração angular . (c) Encontre o valor do ângulo na posição de equilíbrio do pêndulo e diga se o equilíbrio é estável ou instável. (d) Determine o valor da aceleração do carrinho, no caso em que o pêndulo permaneça na posição de equilíbrio.
(a) Este sistema tem dois graus de liberdade, o ângulo de oscilação do pêndulo e a posição horizontal do carrinho. As velocidades do carrinho e do cilindro são ambas iguais a . O vetor velocidade da esfera é a soma do vetor velocidade do carrinho, mais o vetor velocidade de rotação da esfera em relação ao ponto de contacto do fio com o poste; escolhendo o eixo horizontal e para a direita e o eixo vertical e para cima, o vetor velocidade da esfera é:
Representando no Maxima o ângulo pela variável , pela variável e pela variável
A energia cinética do sistema é a soma das energias cinéticas do carrinho, do cilindro e da esfera
E as energias potenciais que não permanecem constantes são as energias potenciais gravíticas da esfera e do cilindro; a energia potencial do sistema é igual à soma dessas duas energias
(b) Antes de usar as equações de Lagrange, definem-se as derivadas das duas coordenadas e duas velocidades generalizadas, em ordem ao tempo
As duas equações de Lagrange são
E as expressões para a aceleração do carrinho, , e a aceleração angular do pêndulo, , são
(c) Este sistema nunca chega a estar em equilíbrio porque o cilindro desce sem parar. No entanto, o pêndulo sim pode ficar em equilíbrio. As duas equações de evolução só do pêndulo são
onde é a expressão obtida em (%o12). As condições de equilíbrio do pêndulo são então são então =0 e =0.
solve não consegue resolver problemas com infinitas soluções mas como só interessa a solução no primeiro quadrante, o ângulo da posição de equilíbrio, em graus, é
Para determinar a estabilidade desse ponto de equilíbrio, calcula-se o valor da derivada de no ponto de equilíbrio.
este resultado negativo implica que o ponto de equilíbrio é estável.
A roldana fixa no sistema da figura tem massa
e a roldana móvel
tem massa
(ambas podem ser consideradas discos uniformes). A
massa do carrinho é
e a massa do cilindro mais o suporte
que o liga à roldana móvel é
. Admita que a massa do fio e
das rodas do carrinho, a força de atrito cinético nos eixos das
roldanas e das rodas do carrinho e a resistência do ar são
desprezáveis.
(a) Mostre que, em função da altura
que o cilindro desce,
as energias cinética e potencial do sistema são
(a) O comprimento constante do fio implica constante e, como tal, a relação entre as velocidades do carrinho, , e do cilindro, , é
A energia cinética do sistema é a soma das energias de translação do carrinho, do cilindro e da roldana móvel, mais as energias de rotação das duas roldanas.
A única energia potencial que está a mudar é a energia potencial gravítica do cilindro mais a roldana móvel. O peso total desses dois objetos é e, ignorando termos constantes, a energia potencial do sistema é
(b) A aceleração do cilindro, , encontra-se a partir da equação de Lagrange
O valor absoluto da aceleração do carrinho, , é o dobro, ou seja, m/s2.
Um bloco de massa desce um plano inclinado que faz um ângulo com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e plano inclinado é . Usando a equação de Lagrange com um multiplicador, encontre as expressões para a reação normal do plano sobre o bloco e da aceleração do bloco, (despreze a resistência do ar).
Fazendo de conta que o bloco não mantém o contacto com o plano inclinado, há duas coordenadas generalizadas, e . A equação da restrição que faz com que o bloco esteja sempre em contacto com o plano inclinado é:
A energia cinética do bloco é
A altura do bloco, em relação à mesa é
e a energia potencial gravítica do bloco é
As duas componentes da força generalizada são e , onde é a força de atrito cinético e é o vetor posição do bloco
Introduz-se um multiplicador de Lagrange e as duas equações de Lagrange são
As componentes da força de ligação, e , são as componentes da reação normal. Ou seja, o multiplicador de Lagrange é a reação normal: . Substituindo nas equações de Lagrange, obtém-se
O saltador na figura encolhe o corpo no ponto P, para rodar mais
rapidamente, e estende-o novamente em Q, para reduzir a rotação na
entrada para a água. As alterações da velocidade angular são
consequência da alteração do momento de inércia.
(a) Se o momento de inércia do saltador em relação ao centro de
massa é
, que depende do tempo, escreva as expressões para as suas
energias cinética e potencial em função da posição (
,
) do
centro de massa e do ângulo de rotação
.
(b) Usando a equação de Lagrange para
, demonstre que o
momento angular,
,
permanece constante.
(c) Se no ponto P mais alto da trajetória o momento de inércia
é 3.28 kg·m2 e a velocidade angular
s−1 e
no ponto Q o momento de inércia é 28.2 kg·m2, determine a
velocidade angular do saltador no ponto Q.
(a) A velocidade do centro de massa é e a velocidade angular é . A energia cinética do saltador é então
e a sua energia potencial gravítica é
(b) Como nenhuma das duas energias depende explicitamente de , as suas derivadas parciais em ordem a , são nulas e a equação de Lagrange para é
Que é equivalente a dizer que a função
permanece constante em qualquer tempo . Derivando a energia cinética em ordem a obtém-se a expressão do momento angular
Como tal, quando o saltador encolhe o corpo, diminuindo o valor de , a velocidade angular terá de aumentar.
(c) A conservação do momento angular implica
e substituindo os valores dados