Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor até o sexto andar de um
prédio. O ascensor parte do repouso no rés de chão, acelera até o
segundo andar, com aceleração uniforme de 2 m/s2,
mantém a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar e trava
entre o quarto e o sexto andar, com aceleração uniforme de
−2 m/s2. Determine o módulo da reação normal
nos pés da pessoa, em cada parte do percurso.
A figura mostra o diagrama de corpo livre da pessoa, onde
é a reação normal do chão do elevador nos seus
pés. Definindo o sentido positivo de baixo para cima, a soma das duas
forças externas é então
Entre o rés de chão e o segundo andar a força resultante aponta para
cima e, assim sendo
Entre o segundo e o quarto andar, a força resultante é nula
Finalmente, entre o quarto e o sexto andar, a força resultante é
negativa, porque aponta para baixo
Problema 5
Um homem com 72 kg empurra uma caixa de madeira com 8 kg
sobre um chão horizontal, exercendo uma força horizontal nela que a
faz deslizar no chão. Sobre a caixa está pousado um livro com
0.6 kg. O homem, a caixa e o livro deslocam-se conjuntamente,
com aceleração igual a 0.5 m/s2. Determine os
valores das forças de atrito entre o chão e a caixa, entre a caixa e o
livro e entre o chão e os pés do homem, ignorando a resistência do ar
e sabendo que os coeficientes de atrito estático (
) e
atrito cinético (
) são: entre o chão e a caixa,
e
; entre a caixa e o livro,
e
; entre o chão e os pés
do homem,
e
.
Existem quatro pontos de contacto entre corpos rígidos:
Entre a base do livro e a tampa da caixa.
Entre a base da caixa e o chão.
Entre os pés do homem e o chão.
Entre as mãos do homem e a parede lateral direita da caixa
(admitindo que está a ser empurrada para a esquerda).
Em 1 há reação normal,
, vertical, e força horizontal,
, de
atrito estático porque o livro não está a deslizar sobre a caixa. Em 2
há força de reação normal,
, vertical, e força horizontal,
,
de atrito cinético, porque a caixa desliza sobre o chão. Em 3 há
reação normal,
, vertical, e força horizontal,
, de atrito
estático porque os pés do homem não derrapam sobre o chão. Em 4 há
apenas reação normal,
, porque o enunciado diz que a força que o
homem exerce na caixa é horizontal. A figura seguinte mostra os
diagramas de corpo livre do livro, da caixa e do homem.
No livro,
aponta para a esquerda, porque o livro acelera para a
esquerda. O mesmo acontece com a força
no homem. Essas duas
forças de atrito estático não podem ultrapassar o valor máximo,
, mas podem ter qualquer valor entre 0 e esse valor
máximo. A força de atrito cinético
é no sentido oposto ao
movimento da caixa e tem módulo igual a
. Os pesos do livro, da caixa e do homem são:
N,
N e
N.
As duas equações de movimento de translação do livro são (unidades
SI):
As equações de movimento de translação da caixa são:
E as equações de movimento de translação do homem são:
O valor máximo que pode ter
é
e o valor máximo
possível de
é
. Como os resultados obtidos não
ultrapassam esses valores máximos, esses resultados são válidos e a
resposta é: a força de atrito entre a caixa e o livro é 0.3 N, a força
de atrito entre a caixa e o chão é 0.2×84.28 = 16.856 N e a
força de atrito entre o chão e os pés do homem é 57.156 N.
Problema 6
Um automóvel com 1230 kg sobe uma rampa com declive de 8 por cento,
com velocidade constante. Determine:
(a) O valor da força de atrito total (soma das forças nos quatro
pneus).
(b) O valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a estrada e
os pneus para que o automóvel consiga subir a rampa.
A figura mostra o diagrama de corpo livre do automóvel, onde
e
são a soma das reações
normais e das forças de atrito nos quatro pneus (para que
aponte no sentido do movimento, deve ser atrito
estático, pelo menos em alguns dos pneus). Como a velocidade é linear
e constante, a aceleração é nula e a soma das forças externas
também. Usando os dois eixos indicados na figura, as somas das
componentes
e
das forças devem ser ambas nulas
(a) Como o ângulo
é igual à inclinação da rampa, então
a segunda equação conduz a
(b) A reação normal determina-se resolvendo a condição da soma
das componentes
das forças
E como,
então
Este problema também podia ser resolvido colocando as três forças uma
a continuação da outra, como se mostra na figura ao lado. Como a força
resultante é nula, os três vetores formam um triângulo, que neste caso
é retângulo e semelhante ao triângulo da rampa. Por semelhança de
triângulos conclui-se que a força de atrito é igual a
, a reação normal é igual a
e o coeficiente de atrito mínimo é 8/100.
Problema 8
Uma esfera de raio
e massa volúmica
cai
livremente dentro de um fluido com massa volúmica
e coeficiente
de viscosidade
. (a) Encontre as expressões para a
velocidade terminal quando a resistência do fluido é proporcional à
velocidade ou quando é proporcional ao quadrado da
velocidade. (b) Calcule a velocidade terminal dentro de
glicerina, água e ar de uma esfera de aço (massa volúmica
7800 kg/m3) e diâmetro de 1 cm; em cada caso
determine o valor do número de Reynolds. Use os dados na tabela
seguinte:
Fluido
Viscosidade (kg/(m·s))
Massa volúmica (kg/m3)
Glicerina
1.5
1200
Água
10−3
1000
Ar
1.8×10−5
1.2
(a) A figura mostra o diagrama de corpo livre da esfera, onde
é igual à massa da esfera menos a massa do fluido que ocuparia o
mesmo volume da esfera e
é a força de resistência
do fluído, que inicialmente é nula, mas aumenta à medida que a
velocidade da esfera aumenta. No instante em que o módulo da força de
resistência seja igual ao peso, a aceleração será nula, a esfera
atingirá a velocidade limite constante e a força de resistência
permanecerá também constante. Como tal, a condição que permite
determinar a velocidade terminal é
No caso da força de resistência proporcional à velocidade, a
equação 4.12 para uma
esfera conduz à seguinte expressão
E no caso da força de resistência proporcional ao quadrado da
velocidade, a equação
4.14 para uma esfera conduz à seguinte expressão
(b) Na glicerina, como a viscosidade é elevada, admite-se que a
força de resistência seja proporcional à velocidade e, assim sendo, a
velocidade terminal da esfera é
Usando o raio da esfera, o número de Reynolds é
Que por ser da ordem de grandeza das unidades corrobora que a força de
resistência sim é proporcional à velocidade. Os mesmos cálculos no
caso da água conduzem aos seguintes resultados
Que é um resultando inconsistente, porque o número de Reynolds é da
ordem dos milhões. Isso implica que é necessário repetir os cálculos
admitindo que a força de resistência é proporcional ao quadrado da
velocidade
Que sim é um resultado consistente. Repetindo os mesmos cálculos para
o caso do ar, encontra-se
Problema 10
Para medir o coeficiente de atrito estático entre um bloco e um disco,
fez-se rodar o disco com uma aceleração angular
constante. O disco parte do
repouso em
e no instante
o bloco começa a
derrapar sobre o disco. Determine o valor do coeficiente de atrito
estático.
A figura mostra o diagrama de corpo livre do bloco, onde
é a reação normal e
a força
de atrito estático. Como não há movimento vertical, a reação normal é
igual ao peso e a força de atrito é a força resultante
. Enquanto o bloco acompanha o movimento do disco, a sua
aceleração
é a mesma aceleração do movimento circular do disco, ou
seja
No instante em que o bloco começa a derrapar, a força de atrito
estático é máxima, e
Para encontrar a velocidade angular no instante em que o bloco começa
a derrapar, integra-se a equação que relaciona a aceleração angular
com a velocidade angular e o tempo,
. Usando o
método de separação de variáveis,
E substituindo na expressão para o coeficiente de atrito
