Uma partícula com massa
, desloca-se ao longo do eixo dos
sob a
ação de uma força resultante
que depende da posição
e da
componente da velocidade
. Para cada um dos casos seguintes
encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto equilíbrio é
cada um (estável ou instável; centro, foco, nó ou ponto de sela) e
desenhe o retrato de fase mostrando as órbitas mais importantes:
(a)
(b)
As equações de evolução são:
(a) Nos pontos de equilíbrio, e , ou seja, existe um único ponto de equilíbrio em . A matriz jacobiana é:
E a matriz da aproximação linear na vizinhança do ponto de equilíbrio é:
Que tem traço nulo e determinante (positivo) igual a 1. Como tal, o ponto de equilíbrio poderá ser centro ou foco (na aproximação linear não há dúvida que é centro, mas devido aos termos não lineares um centro pode tornar-se foco; deverá ser conferido no retrato de fase). O retrato de fase traça-se com o comando:
E comprova-se que o ponto de equilíbrio é um centro. Qualquer curva de evolução com maior que -1 é um ciclo.
(b) Nos pontos de equilíbrio, e , ou seja, existem três pontos de equilíbrio em , e . A matriz jacobiana é:
A matriz da aproximação linear na vizinhança do ponto de equilíbrio (0, 0) é:
Com determinante negativo e, como tal, o ponto (0, 0) é ponto de sela.
No ponto de equilíbrio (1, 0) a matriz da aproximação linear é:
Com traço e determinante . Como é maior que , o ponto (1, 0) é foco atrativo.
No ponto de equilíbrio (-1, 0) a matriz da aproximação linear é:
Com traço e determinante . Como é maior que , o ponto (-1, 0) é foco repulsivo.
O retrato de fase traça-se com o comando:
A amplitude de oscilação de um pêndulo decresce, devido à força de resistência do ar e ao atrito no eixo. Admita um pêndulo de comprimento cm e massa kg, em que o atrito no eixo é desprezável mas a resistência do ar não. A equação de movimento é a equação 8.8
(a) Usando o programa rk, com intervalos de tempo de 0.1, desde até ,
Executando novamente o programa rk com intervalos de tempo dez vezes menores,
Conclui-se que é necessário reduzir ainda mais o valor dos intervalos de tempo, para obter uma solução convergente:
Que é um resultado convergente com 4 algarismos significativos. O gráfico do ângulo e da velocidade angular, em função do tempo, obtém-se com o comando:
E a curva de evolução no espaço de fase é o gráfico da velocidade angular em função do ângulo, obtido com o seguinte comando:
Os dois gráficos mostram que pêndulo oscila com amplitude que decresce lentamente.
(b) Usando o programa rk, com os mesmos intervalos de tempo usados para obter os gráficos na alínea anterior,
Os gráficos do ângulo e da velocidade angular, em função do tempo, e da curva de evolução no espaço de fase, obtêm-se repetindo os mesmos comandos da alínea anterior:
O pêndulo roda três voltas completas, no sentido horário, e quando passa a quarta vez pela posição de equilíbrio estável, começa a oscilar com amplitude que decresce lentamente.
Para analisar a equação diferencial não linear
,
(a) Escreva as equações de evolução do sistema dinâmico
associado à equação.
(b) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema.
(c) Determine a matriz jacobiana.
(d) Caracterize cada um dos pontos de equilíbrio.
(e) Se em
os valores da variável
e da sua derivada
são
e
, determine (numericamente) os valores da
variável e da sua derivada em
.
(a) Define-se uma segunda variável de estado:
e substitui-se na equação do sistema:
Como tal, as duas equações de evolução — expressões das derivadas das duas variáveis de estado — são:
(b) Para resolver esta alínea não é necessário ter resolvido a alínea anterior. Basta observar que nos pontos de equilíbrio permanece constante e, assim sendo, . Substituindo na equação do sistema,
(c) Usando as equações obtidas na alínea (a),
(Também pode usar-se a função jacobian do Maxima, para determinar a matriz).
(d) Substituindo e na matriz jacobiana obtém-se:
Como o traço dessa matriz é nulo e o determinante é 8, os valores próprios são números imaginários e o ponto , é um centro ou foco (o retrato de fase mostra que é centro).
Substituindo e na matriz jacobiana obtém-se:
Como o traço dessa matriz é nulo e o determinante é -8, os valores próprios são reais, com sinais opostos. O ponto , é então ponto de sela.
(e) Usa-se a função rk do Maxima várias vezes, com valores decrescentes dos intervalos de tempo, até se obterem valores convergentes do resultado:
Ou seja, os valores aproximados de e , em , são: 0.5869 e 0.8277.
O sistema dinâmico com equações de evolução:
(a) No eixo dos , é igual a zero e a velocidade de fase é,
No eixo dos , é igual a zero e a velocidade de fase é,
(b) Na reta = , a velocidade de fase é,
com módulo igual a e versor:
Na reta ,
(c) A figura seguinte mostra os versores encontrados nas duas alíneas anteriores e algumas curvas de evolução. Como há curvas que se aproximam da origem e curvas que se afastam dele, a origem é ponto de sela.
(d) Não existem ciclos nem órbitas heteroclínicas. Existem um número infinito de órbitas homoclínicas: todas as curvas de evolução no primeiro e terceiro quadrantes são órbitas homoclínicas.
Qualquer corpo celeste (planeta, cometa, asteroide, sonda espacial, etc) de massa no sistema solar tem uma energia potencial gravítica produzida pelo Sol, que é responsável pelas órbitas elípticas desses corpos. A expressão para a energia potencial é,
(a) Há quatro variáveis de estado: , , e . As expressões das energias cinética e potencial são:
Onde xp e yp representam as velocidades generalizadas e . Para aplicar as equações de Lagrange é necessário definir xp e yp como derivadas e em ordem ao tempo, e definir também xpp e ypp como derivadas de xp e yp:
As duas equações de Lagrange conduzem às duas equações de movimento:
As equações de movimento são:
(b) Usando as condições iniciais dadas e o intervalo de tempo desde 0 até 100, com incrementos de 0.05, a solução numérica do problema obtém-se com o programa rk:
onde o é uma lista com várias listas de cinco elementos, com os valores de ( , , , , ) em diferentes instantes entre 0 e 100. Como tal, o gráfico de trajetória do cometa ( vs ) pode ser obtido com o seguinte comando:
Usou-se a opção same_xy para que a escala nos dois eixos seja igual, mostrando a forma real da trajetória. O resultado é o gráfico seguinte:
O facto de que o satélite não repete a mesma trajetória, mas aproxima-se cada vez mais do Sol, indica que a sua energia mecânica diminui, em vez de permanecer constante, como era suposto acontecer. Conclui-se então que o intervalo não é suficientemente pequeno e o resultado obtido têm erro numérico muito elevado.
(c) Reduzindo o valor dos incrementos de tempo:
O erro numérico é muito menor, mas o cometa continua a perder energia; seria necessário reduzir ainda mais o valor de para diminuir o erro.
(d) O comando
Mostra que o cometa está mais afastado do Sol em aproximadamente 36 anos. Como foram usados incrementos de iguais a 0.02 = 1/50, 36 anos aparecerá na posição 1801 da lista. Observando a lista de valores de nessa parte da lista:
Conclui-se que o valor mínimo de (distância máxima ao Sol) é aproximadamente 34.14 UA. Essa distância máxima é maior do que a órbita de Neptuno e a distância mínima, 0.587 UA, está entre as órbitas de Mercúrio e Vénus.