Os díodos emissores de luz (LED) são muito usados atualmente em aparelhos eletrónicos. Um LED produz luz de forma muito eficiente, com um consumo elétrico de apenas alguns miliwatt. São construídos em diferentes formas, tamanhos e cores. Cada algarismo num écran numérico é obtido com um conjunto de 8 LED; para obter cada um dos números acendem-se as combinações de LED necessárias.
Um LED é construído com cristais semicondutores e tem um tempo de duração muito elevado. A luz que produz tem uma cor própria que não muda com a corrente ou as condições de operação.
As equações básicas que permitem calcular o campo eletromagnético são conhecidas como equações de Maxwelll. Uma forma suficiente de definir os dois campos, elétrico e magnético, em qualquer ponto do espaço, consiste em descrever o fluxo desses campos em qualquer superfície fechada e o integral de linha em qualquer curva fechada. São necessárias então quatro equações, uma para o fluxo do campo elétrico, , outra para o fluxo do cmapo magnético, , e duas mais para os integrais de linha dos dois campos.
Essas quatro equações já foram introduzidas ao longo dos capítulos anteriores e vão ser reescritas aqui. A primeira equação de Maxwell é a lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico numa superfície fechada com as cargas no seu interior:
No caso do campo magnético, como não existem monopolos magnéticos, o fluxo através de qualquer superfície fechada é nulo.
Esta é a segunda equação de Maxwell.
A terceira equação de Maxwell é a equação que define o integral de linha do campo elétrico em qualquer curva fechada C. Essa equação é a lei de Faraday, introduzida no capítulo 9.
em que o integral no primeiro membro corresponde à f.e.m. induzida na curva C fechado. O fluxo magnético no segundo membro da equação é o fluxo através da superfície delimitada pela curva C.
A quarta equação, que define o integral de linha do campo magnético em qualquer curva fechada C, é a lei de Ampère, já estudada no capítulo sobre o campo magnético:
mas Maxwell observou que esta equação só poderia ser válida no caso em que não existam campos elétricos variáveis.
No capítulo sobre indução eletromagnética viu-se que os campos elétrico e magnético são diferentes em diferentes referenciais inerciais, e utilizou-se a invariância da força eletromagnética para calcular o campo elétrico induzido num referencial em que o campo magnético não é estático. De igual modo, num referencial em que o campo elétrico não é estático, deve aparecer um campo magnético induzido.
Na equação 12.4 falta um termo que dependa da variação do campo elétrico e que corresponda ao integral de linha do campo magnético induzido.
Considere-se o exemplo de um fio retilíneo sobre o semieixo negativo dos , que se estende desde até a origem (figura 12.1). Se durante alguns instantes existe no fio uma corrente , no sentido positivo do eixo dos , há acumulação de cargas positivas na origem; se representa a carga acumulada na origem no instante , a derivada dessa função em ordem ao tempo é igual à corrente:
Para calcular o módulo do campo magnético em três pontos , e , que se encontram a uma distância do eixo dos , considerem-se 3 circunferências de raio , perpendiculares ao eixo dos , com centro no eixo e orientadas no sentido indicado na figura 12.1. Aplicando a lei de Ampère a essas 3 circunferências, conclui-se que o módulo do campo magnético no ponto é e nos pontos e é nulo.
A linha contínua no gráfico 12.2 mostra o módulo do campo magnético obtido usando a lei de Ampère para todos os pontos a uma distância do eixo dos . Em ( ) existe uma descontinuidade; o campo passa de para zero. A curva a tracejado é o resultado mais realista esperado: o campo decresce gradualmente até zero.
Para obter a curva a tracejado na figura 12.2 é necessário incluir no segundo membro da equação 12.4 um termo adicional que é nulo longe da origem e na vizinhança da origem aproxima-se de , se for negativo, ou , se for positivo.
A carga na origem produz fluxo elétrico negativo através do interior da circunferência que passa por e positivo através do interior da circunferência que passa por . Quando os pontos e se aproximam de , o fluxo elétrico nessas duas circunferências é e respetivamente. Como tal, a derivada do fluxo elétrico em ordem ao tempo passa de para e o termo que falta no segundo membro da equação 12.4 é:
Incluindo esse termo na equação 12.4, obtém-se a quarta equação de Maxwell:
Um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico, e um campo elétrico variável induz um campo magnético. Um exemplo é o campo magnético uniforme do problema 6 no capítulo 9; a variação do campo em função do tempo induz um campo elétrico com linhas de campo circulares.
O campo elétrico induzido é proporcional à derivada do fluxo magnético e o campo magnético induzido é proporcional à derivada do fluxo elétrico. Quando um campo é uniforme, o fluxo através de uma superfície é maior se a superfície for perpendicular ao campo; isso implica que o campo induzido é perpendicular ao campo variável.
A figura 12.3 mostra o campo elétrico induzido por um campo magnético uniforme mas variável, e o campo magnético induzido por um campo elétrico uniforme e variável. No primeiro caso, devido ao sinal negativo no lado direito da equação 12.3, o campo elétrico induzido tem sentido oposto ao obtido com a regra da mão direita em relação à derivada do campo magnético; como o campo magnético está a diminuir, a derivada do campo aponta para baixo e a regra da mão direita indica rotação no sentido horário; portanto, as linhas do campo induzido estão orientadas no sentido anti-horário.
O sinal positivo do último termo na equação 12.7 implica que as linhas do campo magnético induzido seguem a regra da mão direita em relação ao aumento do campo elétrico. No caso do campo elétrico variável no lado direito da figura 12.3, como o campo está a diminuir, a derivada do campo elétrico aponta para baixo e a regra da mão direita indica que o campo magnético induzido é no sentido horário.
No vácuo, não podem haver cargas ou correntes, pois não há matéria, mas pode haver campos elétricos e magnéticos. Nesse caso, as quatro equações de Maxwell tomam a forma,
O único parâmetro nessas equações é a constante . No sistema internacional de unidades, o valor dessa constante é:
que é exatamente igual ao inverso do quadrado da velocidade da luz no vácuo,
Maxwell foi o primeiro a descobrir esta relação entre as constantes elétrica e magnética e a velocidade da luz, a meados do século XIX, quando o valor da velocidade da luz no vácuo já era conhecido com muita precisão, mas ninguém suspeitava que existisse qualquer relação entre o eletromagnetismo e a luz. Maxwell concluiu então que a luz deve ser uma onda eletromagnética, composta por campos elétrico e magnético que se podem propagar no vácuo.
Para investigar as soluções das equações 12.8, 12.9, 12.10 e 12.11, admita-se que numa região existem campos elétrico e magnético que são soluções dessas equações; cada um dos campos é induzido pela variação do outro. Se os campos forem uniformes nessa região, já se viu que devem ser perpendiculares entre si. Pode-se fixar a origem num ponto onde existem campo elétrico e magnético e escolher os eixo dos e dos a apontar nas direções e sentidos do campo e nesse ponto, respetivamente.
Aplique-se a equação 12.11 num percurso retangular infinitesimal C , perpendicular ao eixo dos , com lados e e um vértice na origem, orientado como indica a figura 12.4. O fluxo elétrico através do interior de C é:
Estando o campo magnético na direção e sentido do eixo dos , o integral de linha do campo magnético ao longo de C é:
e substituindo 12.14 e 12.15 na equação 12.11, obtém-se:
Dividindo os dois membros dessa equação por e calculando o limite , obtém-se no primeiro membro a derivada parcial de em ordem a , com sinal negativo:
Em seguida, aplique-se a equação 12.10 num percurso retangular infinitesimal C , perpendicular ao eixo dos , com lados e e um vértice na origem, orientado no sentido que mostra a figura 12.5.
O fluxo magnético através do interior de C é , e o integral de linha do campo elétrico ao longo de C é . Substituindo na equação 12.9 obtém-se:
e dividindo ambos os membros por e calculando o limite , o primeiro membro fica igual à derivada parcial de em função de :
Derivando a equação 12.17 em ordem a e a equação 12.19 em ordem a e combinando as duas equações, pode-se obter uma equação em que figura unicamente o campo elétrico:
Também se pode obter uma equação apenas para o campo magnético, derivando a equação 12.17 em ordem a e a equação 12.19 em ordem a e combinando os resultados:
As equações 12.20 e 12.21 são a mesma equação, designada de equação de onda.
As soluções das equações 12.20 ou 12.21 podem ser obtidas num outro sistema de coordenadas em que a equação assume uma forma mais simples. A componente do campo elétrico, na equação 12.20, é uma função que depende de e de . Fazendo uma mudança para duas variáveis caraterísticas e definidas por:
e usando a regra de derivação de funções compostas, calculam-se as derivadas parciais de , em função de e , substituindo-as na equação 12.20 para obter:
É fácil ver que para verificar essa equação, uma das duas derivadas parciais de , em ordem a ou em ordem a , deve ser nula. Isto é, o campo deve ser uma função que depende apenas de , ou uma função que depende apenas de . Em função das variáveis e , a função pode ter uma das duas formas:
ou qualquer combinação linear desses dois tipos de funções. Quaisquer funções ou conduzem a soluções particulares da equação de onda.
Para cada valor de , a função é idêntica à função , em , mas deslocada no sentido negativo do eixo dos de uma distância igual a . Assim sendo, o campo descreve uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo dos , com velocidade . Uma análise semelhante mostra que descreve uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo dos , com velocidade .
O campo magnético , que também verifica a equação de onda, também deve ter uma forma semelhante à equação 12.24, mas não pode ser independente da solução obtida para , devido às relações 12.17 e 12.19. Substituindo as soluções 12.24 na equação 12.17, obtém-se as soluções correspondentes para o campo magnético:
O fator no denominador indica que a intensidade do campo magnético numa onda eletromagnética é muito menor que a intensidade do campo elétrico. Os sinais obtidos nestas expressões para indicam que os campos indicados nas figuras 12.4 e 12.5 correspondem a uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo dos e se a onda se propaga no sentido negativo do eixo dos , o campo magnético tem o sentido oposto ao que foi indicado nas figuras 12.4 e 12.5.
Conclui-se que existem duas famílias de soluções das equações de onda eletromagnética. A primeira família corresponde a ondas que se propagam no sentido positivo do eixo dos com campos elétrico e magnético dados pelas seguintes expressões:
em que pode ser qualquer função contínua de uma variável, . A figura 12.6 mostra uma dessas soluções.
A segunda família de soluções são ondas eletromagnéticas que se propagam no sentido negativo do eixo dos , e com campos que verificam as expressões:
onde é qualquer função contínua de uma variável, .
Estas soluções foram obtidas admitindo que as direções dos campos elétrico e magnético são iguais em todo o espaço e esse tipo de onda eletromagnética chama-se onda plana polarizada. Lembre-se que a direção do campo magnético é necessariamente perpendicular ao campo elétrico. A direção de propagação da onda é perpendicular à direção do campo elétrico e à direção do campo magnético e é sempre no sentido do produto vetorial ; nomeadamente, seguindo a regra da mão direita de para .
A direção de polarização é, por definição, a direção do campo elétrico. O campo magnético da onda é muito mais fraco do que o campo elétrico. O módulo da velocidade de todas as ondas eletromagnéticas no vácuo é sempre a constante .
As ondas planas polarizadas, que se propagam na direção do eixo dos ou dos , têm formas semelhantes às equações 12.26 ou 12.27, com substituído pela coordenada correspondente à direção de propagação, o versor substituído pelo versor na direção de polarização e substituído pelo versor perpendicular às direções de propagação e de polarização, seguindo a regra da mão direita do versor de propagação para o versor de polarização.
Uma onda harmónica é uma onda com a forma de uma função sinusoidal, como na figura 12.7, no caso de uma onda que se desloca no sentido positivo do eixo dos .
A distância entre dois pontos consecutivos onde o campo e a sua derivada têm o mesmo valor, é designada por comprimento de onda (por exemplo, a distância entre dois máximos ou mínimos consecutivos). O valor máximo do módulo do campo, , é a sua amplitude.
O tempo que a onda demora a percorrer um comprimento de onda designa-se por período, . O inverso do período é a frequência , que indica o número de comprimentos de onda que passam por um ponto, por unidade de tempo. No sistema SI a unidade da frequência é o hertz, .
No caso de uma onda eletromagnética no vácuo, a velocidade de propagação é e observa-se a relação:
A equação da função representada na figura 12.7 é:
onde a constante é a fase inicial. Essa função representa a forma da onda num instante inicial, que se pode tomar como . Para obter a função de onda num instante diferente, substitui-se por , já que a onda se propaga no sentido positivo do eixo dos , com velocidade
e usando a relação entre a velocidade e o período, pode-se escrever
Para , obtém-se a equação que descreve o campo elétrico na origem, em função do tempo:
e vê-se que o campo elétrico na origem é uma função sinusoidal com período e amplitude . O campo noutros pontos tem exatamente a mesma forma sinusoidal, mas com diferentes valores da constante de fase.
Uma onda eletromagnética plana propaga-se no vácuo, no sentido negativo do eixo dos . Num dado instante o campo elétrico é , onde é medido em metros e o campo é medido em N/C. Escreva a função que define o campo magnético em qualquer ponto e em qualquer instante.
Resolução. A função que define o campo elétrico em = 0 indica que se trata de uma onda harmónica polarizada na direção do versor . O campo elétrico de uma onda harmónica plana, polarizada segundo , que se propaga no sentido negativo do eixo , é:
Substituindo = 0 e comparando com o campo dado no enunciado, conclui-se que:
e deve ser igual à velocidade da luz no vácuo que em unidades SI é 3×108. Assim, = 9.75×1016 e o campo elétrico em qualquer ponto e em qualquer instante é:
O módulo do campo é igual ao módulo do campo elétrico, dividido pela velocidade da luz; o sentido de deve garantir que o produto vetorial seja na direção de propagação ( ) e portanto:
O comprimento de onda, , e a frequência, , de uma onda harmónica não podem variar independentemente, pois estão relacionados por . Dada a frequência ou o comprimento de onda, é possível classificar a onda dentro do espetro eletromagnético e determinar as suas propriedades. O valor máximo dos campos determina a intensidade, mas não a classificação no espetro.
Em princípio, podem existir ondas eletromagnéticas com qualquer valor de entre 0 e ∞. Alguns exemplos de ondas eletromagnéticas são as ondas de rádio e de comunicações móveis, as ondas usadas num forno de microondas para aquecer os alimentos e a luz visível. O que distingue entre essas ondas é a frequência respetiva, ou de forma equivalente, o comprimento de onda. A figura 12.8 mostra o espetro eletromagnético identificando algumas das ondas comuns.
Usualmente, a radiação eletromagnética produzida por um sistema não tem uma frequência única , como no caso das ondas harmónicas, mas é uma sobreposição de ondas harmónicas com uma distribuição de frequências. Por exemplo, a luz solar tem um espetro contínuo de frequências na banda visível; a mistura das várias cores faz parecer a luz branca mas fazendo passar essa luz através de um prisma (figura 12.9), consegue-se ver o espetro das várias cores (diferentes frequências).
Dentro de um meio diferente do vácuo, a constante de Coulomb na equação 12.13 deve ser dividida pela constante dielétrica do meio. Isso conduz a uma velocidade da luz menor do que no vácuo. A constante dielétrica é maior quanto maior a frequência; como tal, a cor que se propaga mais lentamente no prisma (violeta) sofre um maior desvio, como mostra a figura 12.9. O arco-íris é outra manifestação desse mesmo fenômeno (dispersão da luz). A luz do Sol atravessa gotas de água nas nuvens e é refletida, como se mostra na figura 12.10; se não houvesse dispersão, veríamos um ponto de luz intensa, refletida, na direção oposta a onde está o Sol. A dispersão da luz dentro das gotas de água faz com que esse ponto de luz refletida se torne num anel, com um ângulo de aproximadamente 42°, à volta desse ponto. Como a dispersão das diferentes cores é diferente, em vez de um anel são criados vários anéis. A cor que sofre maior dispersão (violeta) acaba por ficar no anel mais próximo do centro, porque a reflexão na superfície interna da gota inverte a ordem das cores.
Existem vários fenómenos que corroboram que a luz é uma onda; por exemplo, a interferência, difração e polarização. Alguns cristais têm a propriedade de polarizar a luz: só deixam passar uma parte da luz incidente. Colocando um segundo filtro polarizador a seguir ao primeiro e rodando um dos filtros, existe uma posição para a qual não passa nenhuma luz (figura 12.11).
Observando com um filtro polarizador a luz refletida numa superfície e rodando o filtro, existe uma posição em que não se consegue ver a luz refletida.
Normalmente a luz é uma sobreposição de ondas com campos que oscilam em diferentes direções. Num filtro polarizador as moléculas estão orientadas numa direção determinada, o eixo do polarizador, e só deixam passar a luz polarizada nessa direção (direção do campo elétrico).
A luz refletida numa superfície é polarizada na direção tangente à superfície. Um filtro polarizador com o seu eixo perpendicular a essa superfície não deixa passar nenhuma luz. Uma forma de saber se as lentes nuns óculos de sol estão polarizadas ou não, consiste em olhar para um reflexo e rodar a lente; se estiver polarizada, deverá existir um ângulo em que os reflexos desaparecem.
Os cristais líquidos têm a propriedade de orientar as suas moléculas numa direção, quando são atravessados pela corrente elétrica, tornando-se polarizadores. Esse é o princípio usado nos ecrãs LCD (Liquid Crystal Display) de calculadoras, telemóveis e televisores. A luz que sai do ecrã é polarizada com um filtro polarizador e a seguir, passa por pontos onde existem vários cristais líquidos, com correntes elétricas consegue-se controlar os pontos onde os cristais são polarizados perpendicularmente ao primeiro polarizador, impedindo a luz de passar.
Antes de Maxwell ter proposto que a luz é uma onda eletromagnética, na década de 1860, havia um debate agitado na comunidade científica, entre os que defendiam a teoria corpuscular proposta e os que defendiam a teoria ondulatória da luz. Newton no século XVII, acreditava na teoria corpuscular e o seu contemporâneo Huygens (1629–1695) defendia a teoria ondulatória.
A figura 12.12 mostra um raio de luz que sai de uma fonte de luz e incide na superfície de um semicírculo de vidro. O ângulo que o raio incidente faz com a perpendicular à superfície do vidro é de 60°; o raio incidente separa-se num raio refletido que também faz um ângulo de 60° com a perpendicular à superfície e um raio refratado que entra no vidro e faz um ângulo de 35° com a perpendicular.
Segundo a teoria corpuscular, a luz é formada por pequenas partículas que saem da fonte e se deslocam em linha reta. Assim explica-se facilmente a existência de raios de luz, que se deslocam em linha reta. A teoria corpuscular explica com sucesso a igualdade dos ângulos dos raios incidente e refletido com a perpendicular à superfície porque é o mesmo que acontece quando são disparadas partículas contra uma superfície rígida. Consegue também explicar a diferença entre os ângulos dos raios incidentes e refratado com a perpendicular, admitindo que os corpúsculos de luz se deslocam com velocidade diferente no ar e no vidro.
A teoria ondulatória da luz também consegue explicar a criação de feixes de luz, embora o argumento não seja tão intuitivo como no caso da teoria corpuscular. As ondas também verificam as leis da reflexão e da refração, mas no caso da refração há uma diferença importante entre as previsões das duas teorias. Quando a luz passa do ar para o vidro, como na figura 12.12, o ângulo do raio refratado com a perpendicular é menor que o ângulo entre o raio incidente e a normal. Segundo a teoria corpuscular, isso implica velocidade da luz maior no vidro do que no ar, enquanto que na teoria ondulatória implica velocidade das ondas de luz menor no vidro do que no ar.
Na época de Newton e Huygens não era fácil medir a diferença da velocidade da luz no vidro e no ar e o prestígio de Newton fez com que fosse dada maior credibilidade à teoria corpuscular do que à teoria ondulatória. Hoje em dia sabe-se que a velocidade da luz no vidro é de facto menor do que no ar, como prevê a teoria ondulatória. A teoria eletromagnética de Maxwell acabou com o debate, ficando estabelecido, sem lugar a dúvida, que a luz é uma onda eletromagnética.
No entanto, no fim do século XIX foi descoberto o efeito fotoelétrico, que não pode ser explicado com a teoria ondulatória. Einstein explicou esse efeito em 1905, através da teoria dos fotões: a luz é formada por partículas designadas de fotões. Cada fotão transporta uma energia igual a:
em que é a frequência da luz associada ao fotão e é a constante de Planck:
Ou seja, a energia de uma onda eletromagnética não pode ter um valor qualquer, mas apenas múltiplos inteiros do quantum de energia , já que o número de fotões tem de ser um número inteiro.
Numa onda clássica, a energia pode ser absorvida de forma contínua; nomeadamente, a onda pode transferir qualquer parte da sua energia a um sistema. No caso de uma onda quântica, como as ondas eletromagnéticas, a transferência de energia a um sistema só pode ser feita por absorção de alguns fotões; a energia transferida é a soma das energias desses fotões e, portanto, deve ser um múltiplo inteiro do quantum de energia .
Hoje em dia acredita-se que os fotões ou qualquer outra partícula têm também uma natureza ondulatória. A energia de um fotão e das outras partículas é produzida ou absorvida em quantidades discretas, mas é transportada de um ponto para outro na forma de uma onda. Todas as formas de matéria e energia apresentam propriedades de onda e de partícula. Esse fenómeno, designado de dualidade onda-partícula, é a base da física quântica.
Os díodos emissores de luz (LED) são dispositivos com um cátodo e um ânodo, identificados como mostra a figura 12.13. Ligando uma diferença de potencial superior a um valor mínimo, com o ânodo a maior potencial que o cátodo, o LED produz luz monocromática. A imagem de abertura deste capítulo mostra vários tipos de LED. Quando o potencial do ânodo for menor que o potencial do cátodo, o LED não deixa passar corrente e não acende.
A energia elétrica que os portadores de carga perdem na passagem da interface entre os dois semicondutores é transformada em luz. Essa energia corresponde à diferença entre dois níveis de energia no semicondutor e tem um valor específico próprio dos semicondutores usados no LED.
Como se viu, a energia que transporta cada fotão é dada pela equação 12.33 como tal, os fotões emitidos no LED têm todos aproximadamente a mesma frequência, igual à diferença entre os níveis de energia dos eletrões nos dois elétrodos do LED, dividida pela constante de Planck; isso implica que a luz do LED é monocromática. Assim, a cor da luz emitida pelo LED depende do semicondutor usado. A tabela 12.1 mostra as cores próprias de alguns semicondutores.
| Semicondutor | Cor da luz | |
|---|---|---|
| Arsenieto de gálio e alumínio | Infravermelha | 880 nm |
| Arsenieto de gálio e alumínio | Vermelha | 645 nm |
| Fosfato de alumínio, índio e gálio | Amarela | 595 nm |
| Fosfato de gálio | Verde | 565 nm |
| Nitreto de gálio | Azul | 430 nm |
Quando circula corrente pelo LED, cada carga de condução que atravessa a interface no LED perde a energia correspondente à de um fotão. Assim, a curva caraterística do LED é semelhante à caraterística de um recetor, com ordenada na origem positiva, e declive constante positivo (figura 12.14).
A força contra-eletromotriz do LED, (ordenada na origem da caraterística tensão-corrente), é a energia por unidade de carga, que as cargas de condução perdem na passagem pelo LED e é convertida em luz.
Assim, a energia que cada eletrão perde quando atravessa a interface entre os dois semicondutores é igual a: . Essa energia é a energia do fotão que é emitido:
onde é a velocidade da luz e é o comprimento de onda da luz emitida.
Resolvendo a equação 12.35 em ordem a obtém-se:
Esta equação é útil para medir experimentalmente o valor da constante de Planck, a partir da caraterística tensão-corrente de um LED usando a montagem experimental apresentada na figura 12.15, por exemplo.
A resistência de 1 kΩ é usada para evitar que a corrente no LED ultrapasse alguns miliampere e não queime o LED; se o LED estiver ligado no sentido correto, deve produzir luz. Com os valores medidos da diferença de potencial em função da corrente traça-se a curva caraterística do LED, que pode ser ajustada por uma reta. A ordenada na origem dessa reta ( ) e o valor do comprimento de onda próprio do LED (tabela 12.1) permitem obter o valor da constante de Planck a partir da equação 12.36.
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