12. Luz

Heinrich Rudolph Hertz (1857–1894)

A pesar de que o valor previsto por Maxwell para a velocidade das ondas eletromagnéticas concordava com o valor da velocidade da luz então já conhecido, enquanto não fosse possível produzir e detetar ondas eletromagnéticas no laboratório, as ondas eletromagnéticas eram consideradas uma simples hipótese. Em 1887 Hertz consegue, pela primeira vez na história, produzir ondas eletromagnéticas a partir de um circuito elétrico; ficou assim estabelecido que a luz é uma onda eletromagnética e não formada por partículas como Newton defendia com a sua teoria corpuscular da luz. A ironia do destino é que na mesma experiência em que Hertz produz pela primeira vez uma onda eletromagnética, descobre acidentalmente o efeito fotoelétrico, que só poderá ser explicado 18 anos depois por Einstein, admitindo que a luz são partículas e não ondas.

12.1 História das teorias da luz

Terminaremos este livro falando sobre o papel importante que o eletromagnetismo teve na consolidação da física clássica e, ao mesmo tempo, expondo as suas fraquezas que levaram ao surgimento da física moderna. Desde a época de Newton, dois séculos antes de Maxwell, existiam duas teorias diferentes acerca da luz, propostas por Isaac Newton (1642–1727) e o seu contemporâneo Christian Huygens (1629–1695).

12.1.1 Teoria corpuscular da luz

Na teoria corpuscular de Newton, a luz é formada por partículas. A luz propaga-se em linha reta — raios de luz — o qual é compatível com as trajetórias retas das partículas em movimento livre. Newton explicou muitos outros fenómenos com a sua teoria corpuscular.

Quando um raio de luz, no ar, atinge uma barra de vidro (figura 12.1), parte da luz é refletida e outra parte é refratada, passando para dentro do vidro. Observa-se que o ângulo que o raio incidente faz com a perpendicular à superfície do vidro, ${\theta }_{\mathrm{i}}$ na figura12.1, é igual ao ângulo que o raio refletido faz com essa perpendicular, enquanto que o ângulo que o raio refratado no vidro faz com a perpendicular, ${\theta }_{\mathrm{r}}$, é menor.

Figura 12.1: Reflexão e refração de um raio de luz numa barra de vidro.

Mudando o ângulo ${\theta }_{\mathrm{i}}$, observa-se que a relação,

$$\frac{\sin {\theta }_{\mathrm{i}}}{\sin {\theta }_{\mathrm{r}}}=n$$ (12.1)

permanece constante, e é designada de índice de refração, neste caso do vidro em relação ao ar. O índice de refracção entre dois meios onde a luz pode propagar-se é uma constante caraterística dos materiais.

A reflexão e a refração da luz explicam-se no modelo corpuscular admitindo que na interface entre o vidro e o ar atuam sobre as partículas de luz forças perpendiculares à superfície de vidro. Se o eixo $x$ for paralelo à superfície do vidro, a componente $v_x$ da velocidade das partículas permanece constante, enquanto que a componente perpendicular, $v_y$, muda de sinal. O seno do ângulo que um raio de luz faz com a perpendicular à superfície do vidro é,

$$\sin \theta =\frac{v_x}{c_{\mathrm{a}}}$$ (12.2)

onde $c_{\mathrm{a}}$ é a velocidade da luz no ar. Como os raios incidente e refletido estão ambos no ar, a velocidade da luz, $c_{\mathrm{a}}$, é igual para os dois e os dos ângulos são iguais. Já no vidro, se a velocidade la luz $c_{\mathrm{v}}$ for maior do que no ar, $\sin {\theta }_{\mathrm{r}}$ será menor que $\sin {\theta }_{\mathrm{i}}$ e o índice de refração $n$ é igual à relação entre a velocidade da luz no vidro e no ar.

Newton explicou a separação da luz branca em diferentes cores, após a passagem por um prisma de vidro (figura 12.2), admitindo que a luz branca é composta por partículas de diferentes espécies (cores) que se deslocam com velocidades diferentes. As diferenças de velocidade faz com que partículas de diferentes cores sejam desviadas pelo prisma de forma diferente.

Figura 12.2: Dispersão da luz num prisma.

12.1.2 Teoria ondulatória da luz

Na teoria ondulatória de Huygens um feixe de luz representa-se por uma parte de uma onda esférica, como na figura 12.3. Cada cor da luz corresponde a um comprimento de onda diferente e as frentes de onda (arcos azuis na figura 12.3), que correspondem aos pontos onde a onda tem o seu valor máximo, deslocam-se com a velocidade da luz. A separação entre as frentes de onda é igual ao comprimento de onda.

Figura 12.3: Representação de um feixe de luz segundo a teoria ondulatória.

Com lentes é possível focar a luz, deformando as frentes de onda, e um raio de luz é uma onda em que as frentes de onda são planos paralelos. Na figura 12.1 os raios de luz são constituídos por pequenas frentes de onda paralelas. A igualdade da separação entre frentes de onda nos raios incidente e refletido implica ângulos de incidência e reflexão iguais. Já a diminuição do ângulo de refração em relação ao ângulo de incidência explica-se admitindo que a velocidade da onda no vidro, $c_{\mathrm{v}}$, é menor do que a velocidade da luz no ar, $c_{\text{a}}$; isso faz com que as frentes de onda fiquem mais próximas no raio refratado do que no raio incidente (comprimento de onda menor).

Figura 12.4: Reflexão e refração de uma onda de luz numa barra de vidro.

Na época de Newton e Huygens não era fácil medir a diferença da velocidade da luz no vidro e no ar e o prestígio de Newton fez com que fosse dada maior credibilidade à teoria corpuscular do que à teoria ondulatória. Mais tarde foram descobertos novos fenómenos para os quais a teoria ondulatória tinha uma explicação mais simples do que a teoria corpuscular. Um desses fenómenos é a polarização em alguns cristais; cada polarizador tem um eixo e se dois filtros polarizadores forem colocados, um a seguir ao outro e com os seus eixos perpendiculares, não passará nenhuma luz pelo segundo filtro. Efeito esse que é aproveitado nos ecrãs de cristal líquido (LCD, siglas do termo inglês Liquid Crystal Display). Os pontos negros no ecrã correspondem a regiões onde o cristal está polarizado perpendicularmente a um filtro polarizador por cima do cristal.

No início do século XIX Thomas Young (1773–1829) deu o golpe de graça à teoria corpuscular da luz, com a sua experiência de interferência da luz passando através de duas fendas muito próximas (figura 12.5).

Figura 12.5: Interferência da luz após a passagem por duas fendas.

Se a luz fossem partículas, esperava-se que após a passagem pelas duas fendas, a maior parte delas chegassem ao ecrã próximas dos dois pontos exatamente em frente das duas fendas. No entanto, o que se observa é que a maior parte delas chegam ao ponto do ecrã que está enfrente ao ponto meio entre as fendas e observam-se várias franjas claras e escuras no ecrã (padrão de interferência). Na figura 12.5 são visíveis essas zonas claras e escuras no ecrã. Nas zonas claras encontram-se as frentes de onda das duas ondas provenientes das duas fendas, produzindo interferência construtiva. Nas zonas escuras, uma frente de onda de uma das duas ondas (máximo) encontra-se com um ponto meio entre duas frentes de onda da segunda (onda), produzindo interferência destrutiva. O mesmo tipo de padrão de interferência é observado em outro tipo de ondas, por exemplo, as ondas na superfície de um líquido, e a medição da distância entre as zonas claras e escuras permite determinar o comprimento de onda.

12.2 Espetro eletromagnético

As experiências de interferência da luz deixaram estabelecido que a luz é uma onda, mas o que é que está a oscilar nessas ondas? Maxwell mostrou que o que oscila nessas ondas são campos elétrico e magnético, mas não conseguiu chegar a produzir ondas eletromagnéticas com dispositivos elétricos.

Hoje em dia grande parte das tecnologias que usamos dependem das ondas eletromagnéticas: ondas de rádio, micro-ondas, telemóveis, Bluetooth e GPS, entre muitas outras. A figura 12.6 mostra o princípio de produção e recepção de ondas eletromagnéticas; uma antena ligada a uma fonte de tensão alternada, com frequência $f$ da ordem de grandeza $c/\mathrm{\ell }$, onde $c$ é a velocidade da luz e $\mathrm{\ell }$ o tamanho da antena, produz ondas eletromagnéticas de comprimento de onda $\lambda$ com a ordem de grandeza de $\mathrm{\ell }$. Ondas essas que podem ser detetadas por outra antena remota, com tamanho da ordem de grandeza do comprimento de onda $\lambda$.

Figura 12.6: Produção e detecção de uma onda eletromagnética.

O comprimento de onda, $\lambda$, e a frequência, $f$, de uma onda eletromagnética harmónica não podem variar independentemente, pois estão relacionados por $\lambda f=c$. Dada a frequência, ou o comprimento de onda, é possível classificar a onda dentro do espetro eletromagnético e determinar as suas propriedades. O valor máximo dos campos determina a intensidade da onda, mas não as suas propriedades.

Figura 12.7: Espetro eletromagnético.

Em princípio, podem existir ondas eletromagnéticas com qualquer valor de $\lambda$ entre 0 e $\mathrm{\infty }$. Alguns exemplos de ondas eletromagnéticas são as ondas de rádio e de comunicações móveis, as ondas usadas num forno de micro-ondas para aquecer os alimentos e a luz visível. O que distingue essas ondas é a frequência respetiva, ou de forma equivalente, o comprimento de onda. A figura 12.7 mostra o espetro eletromagnético e a posição de algumas ondas comuns nesse espetro..

Usualmente, a radiação eletromagnética produzida por um sistema não tem uma frequência única $f$, como no caso das ondas harmónicas, mas é uma sobreposição de ondas harmónicas com uma distribuição de frequências. Por exemplo, a luz solar tem um espetro contínuo de frequências na banda visível, que pode ser observado usando um prisma, tal como na figura 12.2.

Dentro de um meio diferente do vácuo, a constante de Coulomb $k$ na expressão $k/k_{\mathrm{m}}=c^2$ deve ser dividida pela constante dielétrica $K$ do meio. Isso conduz a uma velocidade da luz menor do que no vácuo e o quadrado do índice de refração, $n^2$, de um meio em relação a outro, será igual à relação entre as suas constantes dielétricas. As experiências de refração da luz mostram que esse resultado é correto, dando mais uma prova da veracidade da teoria ondulatória da luz.

A constante dielétrica que temos usado em capítulos anteriores é para campos eletrostáticos. Quando o campo elétrico varia, como no caso de uma onda harmónica, a constante dielétrica depende da frequência. Isso explica porque a luz de diferentes cores é desviada de forma diferente na passagem através dum prisma de vidro.

O arco-íris é outra manifestação desse mesmo fenômeno (dispersão da luz). A luz do Sol atravessa gotas de água nas nuvens e parte dessa luz é refletida de volta; se não houvesse dispersão, olhando para uma nuvem formada por pequenas gotas de água, veríamos um ponto de luz intensa, refletida, na direção oposta à nossa posição em relação ao Sol. A dispersão da luz dentro das gotas de água faz com que esse ponto de luz refletida se torne num anel, com um ângulo de aproximadamente 42${}^{\circ }$, à volta desse ponto. Como a dispersão das diferentes cores é diferente, em vez de um único anel são visíveis vários anéis. A cor que sofre maior dispersão (violeta) acaba por ficar no anel mais próximo do centro, porque a reflexão na superfície interna da gota inverte a ordem das cores.

12.3 Efeito fotoelétrico

Na mesma experiência em que Hertz produziu no laboratório ondas eletromagnéticas pela primeira vez, descobriu também o efeito fotoelétrico. Quando a luz incide num condutor ou semicondutor alguns eletrões são extraídos do material. Esse é o princípio usado para produzir corrente elétrica a partir da luz nas células fotovoltaicas como a da figura 12.8. A luz que incide num semicondutor de tipo p faz com que alguns eletrões passem para o condutor de tipo n, podendo produzir corrente elétrica num dispositivo .

Figura 12.8: Célula fotovoltaica.

A célula fotovoltaica atua como uma fonte de f.e.m., com cátodo no semicondutor de tipo p e ânodo no semicondutor de tipo n. A intensidade da corrente aumenta com a intensidade da luz incidente, como era de esperar. No entanto o que é inesperado é que o valor da f.e.m. depende da frequência da luz e não da sua intensidade. Diferentes materiais possuem uma frequência limiar por baixo da qual não é produzido efeito fotoelétrico, qualquer que seja a intensidade da luz. E quanto maior for a frequência em relação à frequência limiar, maior será o valor da f.e.m. .

O valor da f.e.m. de uma célula fotovoltaica pode ser determinado com o circuito representado na figura 12.9. Usa-se um divisor de voltagem para produzir uma diferença de potencial $\mathrm{\Delta }V$ que contraria a f.e.m. da célula. Aumentando $\mathrm{\Delta }V$ a partir de 0, a intensidade da corrente que a célula fornece diminui até que, quando ficar igual a zero, o valor de $\mathrm{\Delta }V$, medido com o voltímetro no circuito, será igual ao valor da f.e.m. da célula.

Figura 12.9: Circuito usado para determinar a f.e.m. de uma célula fotovoltaica.

O efeito fotoelétrico foi finalmente explicado por Albert Einstein (1879–1955), num artigo de 1905 que lhe valeu a atribuição do premio Nobel da Física. A explicação de Einstein é bastante simples; a figura 12.10 mostra o gráfico da energia dos eletrões libertados por efeito fotoelétrico, igual à carga elementar vezes a f.e.m. da célula, em função da frequência $f$ da luz incidente. O gráfico mostra o resultado para dois materiais diferentes, com frequências limiares $f_1$ e $f_2$. O declive das duas retas é o mesmo e igual para qualquer outro material que exiba efeito fotoelétrico.

Figura 12.10: Energia dos eletrões emitidos por efeito fotoelétrico em dois materiais diferentes, em função da frequência da luz.

Einstein reparou que esse declive é exatamente igual à constante de Planck:

$$h=6.626\times {10}^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$$ (12.3)

que alguns anos antes tinha sido postulada por Max Planck (1858–1947) para explicar o espetro de radiação do corpo negro, admitindo que as oscilações do objeto que produz radiação ocorrem com energias que são múltiplos inteiros dessa constante $h$. Einstein defende que a luz está formada por partículas, chamadas fotões, cada uma com energia $hf$, que depende apenas da sua frequência $f$. A equação das retas na figura 12.10 é:

$$e\epsilon =hf-\varphi \mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}(\text{se:}\mathit{\hspace{1em}}hf>\varphi )$$ (12.4)

Em que $-\varphi$ é a ordenada na origem (se as retas se estendessem até o lado negativo da energia $e\epsilon$). Quando um fotão colide com um eletrão no material, a sua energia é absorvida pelo eletrão e se essa energia for maior que $\varphi$, o eletrão é libertado do material ficando com energia igual à energia do fotão absorbido menos a energia $\varphi$ necessária para libertar o eletrão. A constante $\varphi$, caraterística de cada material , designa-se por função de trabalho.

12.4 Díodos emissores de luz (LED)

Os díodos emissores de luz (LED) são dispositivos com um cátodo e um ânodo, identificados como mostra a figura 12.11. Ligando uma diferença de potencial superior a um valor mínimo, com o ânodo a maior potencial que o cátodo, o LED produz luz monocromática. Quando o potencial do ânodo for menor que o potencial do cátodo, o LED não deixa passar corrente e não produz luz.

Figura 12.11: LED e diagrama de circuito correspondente. O cátodo costuma ser um fio mais curto e estar perto de uma zona onde a cobertura plástica é plana.

A energia elétrica que os portadores de carga perdem na passagem da interface entre os dois semicondutores é transformada em luz. Essa energia corresponde à diferença entre dois níveis de energia no semicondutor e tem um valor específico próprio dos semicondutores usados no LED. O efeito de produção de um fotão pela perda de energia de um eletrão de condução é o simétrico do efeito fotoelétrico em que um fotão é absorvido passando a sua energia para um eletrão de condução.

Como vimos, a energia que transporta cada fotão é igual a $hf$. Como tal, os fotões emitidos no LED têm todos aproximadamente a mesma frequência, igual à diferença entre os níveis de energia dos eletrões nos dois elétrodos do LED, dividida pela constante de Planck; isso implica que a luz do LED é monocromática. Assim, a cor da luz emitida pelo LED depende do semicondutor usado. A tabela 12.1 mostra as cores próprias de alguns semicondutores.

Tabela 12.1: Cores associadas a alguns semicondutores.

Semicondutor	Cor da luz	$\lambda$
Arsenieto de gálio e alumínio	Infravermelha	880 nm
Arsenieto de gálio e alumínio	Vermelha	645 nm
Fosfato de alumínio, índio e gálio	Amarela	595 nm
Fosfato de gálio	Verde	565 nm
Nitreto de gálio	Azul	430 nm

Quando circula corrente elétrica pelo LED, cada carga de condução que atravessa a interface no LED perde a energia correspondente à energia $hf$ de um fotão. Como tal, a curva caraterística tensão-corrente do LED é semelhante à caraterística de um recetor, com ordenada na origem positiva, e declive constante positivo (figura 12.12).

Figura 12.12: Caraterística tensão-corrente de um LED.

A força contra-eletromotriz do LED, ${\epsilon }^{\prime }$ (ordenada na origem da curva caraterística tensão-corrente), é a energia por unidade de carga que as cargas de condução perdem na passagem pelo LED, sendo convertida em luz.

Assim, a energia que cada eletrão perde quando atravessa a interface entre os dois semicondutores é igual a: $e{\epsilon }^{\prime }$. Essa energia é a energia do fotão que é emitido:

$$e{\epsilon }^{\prime }=hf=\frac{hc}{\lambda }$$ (12.5)

onde $c$ é a velocidade da luz e $\lambda$ é o comprimento de onda da luz emitida.

Resolvendo a equação 12.5 em ordem a $h$ obtém-se:

$$h=\frac{e{\epsilon }^{\prime }\lambda }{c}$$ (12.6)

Esta equação pode ser usada para medir experimentalmente o valor da constante de Planck, a partir da caraterística tensão-corrente de um LED usando um circuito como o da figura 12.13.

Figura 12.13: Circuito usado para determinar a caraterística de um LED.

A resistência de 1 k$\mathrm{\Omega }$ é usada para evitar que a corrente no LED ultrapasse alguns miliampere e não queime o LED; se o LED estiver ligado no sentido correto, deve produzir luz. Com os valores medidos da diferença de potencial em função da corrente traça-se a curva caraterística do LED, que pode ser ajustada por uma reta. A ordenada na origem dessa reta, ${\epsilon }^{\prime }$, e o valor do comprimento de onda próprio do LED (tabela 12.1) permitem obter o valor da constante de Planck a partir da equação 12.6.

Os LED são muito usados atualmente porque uma lâmpada de LED é muito mais eficiente que outros tipos de lâmpadas. Quase toda a energia elétrica fornecida a uma lâmpada de LED é transformada em energia dos fotões.

12.5 Dualidade onda-partícula

Não só a luz, que é claramente uma onda eletromagnética, comporta-se também como partículas (fotões), mas têm sido feitas experiências em que neutrões, que são claramente partículas, interferem entre si produzindo padrões de interferência de ondas.

Na física atual os fotões ou qualquer outra partícula têm também uma natureza ondulatória. A energia de um fotão e das outras partículas é produzida ou absorvida em quantidades discretas, mas é transportada de um ponto para outro na forma de uma onda. Todas as formas de matéria e energia apresentam propriedades de onda e de partícula. Essa dualidade onda-partícula é a base da física quântica.

Numa onda clássica, a energia pode ser absorvida de forma contínua; i.e., a onda pode transferir qualquer parte da sua energia a um sistema. No caso de uma onda quântica, como as ondas eletromagnéticas, a transferência de energia a um sistema só pode ser feita por absorção de alguns fotões; a energia transferida é a soma das energias desses fotões e, portanto, deve ser um múltiplo inteiro do quantum de energia $hf$.