5. Natureza da luz

5.1. Teoria corpuscular da luz

Na teoria corpuscular de Newton (século XVII), a luz é formada por partículas que se deslocam com velocidade constante. Cada raio luminoso é a trajetória das partículas que seguem nessa direção. Newton escreveu o seu livro Ótica onde explica muitos fenómenos observados usando a sua teoria corpuscular. Vejamos como explica a reflexão e refração de um raio de luz quando passa de um meio 1 para outro meio 2 (figura 5.1).

**Figure 5.1:** Reflexão e refração da luz de acordo com a teoria corpuscular.

O lado esquerdo da figura mostra os vetores velocidade do raio incidente, ${\vec{v}}_{1}$ , do raio refletido, ${\vec{v}}_{1}^{'}$ , e do raio refratado, ${\vec{v}}_{2}$ . O lado direito da figura mostra as componentes $x$ dessas três velocidades, na direção da superfície entre os dois meios, no ponto onde incide o raio. Como os raios incidente e refletido estão no mesmo meio, os vetores ${\vec{v}}_{1}$ e ${\vec{v}}_{1}^{'}$ , têm o mesmo módulo, igual à velocidade da luz nesse meio, $v_{1}$ . O raio refletido é formado por algumas partículas do raio incidente que sofrem uma colisão elástica com a superfície, mantendo assim o mesmo módulo da velocidade, mas com componente normal no sentido oposto. A igualdade dos ângulos de incidência e reflexão implica então que a componente $x$ da velocidade do raio permanece igual após essa colisão: $v_{1 x} = v_{1 x}^{'}$ . A interface entre os dois meios exerce apenas força na direção normal.

O raio refratado é formado por algumas partículas do raio incidente que conseguem penetrar no meio 2. O módulo da velocidade ${\vec{v}}_{2}$ do raio refratado deverá ser igual ao valor da velocidade da luz no meio 2, $v_{2}$ , que é diferente de $v_{1}$ . No entanto, como na interface não atuam forças na direção $x$ , as componentes das velocidades do raio incidente e refratado nessa direção são iguais: $v_{1 x} = v_{2 x}$ . Cada uma dessas componentes é igual ao valor da velocidade da luz no respetivo meio, vezes o seno do ângulo que o raio faz com a normal (ver figura 5.1):

v_{1} \sin θ_{1} = v_{2} \sin θ_{2}

(5.1)

E se dividirmos os dois lados da equação pela velocidade da luz no vácuo, $c$ , obtemos a lei de Snell:

\frac{v_{1}}{c} \sin θ_{1} = \frac{v_{2}}{c} \sin θ_{2}

(5.2)

Mas observe-se que os índices de refração ficaram iguais a $v / c$ , que é o inverso do que se observa na prática, como vimos no capítulo 1. Na época de Newton a velocidade da luz já era conhecida de forma bastante aproximada, mas não era possível medi-la com a precisão necessária para observar as diferenças em meios como o ar, a água e o vidro. Simplesmente mediam-se os índices de refração usando a lei de Snell, e os seus valores superiores a 1 indicam que a velocidade da luz deveria ser maior nos meios materiais do que no vácuo, o que parece ilógico.

5.2. Teoria ondulatória da luz

Um contemporâneo de Isaac Newton no século XVII, o neerlandês Christiaan Huygens, postulou a teoria ondulatória da luz, em que a luz é considerada uma onda. As frentes de onda da luz são as superfícies contínuas onde essa onda tem o mesmo valor em qualquer instante. Essas frentes de onda deslocam-se no espaço à velocidade da luz, mantendo a sua continuidade.

O princípio de Huygens estabelece que a cada instante todos os pontos numa frente de onda emitem ondas esféricas e após um tempo $Δ t$ , a envolvente dessas ondas será a nova frente de onda nesse instante posterior. Huygens não demonstrou rigorosamente o seu princípio mas a sua justificação é que sendo a onda uma perturbação do equilíbrio de um meio elástico, todas as partículas que oscilam quando a onda passa, transmitem a sua oscilação por igual às outras partículas à sua volta.

Dois séculos mais tarde o princípio de Huygens será demostrado de forma rigorosa na teoria eletromagnética. Algumas consequências desse princípio, muito úteis no desenvolvimento da teoria ondulatória da luz, é que os raios luminosos seguem sempre a direção em que a onda luminosa se propaga, e são perpendiculares às frentes de onda. Cada ponto por onde passa uma frente de onda num instante estará ligado por um raio luminoso a outro ponto, conhecido como ponto correspondente, na frente de onda deslocada após um tempo $Δ t$ . Como tal, os percursos que vão desde qualquer ponto na frente de onda inicial até os pontos correspondentes, na frente de onda um instante mais tarde, são percorridos no mesmo tempo.

A figura 5.2 mostra uma onda luminosa emitida num ponto luminoso. Os raios luminosos emitidos pelo ponto são nas direções radiais a partir desse ponto, e as frentes de onda, perpendiculares ao raios, são superfícies esféricas. O raio de cada frente de onda aumenta $Δ r = v Δ t$ , a cada intervalo $Δ t$ .

**Figure 5.2:** Representação, na teoria ondulatória, da luz emitida por um ponto luminoso.

Se o ponto luminoso for colocado no foco objeto de uma lente convergente (figura 5.3), os raios luminosos serão paralelos à saída da lente, que corresponde a uma onda plana em que as frentes de onda são planos paralelos. A velocidade da onda é menor no vidro da lente do que no ar, o que faz com que o deslocamento das frentes de onda seja menor dentro da lente; e como a parte das frentes de onda que passa pelo centro da lente demora mais tempo dentro do vidro, sai com um atraso maior, dando origem às frentes de onda planas no feixe de luz paralelo.

**Figure 5.3:** Produção de uma onda plana usando uma lente convergente.

A explicação da reflexão e refração de um feixe de luz que passa de um meio 1 para outro meio 2 é também consequência da diferença da velocidade da luz nos dois meios. A figura 5.4 mostra a representação, segundo a teoria ondulatória, de um raio de luz que é refletido e refratado na interface entre dois meios diferentes. Os dois pontos A e B na figura fazem parte duma mesma frente de onda, no instante em que essa frente de onda chega à superfície de interface entre os dois meios, no ponto A. Os diferentes pontos nessa frente de onda chegam à superfície um poco mais tarde, e após um intervalo tempo $Δ t$ as frentes de onda refletida e refratada deixam de estar em contacto com a superfície, no ponto C.

**Figure 5.4:** Reflexão e refração de uma onda de luz na passagem entre dois meios diferentes.

O ponto C é o ponto correspondente ao ponto B na frente de onda incidente, um instante $Δ t$ mais tarde. Durante esse mesmo intervalo de tempo, o correspondente do ponto A na frente de onda incidente é o ponto D na onda refletida. A frente de onda AB desloca-se para DC após ser refletida na superfície. A figura 5.5 mostra os triângulos formados pelos pontos A e C com os pontos B, D e E, nas ondas incidente refletida e refratada.

**Figure 5.5:** Pontos correspondentes nas frentes de onda refletida e refratada.

Como as frentes de onda são sempre perpendiculares à direção de propagação, os ângulo ABC, ADC e AEC são todos ângulos retos. O princípio da igualdade de tempos entre pontos correspondentes numa frente de onda implica que o tempo que a frente da onda refletida levou a deslocar-se desde A até D é o mesmo $Δ t$ que demorou a deslocar-se desde B até C. E o tempo que a frente da onda refratada levou a deslocar-se desde A até E é também esse mesmo $Δ t$ . As distâncias BC, AD e AE nos triângulos da figura 5.5 são as distâncias que as respetivas ondas se deslocam durante o intervalo $Δ t$ , no meio 1 e 2; ou seja, $B C = A D = v_{1} Δ t$ e $A E = v_{2} Δ t$ .

Os ângulos de incidência e de reflexão são os ângulos $∠$ BAC e $∠$ ACD dos triângulos na figura 5.5. A semelhança entre os triângulos CAB e ACD explica porque os ângulos de incidência e reflexão são iguais.

Já no caso do raio refratado, o ãngulo de refração é o ângulo $∠$ ACE. Nos triângulos retângulos CAB e ACE temos:

\sin θ_{1} = \frac{v_{1} Δ t}{d} \sin θ_{2} = \frac{v_{2} Δ t}{d}

(5.3)

Igualando a expressão obtida para $Δ t / d$ em cada uma das duas equações anteriores, e multiplicando os dois lados pela velocidade da luz do vácuo, obtemos:

\frac{c}{v_{1}} \sin θ_{1} = \frac{c}{v_{2}} \sin θ_{2}

(5.4)

que é a lei de Snell, com a expressão correta dos índices de refração, maiores que 1 se a velocidade da luz nos dos meios for menor do que no vácuo.

5.3. A polêmica em torno à teoria da luz

O debate sobre a natureza da luz continuo animado durante o século XVIII. A opinião dos físicos dividia-se entre os seguidores da teoria corpuscular e os seguidores da teoria ondulatória, e nenhum dos dois grupos conseguia convencer o outro. Muitas outras experiências eram usadas para defender uma teoria ou a outra, mas havia sempre uma explicação passível dada por cada um dos grupos.

Um outro fenómeno importante é a dispersão da luz, que consiste na separação da luz branca em diferentes cores, após a passagem por um prisma de vidro; é também o fenómeno que dá origem ao arco-iris (figura 5.6), quando a luz branca do sol é refratada na superfície externa de pequenas gotas de água e a seguir refletida na superfície interna.

**Figure 5.6:** Arco-íris na região dos fiordes da Noruega.

A dispersão da luz explica-se na teoria corpuscular admitindo que a luz branca é composta por partículas de diferentes espécies (cores) que se deslocam com velocidades diferentes. As diferenças de velocidade faz com que o ângulo de refração na passagem pelo prisma de vidro, ou na entrada nas gotas de água, seja diferente para luz de diferentes cores. Na teoria ondulatória, admite-se que a luz de diferentes cores corresponde a ondas com diferentes comprimentos de onda, e a velocidade da luz num meio depende do comprimento de onda.

Outro fenómeno importante, descoberto mais tarde, é a polarização, quando a luz quando esta atravessa um certo tipo de cristal polarizador. Cada polarizador tem um eixo de polarização, e se dois polarizadores forem colocados, um a seguir ao outro e com os seus eixos perpendiculares, não passará nenhuma luz através do sistema (figura 5.7).

**Figure 5.7:** Dois filtros polarizadores com os seus eixos paralelos (parte superior) e com os seus eixos perpendiculares (parte inferior).

A polarização da luz é aproveitada nos ecrãs de cristal líquido (LCD, siglas do termo inglês Liquid Crystal Display). Os pontos negros no ecrã correspondem a regiões onde o cristal está polarizado perpendicularmente a um filtro polarizador por cima do cristal.

A explicação dada na teoria corpuscular era novamente a existência de diferentes tipos de partículas na luz. Na teoria ondulatória, a polarização pode ser observada em experiências simples, por exemplo com ondas que se deslocam numa corda esticada; se é colocada uma fenda no meio da corda, que só permite que a corda oscile na direção da fenda, uma onda oscilando numa direção inclinada em relação à fenda, sai desta oscilando na direção da fenda. Se a seguir for colocada outra fenda perpendicular à primeira, nenhuma oscilação da corda conseguirá passar pelas duas fendas.

No entanto, a polarização é observada unicamente em ondas transversais. Como Huygens e os seus seguidores acreditavam que a luz era devida à oscilação de partículas num meio elástico no espaço, esse tipo de ondas só pode ser longitudinal, como no caso do som. A polarização era assim usada como argumento contra a teoria ondulatória. Hoje em dia sabemos que as ondas de luz são oscilações de campos elétrico e magnético que de facto são perpendiculares à direção de propagação da onda: as ondas eletromagnéticas são ondas transversais, que podem ser polarizadas.

5.4. Interferência da luz

No início do século XIX Thomas Young (1773–1829) deu o golpe de graça à teoria corpuscular da luz, com a sua experiência de interferência da luz monocromática (ondas harmónicas) que passa através de duas fendas muito próximas (figura 5.8).

**Figure 5.8:** Interferência da luz após a passagem por duas fendas.

Se a luz fossem partículas, esperava-se que após a passagem pelas duas fendas, a maior parte delas chegassem ao ecrã próximas dos dois pontos exatamente em frente das duas fendas. No entanto, o que se observa são várias franjas claras e escuras no ecrã, que é um padrão de interferências caraterístico das ondas. Na figura 5.8 são visíveis essas zonas claras e escuras no ecrã. Nas zonas claras encontram-se duas frentes de onda em fase, produzindo assim interferência construtiva. Nas zonas escuras, cruzam-se frentes de onda desfasadas $90^{\circ}$ , produzindo assim interferência destrutiva. O mesmo padrão de interferências é observado entre ondas de outros tipos, por exemplo, as ondas na superfície de um líquido, como vimos no capítulo anterior. A medição da distância entre as franjas claras permite determinar o comprimento de onda da luz.

Os pontos onde há interferência construtiva são todos os pontos onde a diferença das distâncias $d_{1}$ e $d_{2}$ até as duas fendas for um número inteiro vezes o comprimento de onda da luz usada. Esses pontos estão em hipérboles com focos nas duas fendas. Mas quando a distância até às fendas for muito maior do que a distância entre as duas fendas, essas hipérboles aproximam-se de retas (assimptotas). A figura 5.9 mostra a geometria que usaremos para encontrar a posição aproximada das franjas luminosas no ecrã.

**Figure 5.9:** Posição da franja clara de ordem $n$ no ecrã.

Admitiremos que a distância $d$ desde as fendas até o ecrã é muito maior do que a distância $a$ entre as fendas, embora na figura a distância $a$ tenha sido exagerada para maior claridade dos cálculos que vamos fazer. Se o ponto P no ecrã é onde aparece a franja luminosa de ordem $n$ , a diferença entre as distâncias $d_{1}$ e $d_{2}$ , desde P até às duas franjas, é igual a $n λ$ . Mas como $d$ é muito maior que $a$ , uma boa aproximação à diferença entre essas distâncias é:

d_{2} - d_{1} = a \sin θ_{n} = n λ

(5.5)

onde $θ_{n}$ é o ângulo entre o segmento que vai da segunda fenda até P, e o eixo perpendicular ao ecrã e à barreira com as fendas.

A distância $y_{n}$ no ecrã onde é produzida essa franja luminosa, relativa ao ponto que está a igual distância das duas fendas, é aproximadamente,

y_{n} \approx d \sin θ_{n}

(5.6)

e substituindo o valor do seno de $θ_{n}$ a partir da equação (5.5), encontra-se:

y_{n} = \frac{d λ}{a} n

(5.7)

O espaçamento entre as franjas luminosas no ecrã é aproximadamente constante e igual a $d λ / a$ . Para poder realizar esta experiência, é necessário usar luz coerente como, por exemplo, a luz dum laser.

5.7. Ondas esféricas

Uma fonte pontual produz frentes de onda que se propagam com a mesma velocidade em todas as direções, a partir do ponto onde se encontra a fonte. Como tal, as frentes de onda serão esferas com centro na fonte e versor de propagação perpendicular a essas esferas (figura 5.11).

**Figure 5.11:** Frente de onda numa onda esférica.

Em cada instante $t$ , o valor da função de onda em cada frente de onda esférica de raio $r$ define a função de onda $Ψ (r, t)$ . A distância até à origem, em coordenadas cartesianas, é:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

(5.18)

As três derivadas parciais dessa função, são:

\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}

(5.19)

Para calcular o laplaciano da função de onda esférica $Ψ (r, t)$ , começaremos por calcular as suas derivadas em ordem a $x$ :

\frac{\partial Ψ}{\partial x} = \frac{\partial Ψ}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} \frac{\partial Ψ}{\partial r} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial x^{2}} = \frac{1}{r} (1 - \frac{x^{2}}{r^{2}}) \frac{\partial Ψ}{\partial r} + \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}}

(5.20)

E, de forma análoga,

\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial y^{2}} = \frac{1}{r} (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) \frac{\partial Ψ}{\partial r} + \frac{y^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial z^{2}} = \frac{1}{r} (1 - \frac{z^{2}}{r^{2}}) \frac{\partial Ψ}{\partial r} + \frac{z^{2}}{r^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}}

(5.21)

Somando essas três segundas derivadas obtém-se a expressão do laplaciano para funções com simetria esférica:

\nabla^{2} Ψ (r, t) = \frac{2}{r} \frac{\partial Ψ}{\partial r} + \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}}

(5.22)

que é equivalente também à seguinte expressão:

\nabla^{2} Ψ (r, t) = \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} (r Ψ)}{\partial r^{2}}

(5.23)

Substituindo essa expressão do laplaciano na equação de ondas no espaço (5.17), obtemos:

\frac{\partial^{2} (r Ψ)}{\partial r^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} (r Ψ)}{\partial t^{2}}

(5.24)

Que é a mesma equação de onda em uma dimensão, para a função $r Ψ$ , que deverá ser então uma função da forma $f (r \pm v t)$ . Finalmente, as funções de onda esférica deverão ter a forma:

Ψ (r, t) = \frac{f (r \pm v t)}{r}

(5.25)

O sinal negativo corresponde a uma onda emitida por uma fonte pontual, enquanto que o sinal positivo corresponde a uma onda que converge para um ponto. No caso das ondas harmónicas, a função de onda é da forma:

Ψ (r, t) = \frac{A}{r} \cos (k r \pm ω t)

(5.26)

A amplitude da onda diminui de forma inversamente proporcional à distância até a origem.

Exercícios resolvidos

5.1. Escreva, em coordenadas cartesianas, a expressão de uma onda plana harmónica com amplitude $A$ e frequência angular $ω = 26$ rad/s, que se propaga na direção que vai desde a origem até o ponto (4, 12, 3), com velocidade de 4 m/s.

Resolução. O versor na direção de propagação da onda é:

\hat{v} = \frac{4 \hat{ı} + 12 \hat{ȷ} + 3 \hat{k}}{\sqrt{16 + 144 + 9}} = \frac{1}{13} (4 \hat{ı} + 12 \hat{ȷ} + 3 \hat{k})

Em unidades SI, o numero de ondas angular é:

k = \frac{w}{v} = 6.5 m^{- 1}

E, em coordenadas cartesianas,

k (\hat{v} \cdot \vec{r}) = 2 x + 6 y + 1.5 z

Em unidades SI, a função de onda é:

Ψ (x, y, z, t) = A \cos (2 x + 6 y + 1.5 z - 26 t)

5.2. Escreva a expressão de uma onda esférica e harmónica com frequência angular $ω = 26$ rad/s, que se propaga desde a origem com velocidade de 2 m/s). Se em $t = 1$ s a função de onda e igual a 12 unidades nos pontos a uma distância de 1 m da origem, qual será o valor da função de onda nos pontos a 3 m de distância da origem, em $t = 2$ ?

Resolução. Em unidades SI, o numero de ondas angular é:

k = \frac{w}{v} = 13 m^{- 1}

e a função de onda é:

Ψ (r, t) = \frac{A}{r} \cos (13 r - 26 t)

Substituindo o valor de $Ψ = 12$ em $r = 1$ e $t = 1$ , obtemos o valor da constante $A$ :

12 = A \cos (13 - 26) ⟹ A = 13.2239

e para $r = 3$ e $t = 2$ obtemos:

Ψ (3, 2) = \frac{13.2239}{3} \cos (39 - 52) = 4.0000

5.3. Represente graficamente as frentes de onda da luz emitida por uma fonte pontual que é refletida num espelho plano.

Resolução. Começamos por traçar os raios luminosos que saem do objeto o (a vermelho na figura seguinte), e a sua reflexão no espelho (a azul na figura). Os raios refletidos parecem vir do ponto i, que é a imagem do objeto. A seguir, traçam-se as frentes de onda, esféricas e perpendiculares aos raios luminosos.

5.4. Um ponto luminoso encontra-se a 60 cm de uma lente convergente com distância focal de 24 cm, e sobre o eixo da lente. Admitindo que a expressão da onda esférica emitida pelo ponto é:

Ψ (r_{o}, t) = \frac{f (r_{o} - v t)}{r_{o}}

onde $r_{o}$ é a distância desde o ponto luminoso, escreva a expressão da onda que sai da lente.

Resolução. Usando a fórmula de Descartes para lentes, com $d_{o} = 60$ e $f = 24$ ,

\frac{1}{d_{i}} = \frac{1}{60} - \frac{1}{24} ⟹ d_{i} = - 40 c m

A imagem i é então real e encontra-se a 40 cm no outro lado da lente, tal como mostra a figura seguinte.

A onda que sai da lente é uma onda esférica que se aproxima do ponto i onde esta a imagem real, a 100 cm do ponto luminoso o. Deverá ser então uma função que depende de $r_{i} + v t$ dividida por $r_{i}$ , onde $r_{i}$ é a distância desde o ponto i, e $v$ é a velocidade da onda.

Em $t = 0$ , a função no numerador da onda incidente é,

f (r_{o})

e tendo em conta que no vértice da lente $r_{o} = 60$ cm e $r_{i} = 40$ cm, essa mesma função escreve-se:

f (100 - r_{i})

onde $r_{i}$ é medida em cm. Para garantir a continuidade da onda na passagem pela lente, em $t = 0$ a função da onda esférica que converge para i deverá ser:

Φ (r_{i}, 0) = \frac{40 f (100 - r_{i})}{60 r_{i}}

e simplificando e substituindo $r_{i}$ por $r_{i} + v t$ , obtemos a expressão da onda que sai da lente:

Φ (r_{i}, t) = \frac{2 f (100 - r_{i} - v t)}{3 r_{i}}

5.5. A lei da refração pode ser escrita de forma vetorial, em função dos versores de propagação da onda incidente, ${\hat{v}}_{1}$ , e da onda refratada, ${\hat{v}}_{2}$ . Partindo da lei de Snell, demonstre que:

n_{1} {\hat{v}}_{1} - n_{2} {\hat{v}}_{2} = (n_{1} \cos θ_{1} - n_{2} \cos θ_{2}) {\hat{e}}_{n}

onde ${\hat{e}}_{n}$ é o versor normal à interface entre os meios, no sentido de 1 para 2.

Resolução. O produto vetorial entre o versor de propagação da onda incidente e o versor normal é:

{\hat{v}}_{1} \times {\hat{e}}_{n} = \sin θ_{1}

e o produto vetorial entre o versor de propagação da onda refratada e o versor normal é:

{\hat{v}}_{2} \times {\hat{e}}_{n} = \sin θ_{2}

Como tal, a lei de Snell pode ser escrita como:

n_{1} ({\hat{v}}_{1} \times {\hat{e}}_{n}) = n_{2} ({\hat{v}}_{2} \times {\hat{e}}_{n})

que conduz a:

(n_{2} {\hat{v}}_{2} - n_{1} {\hat{v}}_{1}) \times {\hat{e}}_{n} = \vec{0}

Isso implica que o vetor,

\vec{Γ} = n_{2} {\hat{v}}_{2} - n_{1} {\hat{v}}_{1}

tem a mesma direção do versor normal. Como mostra a figura seguinte, $\vec{Γ}$ tem também o mesmo sentido de ${\hat{e}}_{n}$ , se $n_{2} > n_{1}$ , ou o sentido oposto caso contrário.

Conclui-se que $\vec{Γ} = Γ {\hat{e}}_{n}$ , onde $Γ = n_{2} \cos θ_{2} - n_{1} \cos θ_{2}$ é conhecido como constante astigmática. O vetor $\vec{Γ}$ pode se escrito como:

n_{2} {\hat{v}}_{2} - n_{1} {\hat{v}}_{1} = (n_{1} \cos θ_{1} - n_{2} \cos θ_{2}) {\hat{e}}_{n}

5.6. O feixe divergente de um laser vermelho de He-Ne, com comprimento de onda 632.8 nm, incide numa superfície que contem duas fendas horizontais separadas de 0.2 mm. O padrão de interferências observa-se num alvo branco a 1 metro de distância. A que distâncias do eixo serão observadas as três primeiras franjas claras?

Resolução. As distâncias das franjas claras até o eixo são dadas por:

y_{n} = \frac{d λ}{a} n

As distâncias até as primeiras 3 franjas claras, correspondentes a $n = 1$ , $n = 2$ e $n = 3$ são:

y_{1} = \frac{1 \times 632.8 \times 10^{- 9}}{0.2 \times 10^{- 3}} = 0.00316 = 3.2 m m

y_{2} = \frac{1 \times 632.8 \times 10^{- 9} \times 2}{0.2 \times 10^{- 3}} = 0.00633 = 6.3 m m

y_{3} = \frac{1 \times 632.8 \times 10^{- 9} \times 3}{0.2 \times 10^{- 3}} = 0.00949 = 9.5 m m

5.7. O vetor de propagação de uma onda plana é:

\hat{v} = \frac{1}{\sqrt{6}} (- 2 \hat{ı} - \hat{ȷ} + \hat{k})

(a) Determine o vetor de propagação da onda após ser refletida no plano com equação $2 x + 3 y - z = 0$ . (b) Determine os ângulos de incidência e de reflexão da onda com o plano.

Resolução. (a) A equação do plano permite-nos concluir que o seu versor normal é:

{\hat{e}}_{n} = \frac{2 \hat{ı} + 3 \hat{ȷ} - \hat{k}}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{14}} (2 \hat{ı} + 3 \hat{ȷ} - \hat{k})

A componente do versor de propagação, normal ao plano é:

{\hat{v}}_{n} = (\hat{v} \cdot {\hat{e}}_{n}) {\hat{e}}_{n} = \frac{1}{14 \sqrt{6}} (- 4 - 3 - 1) (2 \hat{ı} + 3 \hat{ȷ} - \hat{k}) = \frac{1}{7 \sqrt{6}} (- 8 \hat{ı} - 12 \hat{ȷ} + 4 \hat{k})

E a componente tangencial é,

{\hat{v}}_{t} = \hat{v} - {\hat{v}}_{n} = \frac{1}{7 \sqrt{6}} (- 6 \hat{ı} + 5 \hat{ȷ} + 3 \hat{k})

Após a reflexão no plano, a componente tangencial permanece igual, mas a componente normal muda de sinal. Como tal, o versor de propagação da onda refletida é:

{\hat{v}}_{r} = {\hat{v}}_{t} - {\hat{v}}_{n} = \frac{1}{7 \sqrt{6}} (2 \hat{ı} + 17 \hat{ȷ} - \hat{k})

(b) O produto interno entre o versor de propagação do raio incidente e o versor normal ao plano é:

{\hat{v}}_{1} \cdot {\hat{e}}_{n} = \frac{1}{\sqrt{14 \times 6}} (- 4 - 3 - 1) = - \frac{4}{\sqrt{21}}

O sinal negativo indica que o ângulo entre os versores ${\hat{v}}_{1}$ e ${\hat{e}}_{n}$ é maior do que $90^{\circ}$ , ou seja, o versor ${\hat{e}}_{n}$ aponta do plano para o lado onde a onda incide. O ângulo de incidência (menor do que $90^{\circ}$ ) será o arco cosseno do produto escalar entre ${\hat{v}}_{1}$ e o versor desde o plano para o lado oposto de onde a onda incide, $- {\hat{e}}_{n}$ , que é:

θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{21}}) = {29.2}^{\circ}

e o ângulo de reflexão é o mesmo.

5.8. Se a onda plana do problema anterior propaga-se no ar, e o plano onde é refletida é a superfície de separação entre o ar e vidro com índice de refração 1.5, determine o versor de propagação da onda refratada no vidro.

Resolução. Usando a lei de Snell, com o ângulo de incidência $θ_{1}$ já calculado na alínea (b) do problema anterior, e com $n_{1} = 1$ e $n 2 = 1.5$ , obtemos o ângulo de refração:

\sin 29.2 = 1.5 \sin θ_{2} ⟹ θ_{2} = 19.0

E como foi explicado no problema anterior, o versor normal ao plano, apontando do ar para o vidro é:

{\hat{e}}_{n} = \frac{1}{\sqrt{14}} (- 2 \hat{ı} - 3 \hat{ȷ} + \hat{k})

Usando o resultado do exercício 5.5,

n_{2} {\hat{v}}_{2} = n_{1} {\hat{v}}_{1} - (n_{1} \cos θ_{1} - n_{2} \cos θ_{2}) {\hat{e}}_{n} = {\hat{v}}_{1} + 0.54536 {\hat{e}}_{n}

E o versor de propagação da onda plana refratada no vidro é:

{\hat{v}}_{2} = \frac{{\hat{v}}_{1}}{1.5} + 0.36357 {\hat{e}}_{n}

onde ${\hat{v}}_{1}$ é o versor de propagação da onda do problema anterior:

{\hat{v}}_{2} = \frac{1}{1.5 \sqrt{6}} (- 2 \hat{ı} - \hat{ȷ} + \hat{k}) + \frac{0.36357}{\sqrt{14}} (- 2 \hat{ı} - 3 \hat{ȷ} + \hat{k})

= - 0.7387 \hat{ı} - 0.5638 \hat{ȷ} + 0.3693 \hat{k}

Ótica e Ondas

5. Natureza da luz

5.1. Teoria corpuscular da luz

5.2. Teoria ondulatória da luz

5.3. A polêmica em torno à teoria da luz

5.4. Interferência da luz

5.5. Ondas planas

5.6. Equação de onda em três dimensões

5.7. Ondas esféricas

Exercícios resolvidos

Exercício adicional

Resposta do exercício adicional