4. Ondas

4.1. Ondas em uma dimensão

A figura 4.1 mostra dois exemplos de ondas que se propagam em uma dimensão. No primeiro caso, temos um cilindro com gás. O eixo dos $x$ foi escolhido na direção do cilindro e a cor verde representa a pressão no cilindro, no estado de equilíbrio. No instante $t = 0$ (lado esquerdo da figura) há uma explosão dentro do cilindro, que faz aumentar a pressão; a cor azul representa pressão superior ao valor de equilíbrio. Um instante mais tarde, em $t > 0$ , observa-se que o ponto onde a pressão é superior desloca-se nos dois sentidos do eixo $x$ , em sentidos opostos, com velocidade de módulo constante (lado direito da figura). Cada uma dessas perturbações que se desloca com velocidade constante é uma onda. As velocidades das duas ondas são ${\vec{v}}_{-}$ e ${\vec{v}}_{+}$ ( $| {\vec{v}}_{-} | = | {\vec{v}}_{+} | = v$ ).

**Figure 4.1:** Onda de pressão numa coluna de gás e onda numa corda esticada.

O segundo exemplo da figura 4.1 é uma corda esticada entre duas barras fixas. Quando todos os pontos na corda estão em repouso, a forma da corda é o segmento de reta entre os dois extremos e o eixo $x$ foi escolhido ao longo desse segmento. Se no instante $t = 0$ a corda é deformada como mostra o lado esquerdo da figura 4.1, nos instantes posteriores, $t > 0$ , observa-se que a deformação da corda desloca-se nos dois sentidos do eixo $x$ , dando origem a duas ondas com velocidades ${\vec{v}}_{-}$ e ${\vec{v}}_{+}$ (lado direito da figura). O módulo das duas velocidades é igual ( $| {\vec{v}}_{-} | = | {\vec{v}}_{+} | = v$ ), e depende do tipo de corda e da tensão que for aplicada nela.

4.2. Descrição matemática das ondas

Nos dois exemplos da figura 4.1 existe uma função contínua $y (x, t)$ que depende da posição $x$ , e do tempo $t$ . No caso da onda de pressão, $y$ representa o desvio da pressão em relação à pressão de equilíbrio, e no caso da corda $y$ é o deslocamento relativo à posição da corda em repouso, na direção perpendicular à corda. A função $y (x, t)$ é conhecida como função de onda.

O lado esquerdo da figura 4.2 mostra a a função $y (x, t)$ correspondente às ondas da figura 4.1, no instante $t = 0$ . E o lado direito da figura mostra a mesma função $y (x, t)$ em $t > 0$ .

Em $t = 0$ , o valor da função de onda, $y (x, 0)$ , em diferentes posições $x$ , definem uma função $f (x)$ de uma variável:

y (x, t) = f (x)

Essa função define a perturbação que da origem às ondas propagando-se nas duas direções. As duas ondas mantêm a mesma forma da pertubação inicial mas deslocam-se com velocidade de módulo $v$ nos dois sentidos; como tal, a onda que se propaga na direção positiva de $x$ terá função $f (x - v t) / 2$ e a função de onda da onda que se propaga no sentido negativo será $f (x - v t) / 2$ . O fator de $1 / 2$ é porque a função que define a deformação do sistema em qualquer instante $t \geq 0$ deverá ser a soma das duas ondas:

y (x, t) = \frac{1}{2} [f (x + v t) + f (x - v t)]

(4.1)

o fator $1 / 2$ garante que em $t = 0$ , $y (x, 0)$ seja igual a $f (x)$ .

As funções com a forma $f (x - v t)$ representam ondas que se deslocam no sentido positivo do eixo $x$ , com velocidade $v$ . Se a onda se deslocar no sentido negativo do eixo $x$ , a função de onda terá a forma $f (x + v t)$ . A função $f (x)$ pode ser qualquer função contínua de $x$ .

Quando $f (x)$ é diferente de zero apenas num intervalo $Δ x$ , diz-se que a onda é um pulso. A figura 4.3 mostra um pulso, que se desloca no sentido positivo do eixo $x$ com velocidade $v$ . O lado esquerdo a figura mostra a função de onda, $y (x, t)$ , no intervalo $0 \leq x \leq 170$ (unidades arbitrárias), no instante $t = 0$ . A função de onda é diferente de zero num intervalo $Δ x$ , com valor mínimo $y_{mín}$ e valor máximo $y_{máx}$ .

O lado direito da figura 4.3 mostra os valores da função de onda, no ponto $x = 120$ , no intervalo de tempo $0 \leq t \leq 120$ (unidades consistentes com as unidades usadas para $x$ , e com o valor $v = 2$ ). Em $t = 0$ , o pulso ainda não chegou até $x = 120$ ; o tempo que demora em chegar a esse ponto é $(120 - 90) / v$ , e como $v = 2$ , esse tempo é 15 unidades. A partir de $t = 15$ , o pulso atinge o seu valor máximo $y_{máx}$ , desce até o valor mínimo $y_{mín}$ e volta a ficar igual a zero em $t \geq 55$ . O intervalo de tempo que o pulso demora a passar por $x = 120$ , ou por qualquer outro ponto, é $Δ t = Δ x / v$ . O lado esquerdo da figura 4.3 é a função $f (x)$ , igual a $y (x, 0)$ . O lado direito da figura é a função $f (120 - 2 t)$ . A conclusão é que todos os pontos por onde o pulso passa ( $x \geq 90$ ) oscilam da mesma forma, mas começando em instantes diferentes: quando o pulso chega ao ponto em $x = 120$ , no instante $t = 15$ , $y$ aumenta de 0 até $y_{máx}$ , a seguir diminui até $y_{mín}$ , e volta a ficar igual a zero após um tempo $Δ t = Δ x / 2$ quando o pulso já passou.

As ondas numa corda são designadas por ondas transversais, porque a perturbação que se propaga é um desvio da posição de equilíbrio, em direção perpendicular à direção de propagação da onda. Já no caso da onda de pressão num cilindro com gás, o aumento ou diminuição da pressão está relacionado com o aumento ou diminuição de moléculas do gás num elemento de volume no cilindro. O aumento ou diminuição de moléculas num volume fixo implica variação da densidade, devida ao deslocamento de moléculas na mesma direção em que a onda se propaga. Esse tipo de onda é designado por onda longitudinal, porque as variações da pressão em relação ao seu valor de equilíbrio é devido a deslocamentos das moléculas na mesma direção $x$ em que a onda se propaga.

4.3. Ondas harmónicas

Uma onda harmónica, em uma dimensão $x$ , é uma onda em que a função de onda em $t = 0$ , $f (x) = y (x, 0)$ , é uma função seno ou cosseno. Como tal, $f (x)$ é o mesmo tipo de função de uma oscilação harmónica, estudada no capítulo anterior, mas substituindo o tempo $t$ pela posição $x$ , e a constante $ω$ por outra constante $k$ :

f (x) = A \sin (k x + φ_{0})

(4.2)

A figura 4.4 mostra o gráfico dessa função. A distância entre dois máximos sucessivos já não é um intervalo de tempo (período), mas sim um comprimento, conhecido como comprimento de onda, $λ$ . O valor máximo da função de onda, $A$ , é a sua amplitude, e o valor mínimo é $- A$ .

O valor $1 / λ$ designa-se por número de onda, e corresponde ao número de comprimentos de onda por unidade de comprimento. Como a variação do ângulo da função seno entre dois máximos consecutivos é de $2 π$ , então $k λ$ deverá ser igual a $2 π$ , o que conduz a:

k = \frac{2 π}{λ}

(4.3)

e devido a esta relação com o comprimento de onda, $k$ é conhecido como número de onda angular.

O tempo que a onda demora a deslocar-se um comprimento de onda designa-se por período, $T$ , e o seu inverso é a frequência $f$ , igual ao número de comprimentos de onda que passam por um ponto $x$ , por unidade de tempo; a frequência angular da onda é $ω = 2 π f$ . Se a velocidade de propagação da onda for $v$ , obtemos a seguintes expressões para a velocidade:

v = \frac{λ}{T} = λ f = \frac{ω}{k}

(4.4)

A função de onda $y (x, t)$ das ondas com velocidade $v$ na direção $x$ é $f (x \pm v t)$ , em que o sinal positivo corresponde a ondas que se propagam no sentido negativo e o sinal menos corresponde a ondas que se propagam no sentido positivo. No caso das ondas harmónicas, $f$ é a função (4.2), mas a constante $φ_{0}$ pode ser eliminada, escolhendo o instante $t = 0$ , ou a posição $x = 0$ , de forma apropriada. Usando a expressão (4.4), a função de onda das ondas harmónicas é:

y (x, t) = A \sin (k x \pm ω t)

(4.5)

A equação (4.5) implica que o deslocamento $y$ de cada ponto numa posição $x$ , em função do tempo, é,

y (t) = A \sin (\pm ω t + φ_{x})

(4.6)

Isto é, todos os pontos oscilam de forma harmónica, com a mesma frequência $f = ω / (2 π)$ mas com diferentes fases. A diferença de fase entre os pontos nas posições $x_{1}$ e $x_{2}$ é $k (x_{1} - x_{2}) = 2 π (x_{1} - x_{2}) / λ$ . Como tal, todos os pontos que estejam a uma distância de um número inteiro de comprimentos de onda oscilam com a mesma fase (atingem os seus valores máximos ou mínimos de $y$ simultaneamente).

4.4. Equação de onda

Nesta secção encontraremos a equação diferencial que conduz a soluções que são funções de onda com velocidade $v$ , na direção $x$ . Como vimos temos dois tipos de funções de onda, $f (x - v t)$ ou $g (x + v t)$ , dependendo do sentido do deslocamento da onda. Para que seja mais claro que as funções $f$ e $g$ , são funções de uma única variável definimos:

ξ = x - v t η = x + v t

(4.7)

As funções de onda das ondas que se propagam no sentido positivo e no sentido negativo de $x$ são então:

y_{+} (x, t) = f (ξ) y_{-} (x, t) = g (η)

(4.8)

As duas derivadas parciais da função $y_{+} (x, t)$ são:

\frac{\partial y_{+}}{\partial x} = \frac{d f}{d ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} = \frac{d f}{d ξ}

(4.9)

\frac{\partial y_{+}}{\partial t} = \frac{d f}{d ξ} \frac{\partial ξ}{\partial t} = - v \frac{d f}{d ξ}

(4.10)

E comparando essas duas derivadas, conclui-se que $y_{+}$ é solução da equação diferencial:

\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{1}{v} \frac{\partial y}{\partial t}

(4.11)

De forma análoga, as derivadas parciais da função $y_{-} (x, t)$ são:

\frac{\partial y_{-}}{\partial x} = \frac{d g}{d η} \frac{\partial ξ}{\partial x} = \frac{d g}{d η}

(4.12)

\frac{\partial y_{-}}{\partial t} = \frac{d g}{d η} \frac{\partial ξ}{\partial t} = - v \frac{d g}{d η}

(4.13)

E $y_{-}$ é solução da equação diferencial:

\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{1}{v} \frac{\partial y}{\partial t}

(4.14)

As duas equações (4.11) e (4.14) podem ser agrupadas numa única equação, comparando as segundas derivadas. No caso de $y_{+}$ ,

\frac{\partial^{2} y_{+}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{d f}{d ξ}) = \frac{d^{2} f}{d ξ^{2}} \frac{\partial ξ}{\partial x} = \frac{d^{2} f}{d ξ^{2}}

(4.15)

\frac{\partial^{2} y_{+}}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t} (- v \frac{d f}{d ξ}) = - v \frac{d^{2} f}{d ξ^{2}} \frac{\partial ξ}{\partial x} = v^{2} \frac{d^{2} f}{d ξ^{2}}

(4.16)

que é solução da equação diferencial:

\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}

(4.17)

O cálculo das segundas derivadas de $y_{-}$ conduz à mesma equação. A equação diferencial (4.17), conhecida como equação de onda em uma dimensão, tem soluções da forma $y_{+} = f (x - v t)$ e $y_{-} = g (x + v t)$ , em que $f$ e $g$ podem ser quaisquer funções contínuas. Trata-se de uma equação linear, isto é, a soma de duas soluções também é solução; como tal, a solução geral da equação de onda é:

y (x, t) = f (x - v t) + g (x + v t)

(4.18)

Em qualquer sistema físico em que encontrarmos uma equação diferencial como a equação (4.17), onde $1 / v^{2}$ é uma constante positiva, podemos concluir que a solução geral são ondas que podem propagar-se em qualquer dos dois sentidos do eixo $x$ , com velocidade constante $v$ , igual à raiz quadrada do inverso da constante no lado direito da equação.

4.4.1. Ondas transversais numa corda

Consideremos uma corda como as da figura 4.1, esticada entre dois suportes fixos. Num segmento da corda, entre $x$ e $x + Δ x$ que esteja deslocado da posição de equilíbrio $y = 0$ , atuam as forças ${\vec{F}}_{1}$ e ${\vec{F}}_{2}$ , indicadas na figura 4.5, nos dois extremos.

**Figure 4.5:** Forças nos dois extremos de um segmento de uma corda.

Admitindo ondas transversais, em que os pontos da corda oscilam na direção $y$ mas não na direção $x$ , as componentes $x$ das duas forças deverão anular-se. Assim, as componentes horizontais das duas forças na figura 4.1 têm sinais opostos mas o mesmo módulo, igual à tensão $F_{T}$ ao longo da corda:

F_{1 x} = - F_{T} F_{2 x} = F_{T}

(4.19)

E as duas forças ${\vec{F}}_{1}$ e ${\vec{F}}_{2}$ deverão ser tangentes à corda nos dois extremos. Como a tangente em cada ponto da corda tem declive igual à derivada da função $y (x, t)$ , que define a forma da corda, em ordem a $x$ , temos que:

\frac{F_{1 y}}{F_{1 x}} = {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x} \frac{F_{2 y}}{F_{2 x}} = {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x + Δ x}

(4.20)

E combinando as equações (4.19) e (4.20), a força resultante no segmento da corda, na direção $y$ , é igual a:

F_{1 y} + F_{2 y} = F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x + Δ x} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x}]

(4.21)

O segmento da corda entre $x$ e $x + Δ x$ tem massa $m = μ Δ x$ , onde $μ$ é a massa por unidade de comprimento. E no limite $Δ x \to 0$ , a aceleração vertical desse segmento é a segunda derivada de $y$ em ordem a $t$ . A força resultante (4.21), por unidade de comprimento, no limite $Δ x \to 0$ é igual à massa por unidade de comprimento vezes a aceleração:

F_{T} {lim}_{Δ x \to 0} \frac{{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x + Δ x} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x}}{Δ x} = μ \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

(4.22)

O limite no lado esquerdo da equação é a segunda derivada de $y$ em ordem a $x$ . Obtemos assim a equação de onda para a corda:

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{μ}{F_{T}} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

(4.23)

E a velocidade das ondas transversais na corda é igual à raiz quadrada da tensão, dividida pela massa por unidade de comprimento:

v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}}

(4.24)

4.5. Ondas de som no ar

Uma onda de som é uma oscilação da pressão, em relação à pressão de equilíbrio, num meio, que pode ser um sólido, um líquido ou um gás. No caso do som dentro de um tubo com gás, as ondas de som são como a onda explosiva representada na figura 4.1. A partir da teoria dos gases ideais e admitindo que o processo de alteração da pressão é adiabático, porque ocorre de forma rápida sem que exista transferência de calor, consegue-se demonstrar que a variação da pressão, $p (x, t)$ , em função da posição $x$ no cilindro e do tempo $t$ , verifica a equação de onda, com velocidade dada pela expressão:

v = \sqrt{C T}

(4.25)

onde $C$ uma constante própria de cada gás, e $T$ é a temperatura absoluta. No caso do ar, a velocidade do som quando a temperatura é de $0^{\circ}$ C (temperatura absoluta 273 K), é aproximadamente 331 m/s. A $20^{\circ}$ C (293 K), a velocidade do som no ar é:

v_{som} = 331 \sqrt{\frac{293}{273}} = 343 m / s

(4.26)

que é o valor comumente usado.

Uma onda de som harmónica tem uma frequência $f$ constante. Por exemplo A nota musical designada por Lá $_{3}$ , tem frequência de 440 Hz. Admitindo ar à temperatura de $20^{\circ}$ C e usando a relação (4.4) entre a velocidade, a frequência e o comprimento de onda, essa frequência corresponde a comprimento de onda de $78$ cm.

4.6. Interferência e reflexão de ondas

Como a equação de onda é linear, a sobreposição de duas ondas é também uma possível onda, solução da equação de onda. A figura 4.6 mostra a interferência de dois pulsos que se propagam em direções opostas. No instante inicial, os dois pulsos estão separados; um instante mais tarde, os pulsos encontram-se ao meio da corda e o resultado é o gráfico do meio na figura. Ainda num instante posterior, os pulsos já se cruzaram e continuam com a sua forma original.

**Figure 4.6:** Interferência de dois pulsos que se deslocam em sentidos opostos.

Vamos agora considerar o que acontece ao pulso que se desloca para a direita, quando atinge o extremo do lado direito da corda (figura 4.7).

**Figure 4.7:** Reflexão de um pulso numa extremidade fixa de uma corda.

As forças do suporte na corda não permitem o deslocamento vertical do ponto da corda fixo nesse extremo. Quando o pulso chega a esse extremo, a força vertical associada a esse pulso é contrariada pela força de contacto no suporte. O resultado é a produção de um outro pulso, que se desloca no sentido negativo, e é o reflexo da parte do pulso original que deveria ter passado através da barreira. A soma do pulso incidente (a vermelho), mais o pulso refletido (a azul) produz a forma da corda, sempre com o ponto no extremo da corda na posição de equilíbrio $y = 0$ .

4.7. Ondas estacionárias

Uma onda harmónica que se desloca no sentido positivo na direção de uma corda esticada tem função de onda:

y_{+} (x, t) = A \cos (k + ω t)

(4.27)

Quando a onda atinge o extremo direito da corda, a onda refletida tem função de onda $- y_{-} (x, t)$ , no sentido negativo, e a função de onda na corda é igual à soma das funções da onda incidente mais a onda refletida:

y (x, t) = A \cos (k x + ω t) - A \cos (k x - ω t)

(4.28)

Usando as identidades trigonométricas para o cosseno da soma e da diferença de dois ângulos, obtém-se:

y (x, t) = 2 A \sin (k x) \sin (ω t)

(4.29)

Observe-se que as partes que dependem de $x$ e de $t$ ficaram em duas funções separadas. A função (4.29) descreve ondas chamadas estacionárias, em que todos os pontos na corda, nas diferentes posições $x$ , têm movimento harmónico com a mesma frequência angular $ω$ , e estão a oscilar em fase. Mas a amplitude do movimento de cada ponto depende do seu valor da coordenada $x$ :

y_{máx} = 2 A \sin (k x)

(4.30)

Lembrando que $k x$ é igual a $2 π x / λ$ , os ponto nas posições:

x = n (\frac{λ}{2}) (n = 0, 1, 2, 3, \dots)

(4.31)

têm amplitude de oscilação nula. Isto é, esses pontos não oscilam, mas permanecem estáticos na posição de equilíbrio. Esses pontos estáticos são designados por nodos.

Já os pontos nas posições,

x = (n + \frac{1}{2}) \frac{λ}{2} (n = 0, 1, 2, 3, \dots)

(4.32)

conhecidos como antinodos, oscilam com amplitude máxima, $y_{máx} = 2 A$ .

Numa corda de comprimento $L$ , fixa nos extremos, quando oscilar os dois extremos deverão ser dois nodos diferentes. Se o eixo $x$ for definido com origem num dos extremos, esse extremo é automaticamente um nó com $n = 0$ . O outro extremo, em $x = L$ , poderá ser o nodo com $n = 1, 2, 3,$ … Substituindo na equação (4.31), obtêm-se os respetivos valores do comprimento de onda:

λ_{n} = \frac{2 L}{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

(4.33)

Estes são os possíveis valores do comprimento de onda da onda na corda. As ondas estacionárias na corda só podem ter algum desses comprimentos de onda $λ_{n}$ . A figura 4.8 mostra os quatro primeiros possíveis modos de oscilação, correspondentes aos valores 1, 2, 3 e 4 do número $n$ . O número de nodos, excluindo os extremos da corda, é igual a $n - 1$ .

**Figure 4.8:** Quatro modos de oscilação de uma corda com os extremos fixos.

Usando a equação (4.24) para a velocidade das ondas numa corda, e a equação (4.4) que relaciona a velocidade com a frequência e o comprimento de onda, os possíveis valores do comprimento de onda conduzem aos possíveis valores da frequência de oscilação:

f_{n} = \frac{n}{2 L} \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} (n = 1, 2, 3, \dots)

(4.34)

O primeiro valor, $f_{1}$ , correspondente ao primeiro modo de oscilação, é conhecido por frequência fundamental, o segundo valor, $f_{2} = 2 f_{1}$ , é conhecido como segundo harmónico, o terceiro valor, $f_{3} = 3 f_{1}$ , é o terceiro harmónico, e assim sucessivamente.

4.7.2. Ondas de som num tubo

A figura 4.9 mostra as ondas de som estacionárias que podem ser produzidas num tubo aberto por onde é bufado ar, como por exemplo, nos tubos de um órgão. O ar entra pelo lado esquerdo do tubo. Nos dois lados do tubo a variação da pressão do ar terá amplitude máxima. Como tal, nos dois extremos do tubo deverão existir antinodos. As linhas a vermelho representam os valores mínimos e máximos da oscilação da pressão em cada posição do tubo.

**Figure 4.9:** Quatro primeiros modos de oscilação num tubo aberto.

Observa-se que a relação entre os comprimentos de onda dos modos de oscilação e o comprimento $L$ do tubo é a mesma do que a equação (4.33) para as ondas estacionárias numa corda fixa nos extremos. As expressão para as frequências dos harmónicos será então também a mesma do que no caso da corda, mas tendo em conta que a velocidade das ondas na corda deverá ser substituída pela velocidade do som no ar:

f_{n} = \frac{n}{2 L} v_{som} (n = 1, 2, 3, \dots)

(4.35)

4.8. Ondas em duas e três dimensões

As ondas na superfície da água são ondas que se propagam em duas dimensões. As ondas de som propagam-se em três dimensões. Se a fonte que produz as ondas for suficientemente pequena, podemos admitir que é uma fonte pontual e a onda é simétrica em relação a esse ponto. A onda desloca-se nas direções radiais a partir desse ponto, e se o meio for homogéneo e isotrópico, a velocidade será igual em todas essa direções radiais.

No caso das ondas harmónicas, os pontos onde tem o valor máximo formam esferas com centro na fonte, conhecidas como frentes de onda (ver figura 4.10). O raio das frentes de onda aumenta, à medida que se afastam da fonte com velocidade $v$ . Em cada intervalo de um período sai uma nova frente de onda a partir da fonte.

**Figure 4.10:** Frentes de onda produzidas por uma fonte pontual harmónica.

A figura 4.11 mostra as frentes de onda de duas fontes pontuais harmónicas, com a mesma frequência. Nos pontos onde se cruzam as frentes de onda das duas ondas, a onda resultante será máxima: interferência construtiva.

**Figure 4.11:** Interferência entre duas ondas produzidas por duas fontes pontuais.

Em outros pontos uma das ondas têm o seu valor máximo, enquanto a outra tem o seu valor mínimo. Se a amplitude das duas ondas for a mesma, a onda resultante será nula nesses pontos: interferência destrutiva.

4.9. Efeito Doppler

Quando a fonte que produz uma onda estiver em movimento em relação ao meio onde a onda se propaga, os centros das diferentes frentes de onda não são o mesmo ponto, mas estarão no ponto onde estava a fonte quando a frente de onda foi emitida.

Assim, à frente da fonte as frentes de onda estarão mais perto umas das outras e detrás da fonte as frentes de onda estarão mais afastadas, como se mostra na figura 4.12.

Um observador que esteja à frente da fonte, receberá mais frentes de onda, por unidade de tempo, do que um observador que esteja detrás da fonte. O resultado é o aumento da frequência da onda recebida pelo primeiro observador e a diminuição da frequência da onda recebida pelo segundo observador. Esse efeito é designado por efeito Doppler.

No exemplo da ambulância da figura 4.12, o homem do lado direito ouve o som da sirene da ambulância mais agudo (frequência maior) e homem da esquerda o ouve mais grave (menor frequência).

Se o emissor da onda de som estiver em movimento com velocidade $v_{e}$ em relação ao ar entre o emissor e o receptor, na direção do e o receptor tem velocidade $v_{r}$ relativa ao ar entre eles, a frequência ouvida pelo receptor, $f_{r}$ está relacionada com a frequência $f$ emitida pelo emissor, pela seguinte equação:

f_{r} = \frac{v \pm v_{r}}{v \pm v_{e}} f

(4.36)

onde $v$ é a velocidade do som no ar. Para determinar os sinais corretos, consideram-se as velocidades do emissor, $v_{e}$ , e do receptor, $v_{r}$ , relativas à região de ar entre eles, e não relativas de um ao outro! O sinal no numerador será positivo quando o receptor se aproxima dessa região, ou negativo quando se afasta dela. No denominador, o sinal será positivo quando o emissor se afasta dessa região, ou negativo quando se aproxima dela.

4.10. Ondas de choque

Se a velocidade da fonte for muito elevada, maior que a velocidade de propagação da onda, a fonte estará sempre por fora das frentes de onda, como se mostra na figura 4.13. As frentes de onda concentram-se dentro de um cone. Esse tipo de onda é designado por onda de choque.

**Figure 4.13:** Onda de choque de um avião supersónico.

Um avião supersónico é um avião que se desloca a velocidades maiores que a velocidade do som. Quando o avião passa por cima de nós, a uma velocidade maior que 343 m/s, não ouvimos o som imediatamente, porque as frentes de onda estão todas por detrás do avião. Uns instantes depois de ter passado o avião, somos atingidos pelo cone da onda de choque, e ouvimos um som muito intenso pois no cone concentram-se muitas frentes de onda.

O ângulo do cone da onda de choque determina-se a partir da expressão:

\sin θ = \frac{v}{v_{e}}

(4.37)

onde $v$ é a velocidade do som, e $v_{e}$ é a velocidade do emissor da onda, que deverá ser maior que $v$ para que exista onda de choque.

Exercícios resolvidos

4.1. O primeiro gráfico mostra o deslocamento $y$ em função da posição $x$ , de uma onda harmónica, no instante $t = 0$ , e o segundo gráfico mostra o deslocamento, em função do tempo, do ponto em $x = 4$ m. (a) Calcule a velocidade da onda. (b) Calcule a velocidade máxima do ponto em $x = 4$ m. (c) Diga em que sentido se descola a onda e escreva a sua equação.

Resolução. (a) No primeiro gráfico concluimos que o comprimento de onda é 4 m, e o segundo gráfico mostra que o período é 1/2 segundo. A velocidade da onda harmónica é igual ao comprimento de onda dividido pelo período; como tal, $v = 8$ m/s.

(b) A função representada no segundo gráfico é:

y (t) = 1.5 \sin (4 π t)

onde $y$ é medida em cm e $t$ em segundos. Essa função representa o deslocamento vertical do ponto em $x = 4$ m. Assim, a velocidade instantânea do ponto é a derivada dessa função

v_{y} (t) = - 6 π \cos (4 π t)

em cm/s, se $t$ for dado em segundos. O valor máximo dessa função obtem-se quando o cosseno for igual a $- 1$ . A velocidade máxima é:

6 π c m / s = 18.85 c m / s

Note-se que essa velocidade é na direcção do eixo dos $y$ . Os pontos do meio deslocam-se nessa direcção, enquanto a onda se propaga na direcção do eixo dos $x$ .

(c) Nos dois gráficos vemos que em $t = 0$ o deslocamento do ponto em $x = 4$ m é $y = 0$ . Um instante mais tarde o deslocamento aumenta, como vemos no segundo gráfico. Isto é, o deslocamento passa a ser positivo, como era nos pontos à direita de $x = 4$ em $t = 0$ . Concluímos então que a onda se desloca no sentido negativo do eixo $x$ .

A função de onda será a função representada no primeiro gráfico, substituindo $x$ por $x + 8 t$

y (x, t) = 1.5 \sin [\frac{2 π}{4} (x + 8 t)] = 1.5 \sin (\frac{π}{2} x + 4 π t)

onde $x$ é medida em metros, $t$ em segundos e $y$ em centímetros. Podemos conferir que com $x = 4$ obtém-se a mesma função que já obtivemos na alínea (b) para o deslocamento do ponto na posição $x = 4$ .

4.2. Uma corda de um violino tem massa por unidade de comprimento de 0.38 g/m, e a distância entre os extremos em que está fixa (entre o cavalete e a pestana) é de 33 cm. Determine a tensão que deverá ser aplicada a essa corda para produzir frequência fundamental de 660 Hz.

Resolução. Substituindo na equação (4.34), com $n = 1$ e em unidades SI, temos:

660 = \frac{1}{0.66} \sqrt{\frac{F_{T}}{0.38 \times 10^{- 3}}}

e resolvendo para $F_{T}$ obtém-se:

F_{T} = 72 N

4.3. O dispositivo da figura 4.8 faz vibrar um dos extremos da corda, com frequência constante de 50 Hz. O outro extremo está ligado a um dinamômetro. Ajustando a altura do dinamômetro consegue-se alterar a tensão na corda. Sabendo que a massa da corda é uma grama por metro, e que a distância entre os dois extremos fixos da corda é 47.2 cm, determine os valores que deverá ter a tensão na corda, nos quatro primeiros modos de oscilação.

Resolução. Resolvendo a equação (4.34), obtém-se:

F_{T} = \frac{4 L^{2} f^{2} μ}{n^{2}}

e substituindo os valores (unidades SI) $L = 0.472$ , $f = 50$ , $μ = 0.001$ , obtemos:

F_{T} = \frac{2.2278}{n^{2}}

e os valores da tensão, em newton, dos quatro primeiros modos de oscilação são:

F_{T} = {2.23, 0.557, 0.248, 0.239}

4.4. Dois altifalantes pequenos são alimentados por um mesmo amplificador e emitem ondas harmónicas em fase. Considere que a temperatura é $25^{\circ}$ C. (a) Em que frequências ocorre interferência construtiva num ponto que está a 4.5 m de um dos altifalantes e a 4.1 m do outro? (b) Em que frequências ocorre interferência destrutiva?

Resolução. A velocidade do som a $25^{\circ}$ C é:

v = 331 \sqrt{\frac{298}{273}} = 346 m / s

e a diferença das distâncias é $Δ d = 0.4$ m.

(a) Para que exista interferência construtiva, a diferença das distâncias até às duas fontes, $Δ d$ , deverá ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:

Δ d = n λ = \frac{n v}{f}

Como tal, as frequências em que ocorre interferência construtiva são:

f = \frac{n v}{Δ d} = 865 n

que conduz à sequência: 865 Hz, 1730 Hz, 2595 Hz, 3460 Hz, …

(b) A interferência destrutiva ocorre quando a diferença das distâncias $Δ d$ for um inteiro mais 1/2, vezes o comprimento de onda:

Δ d = (n + \frac{1}{2}) λ = (n + \frac{1}{2}) \frac{v}{f}

E a sucessão de frequências em que há interferência construtiva é:

f = (n + \frac{1}{2}) \frac{v}{Δ d} = (n + \frac{1}{2}) 865

que conduz à sequência: 1297.5 Hz, 2162.5 Hz, 3027.5 Hz, 3892.5 Hz, …

Para conferir o resultado deste problema seria necessário trabalhar numa sala especial. Numa sala normal a reflexão do som nas paredes, teto e chão faz com que este efeito não seja observado.

4.5. A buzina de um automóvel tem frequência de 400 Hz. Se o condutor abuzina em quanto está a circular a 122 km/h pela autoestrada: (a) Determine a frequência do som ouvido pelo ocupante de um camião que se encontra parado na berma à frente do automóvel. (b) Determine a frequência do som ouvido pelos ocupantes de outro automóvel, que se desloca a 95 km/h e acabou de ser ultrapassado pelo primeiro automóvel.

Resolução. (a) A velocidade do primeiro automóvel (emissor), em metros por segundo é:

v_{e} = \frac{122}{3.6} = 33.89 m / s

e a frequência do som ouvido pelo ocupante do camião é:

f_{r} = \frac{343 \times 400}{343 - 33.89} = 444 H z

(b) A velocidade do segundo automóvel (receptor), em metros por segundo, é:

v_{r} = \frac{122}{3.6} = 26.39 m / s

Em relação ao ar entre os dois automóveis, o emissor (primeiro automóvel) está a afastar-se, e o receptor (segundo automóvel está a aproximar-se. Como tal, será necessário usar sinal positivo no numerador e denominador da expressão (4.36):

f_{r} = (\frac{343 + 26.39}{343 + 33.89}) 400 = 392 H z

4.6. O avião supersónico da figura 4.13 está a voar a 15 km de altura, e a onda de choque é ouvida num ponto 35 s após a passagem do avião por cima desse ponto. Determine a velocidade do avião.

Resolução. Na figura seguinte, $h$ é a altura do avião em relação ao ponto onde se encontra ao receptor R, $x$ é a distância horizontal que o avião se deslocou, durante os 35 s, a partir do ponto P por cima do receptor, e $d$ é a distância que o som se propaga durante esse mesmo intervalo, desde o ponto P onde foi emitida.

Como o segmento desde R até o avião é a aresta da onda de choque, é perpendicular ao segmento de comprimento $d$ e, por semelhança de triângulos, temos que:

\frac{x}{h} = \frac{d}{\sqrt{h^{2} - d^{2}}}

A distância percorrida pelo som em 35 s é $d = 343 \times 35 = 12005$ m, e substituindo a altura $h = 15000$ m, a distância percorrida pelo avião é:

x = \frac{12005 \times 15000}{\sqrt{15000^{2} - 12005^{2}}} = 20023 m

A velocidade do avião é essa distância, dividida por 35 s:

v_{a} = \frac{20023}{35} = 572 m / s = 2060 k m / h

Exercícios adicionais

4.7. Uma onda de pressão propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ , com velocidade de 3 m/s. No instante $t = 0$ , a variação da pressão em relação ao seu valor de equilíbrio, em função da posição $x$ , é dada pela função $p = \frac{1}{x^{2} + 2}$ (unidades SI). Determine o valor de $p$ no ponto $x = 1$ m, no instante $t = 1$ s.

4.8. Uma onda harmónica com frequência de 80 Hz e amplitude igual a $0.025$ m propaga-se numa corda, no sentido positivo do eixo dos $x$ , com velocidade de 12 m/s. (a) Escreva uma função de onda apropriada para esta onda. (b) Encontre a velocidade máxima do ponto da corda que se encontra na posição $x = 1$ m. (c) Encontre a aceleração máxima do mesmo ponto considerado na alínea anterior.

4.9. O desvio da posição de equilíbrio de uma partícula num meio onde se propaga uma onda harmónica é (unidades SI):

y (x, t) = \frac{2}{π} \sin π (x - 4 t)

Calcule o módulo da velocidade de uma partícula no ponto $x = 10$ m, no instante $t = 2$ s

Respostas dos exercícios adicionais

4.7. 1/6 Pa.

4.8. (a) $y (x, t) = 0.025 \sin (41.9 x - 503 t)$ (unidades SI). (b) $12.6$ m/s (c) $6.33$ km/s $^{2}$

4.3. 8 m/s