Ótica e Ondas

3.4. Vetores de rotação

O movimento harmónico simples pode ser visualizado como a projeção de um movimento circular uniforme. O lado esquerdo da figura 3.3 mostra uma roda, de raio $A$ , que roda em torno do seu eixo com velocidade angular $ω$ , constante, no sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio.

**Figure 3.3:** Projeção de um movimento circular uniforme num eixo.

Na periferia da roda há um pino P. A projeção da posição do pino no plano horizontal desloca-se entre dois pontos à distância $A$ da projeção do eixo da roda no ponto O. Num eixo $x$ com origem no ponto O e na direção do movimento da projeção de P, a posição da projeção de P é dada pela função $x (t)$ , que verifica a equação (3.5) do movimento harmónico simples.

Se colocarmos o eixo $x$ passando pelo centro da roda (lado direito da figura 3.3), o vetor $\vec{r}$ , desde a origem O até o ponto P, tem módulo igual a $A$ e componentes:

\vec{r} = A \sin φ \hat{ı} - A \cos φ \hat{ȷ}

(3.10)

onde o ângulo $φ$ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo $y$ negativo. A velocidade angular do ponto P é $ω$ , constante, igual à derivada do ângulo $φ$ em ordem ao tempo. Como tal, $φ$ é a primitiva de $ω$ que em $t = 0$ tem o valor inicial $φ_{0}$ :

φ = ω t + φ_{0}

(3.11)

e a componente $x$ do vetor $\vec{r}$ é a expressão (3.5) do movimento harmónico simples.

Se em vez do ângulo $φ$ usarmos o ângulo $θ$ que o vetor $\vec{r}$ faz com o semieixo $x$ positivo, a expressão do vetor $\vec{r}$ será,

\vec{r} = A \cos θ \hat{ı} + A \sin θ j

(3.12)

e o movimento harmónico no eixo dos $x$ que é a componente $x$ desse vetor é igual a:

x (t) = A \cos (ω t + θ_{0})

(3.13)

Como tal, o movimento harmónico pode ser representado por uma função seno ou cosseno, com fases iniciais diferentes. Também é possível fazer com que a fase inicial seja nula, mudando a origem da variável $t$ . No caso da equação (3.5), se $t = 0$ for escolhido como o instante em que $x$ é igual a zero e está a aumentar, então $φ_{0} = 0$ ; e no caso da equação (3.13), se $t = 0$ for o instante em que $x$ tem o seu valor máximo, $θ_{0} = 0$ .

3.5. Sobreposição de movimentos harmónicos perpendiculares

Consideremos uma partícula que se desloca no plano $x y$ de forma que as duas componentes $x$ e $y$ da posição são ambas funções harmónicas. Começaremos por considerar ambas funções com a mesma frequência angular $ω$ , mas com amplitudes $A$ e $B$ diferentes. O tempo pode ser contado a partir do instante em que $x$ tem o seu valor máximo, e nesse instante admitimos que $y$ não tem o seu valor máximo. Assim, as coordenadas da posição da partícula em função do tempo são:

x (t) = A \cos ω t y (t) = B \cos (ω t + δ)

(3.14)

Vejamos como será a trajetória da partícula para alguns valores do desfasamento $δ$ entre os dois movimentos harmónicos.

1. Quando os dois movimentos estão em fase, $δ = 0$ , a relação entre as componentes $y$ e $x$ é constante e igual à relação entre as amplitudes:

y = \frac{B}{A} x

(3.15)

que é a equação de uma reta que passa pela origem, com declive positivo $B / A$ . Mas como $x$ varia entre $- A$ e $A$ , a trajetória é um segmento de reta entre os pontos $(x, y) = (- A, - B)$ e $(x, y) = (A, B)$ .

2. Quando o desfasamento é $δ = π / 2$ , a componente $y$ é:

y (t) = B \cos (ω t + \frac{π}{2}) = - B \sin ω t

(3.16)

e obtemos a seguinte relação:

{(\frac{x}{A})}^{2} + {(\frac{y}{B})}^{2} = 1

(3.17)

que é a equação de uma elipse. A trajetória da partícula é uma elipse, com centro na origem e semieixos de comprimentos $A$ e $B$ , nas direções $x$ e $y$ .

Em $t = 0$ , $x$ tem o seu valor máximo $A$ e $y$ é igual a zero; a partícula encontra-se no semieixo positivo $x$ . Um instante mais tarde tanto $x$ como $y$ diminuem. Como tal, a partícula passa para o quarto quadrante. Isso indica que a elipse é percorrida no sentido dos ponteiros do relógio.

3. Se $0 < δ < π / 2$ , as coordenadas cartesianas da posição são dadas pela equação (3.14). Usaremos o método dos vetores de rotação para determinar a trajetória. A figura 3.4 mostra os vetores de rotação dos dois movimentos, com módulos $A$ e $B$ , em oito instantes $t_{0}$ , $t_{1}$ ,…, $t_{7}$ .

**Figure 3.4:** Sobreposição de movimentos harmónicos perpendiculares.

No instante inicial, $t_{0}$ , o vetor correspondente à coordenada $x$ encontra-se na sua posição máxima, enquanto que o vetor correspondente à coordenada $y$ já rodou um ângulo $δ$ em relação à sua posição máxima; a partícula encontra-se no ponto $P_{0}$ , de coordenadas $x = A$ e $y = B \cos δ$ .

Em $t_{1}$ , passa pelo ponto $P_{1}$ com coordenadas $x = A \sin δ$ e $y = 0$ , no semieixo positivo $x$ . Assim sucessivamente, até chegarmos ao instante $t_{6}$ em que a partícula atravessa o semieixo positivo $y$ ; nesse instante, $x = 0$ e a coordenada $y$ onde a partícula cruza o semieixo $y$ positivo é $y_{0} = B \sin δ$ . Em $t_{7}$ , a coordenada $y$ da partícula tem o seu valor máximo $y_{máx} = B$ . Comparando as coordenadas $y$ dos pontos $P_{6}$ e $P_{7}$ , temos que $y_{0} / y_{máx} = \sin δ$ . Como tal, o desfasamento entre os dois movimentos harmónicos pode ser determinado a partir da relação entre $y_{0}$ e $y_{máx}$ :

δ = \arcsin (\frac{y_{0}}{y_{máx}})

(3.18)

4. Se $π / 2 < δ < π$ , obtém-se uma trajetória elíptica semelhante à da figura 3.4, mas inclinada de forma que o eixo maior tem declive negativo, e a elipse é percorrida no sentido oposto ao movimento dos ponteiros do relógio. Em função da coordenada $y_{0}$ , onde a partícula atravessa o semieixo $y$ positivo, e o valor máximo da coordenada $y$ , o ângulo de desfasamento é igual a:

δ = π - \arcsin (\frac{y_{0}}{y_{máx}})

(3.19)

Quando as frequências dos dois movimentos harmónicos são diferentes, mas a relação entre elas é um número racional, a trajetória da partícula é uma curva conhecida como figura de Lissajous. O exercício 3.3 mostra uma dessa figuras, no caso em que uma das frequências é o dobro da outra.

3.6. Dinâmica do movimento harmónico simples

A expressão da aceleração correspondente ao movimento harmónico simples (3.5) é a derivada da expressão (3.6) da velocidade, que conduz a:

a (t) = - A ω^{2} \sin (ω t + φ_{0})

(3.20)

Esta é a mesma função $x (t)$ da posição, multiplicada por uma constante:

a = - ω^{2} x

(3.21)

Como a aceleração é a segunda derivada da posição $x$ em ordem ao tempo, esta expressão da aceleração implica a seguinte equação diferencial:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - ω^{2} x

(3.22)

A solução geral desta equação diferencial é a função (3.5), com duas constante $A$ e $φ$ que dependem das condições iniciais, de acordo com as equações (3.8) e (3.9).

Usando a segunda lei de Newton, para produzir a aceleração (3.21) a força resultante sobre o objeto deverá ser:

F = - m ω^{2} x

(3.23)

onde $m$ é a massa do objeto. Este tipo de força é conhecida como força restauradora. A posição $x = 0$ corresponde a um ponto de equilíbrio estável. Como a força resultante é nula nesse ponto, o objeto pode permanecer em repouso nessa posição. Se o objeto se afastar desse ponto, no sentido positivo de $x$ , a força no sentido oposto faz com que regresse à posição $x = 0$ . E se o objeto se afastar no sentido negativo de $x$ , a força será então no sentido positivo fazendo novamente com que o objeto regresse à posição de equilíbrio.

Em qualquer sistema em que a força resultante for da forma (3.23), o movimento será harmónico simples, com frequência angular $ω$ . E qualquer sistema em que existe uma função do tempo que verifica uma equação da forma da equação diferencial (3.22), essa função será uma oscilação harmónica simples com frequência angular $ω$ .

3.7. Molas elásticas

Uma mola elástica, quando tem o seu comprimento normal, não exerce nenhuma força. Quando a mola é comprimida ou distendida, esta exerce uma força diretamente proporcional à distância que foi comprimida ou distendida, e essa força é no sentido que faz a mola recuperar o seu comprimento normal.

A figura 3.5 mostra uma mola que foi pendurada de um suporte fixo. Se definirmos o eixo $y$ na direção vertical, no sentido para cima, e com origem na posição em que o extremo livre da mola está na posição em que a mola tem o seu comprimento normal, a força exercida pela mola é na direção do eixo $y$ e com valor:

F = - k y

(3.24)

onde $y$ é a posição do extremo livre da mola, e $k$ é a constante elástica da mola.

**Figure 3.5:** Massa pendurada de uma mola elástica.

A seguir, penduramos um pequeno cilindro de massa $m$ do extremo livre da mola. Sobre o cilindro atuam duas forcas, o seu peso $m g$ , no sentido negativo do eixo $y$ (para baixo) e a força exercida pela mola:

F (y) = - m g - k y

(3.25)

A posição de equilíbrio, em que o cilindro pode permanecer em repouso, corresponde ao valor $y_{e}$ que faz com que a força (3.25) seja nula:

y_{e} = - \frac{m g}{k}

(3.26)

O sinal negativo indica que a mola está esticada e o seu extremo desceu da posição em que a mola tem o seu comprimento normal. Para que o ponto de equilíbrio esteja na origem da coordenada de posição, introduzimos uma variável $x$ , medida também na vertical e para cima, definida por:

x = y - y_{e} = y + \frac{m g}{k}

(3.27)

e com essa substituição de variável, a força resultante (3.25) fica igual a:

F (x) = - k x

(3.28)

Esta força tem a forma geral da força restauradora (3.23), em que a frequência angular é:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

(3.29)

Se o cilindro for deslocado da sua posição de equilíbrio, $x = 0$ , começará a oscilar com movimento harmónico simples:

x (t) = A \cos (ω t + θ_{0})

(3.30)

3.8. O pêndulo simples

Um pêndulo simples é um pequeno objeto de massa $m$ , pendurado de um fio de comprimento $ℓ$ , que pode oscilar num plano vertical (figura 3.6).

**Figure 3.6:** Pêndulo simples e diagrama de forças.

Desprezando a resistência do ar e a massa do fio, as duas forças que atuam sobre o objeto de massa $m$ são o seu peso e a tensão no fio. O lado direito da figura 3.6 mostra essas duas forças e a direção tangente à trajetória, que é circular e de raio $ℓ$ . A única força na direção tangencial é a componente do peso nessa direção, $m g \sin θ$ , em que $θ$ é o ângulo que o fio do pêndulo faz com a vertical.

No movimento circular, o módulo da velocidade é igual ao raio, $ℓ$ , vezes a velocidade angular $Ω$ , que é a derivada do ângulo $θ$ em ordem ao tempo:

v = ℓ Ω = ℓ \frac{d θ}{d t}

(3.31)

A aceleração tangencial é igual à derivada do módulo da velocidade em ordem ao tempo:

a_{t} = \frac{d v}{d t} = ℓ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

(3.32)

E a segunda lei de Newton implica que a aceleração tangencial também deverá ser igual à força tangencial dividida pela massa:

a_{t} = \frac{F_{t}}{m} = - g \sin θ

(3.33)

onde o sinal negativo é porque se $θ$ for positivo, $\sin θ$ também será positivo e a componente tangencial do peso faz diminuir $θ$ (ver figura 3.6); e se $θ$ for negativo, $\sin θ$ também será negativo e a componente tangencial do peso faz aumentar $θ$ .

Igualando as duas expressões (3.32) e (3.33), obtemos a equação diferencial do pêndulo:

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{g}{ℓ} \sin θ

(3.34)

Se o ângulo $θ$ , em radianos, for suficientemente pequeno, $\sin θ$ será aproximadamente igual a $θ$ ; por exemplo, a diferença entre $\sin θ$ e $θ$ é de 0.5% se $θ = 10^{\circ}$ , de 2% se $θ = 20^{\circ}$ , e de 4.5% se $θ = 30^{\circ}$ . Com essa aproximação, a equação (3.34) pode ser escrita:

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - \frac{g}{ℓ} θ

(3.35)

que é a equação diferencial (3.22) de um oscilador harmónico simples com frequência angular:

ω = \sqrt{\frac{g}{ℓ}}

(3.36)

A solução para o ângulo $θ$ em função do tempo é então a expressão do oscilador harmónico simples:

θ (t) = θ_{máx} \cos (ω t + θ_{0})

(3.37)

O período do pêndulo simples é:

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}}

(3.38)

Como o valor $g$ da aceleração da gravidade é diferente em diferentes locais, usaremos aqui o seu valor padrão, com 4 algarismos significativos:

g = 9.807 \frac{m}{s^{2}}

(3.39)

que é uma boa aproximação ao valor real de $g$ em latitudes próximas de $40^{\circ}$ .

Exercícios resolvidos

3.1. Um ponto luminoso no ecrã de um osciloscópio oscila na vertical, com movimento harmónico simples de frequência 1.5 Hz. O comprimento do segmento vertical que o ponto descreve é 10 cm. Determine: (a) a sua frequência angular, (b) o seu período e (c) a sua velocidade máxima.

Resolução. (a) A frequência angular é igual a $2 π$ vezes a frequência:

ω = 2 π \times 1.5 = 3 π r a d / s \approx 9.425 r a d / s

(b) O período é o inverso da frequência:

T = \frac{1}{1.5} = 0.667 s

v_{máx} = 5 \times 9.425 = 47.1 c m / s

3.2. Quando um cilindro de 50 g é pendurado duma mola elástica, tal como na figura 3.5, a mola alonga-se 16 cm. (a) Determine a constante elástica da mola. (b) Calcule o período de oscilação do sistema. (c) Se o cilindro é deslocado 5 cm por baixo da posição de equilíbrio e a seguir deixa-se oscilar livremente, determine a velocidade máxima no seu movimento oscilatório.

Resolução. (a) Na posição de equilíbrio, o peso do cilindro, $m g = 0.050 \times 9.807$ N, é igual à força elástica da mola, $k Δ y$ , onde $Δ y = 0.16$ m é o alongamento da mola. Como tal, a constante elástica é:

k = \frac{m g}{Δ y} = \frac{0.050 \times 9.807}{0.16} = 3.0647 N / m

(b) O período de oscilação é:

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 π \sqrt{\frac{0.050}{3.0647}} = 0.803 s

y = 0.05 \cos (3.0647 t)

e a expressão da velocidade é a derivada em ordem a $t$ :

v = - 0.15324 \sin (3.0647 t)

a velocidade máxima é 15.3 cm/s.

3.3. Trace a figura de Lissajous correspondente aos movimentos harmónicos:

x = 10 \cos (5 π t) y = 10 \cos (10 π t + \frac{π}{3})

Resolução. Os períodos dos dois movimentos harmónicos são:

T_{x} = \frac{2 π}{5 π} = 0.4 T_{y} = \frac{2 π}{10 π} = 0.2

O período da trajetória é então 0.4 s. A seguinte tabela mostra os valores calculados de $x$ e $y$ para $t$ entre 0 e $0.4$ , com intervalos de $0.04$ :

$t$	$x$	$y$
$0$	$10$	$5$
$0.04$	$8.09$	$- 6.69$
$0.08$	$3.09$	$- 9.14$
$0.12$	$- 3.09$	$1.05$
$0.16$	$- 8.09$	$9.78$
$0.20$	$- 10.0$	$5.0$
$0.24$	$- 8.09$	$- 6.69$
$0.28$	$- 3.09$	$- 9.14$
$0.32$	$3.09$	$1.05$
$0.36$	$8.09$	$9.78$
$0.40$	$10.0$	$5.0$

Com essas coordenadas $x$ e $y$ , e tendo em conta que os valores mínimos de $x$ e $y$ devem ser $- 10$ e os valores máximos 10, obtém-se o seguinte gráfico:

3.4. Uma partícula move-se de tal forma que as suas coordenadas como funções do tempo são dadas por $x = v_{0} t$ e $y = y_{0} \sin ω t$ . (a) Represente graficamente a trajetória da partícula. (b) Que força é necessária para produzir este movimento? (c) Calcule os valores da velocidade e da aceleração como funções do tempo.

Resolução. (a) A trajetória da partícula é o gráfico de $y$ em função de $x$ . Substituindo $t = x / v_{0}$ na expressão de $y$ obtemos:

y = y_{0} \sin (\frac{ω x}{v_{0}})

O gráfico seguinte mostra essa trajetória, entre $x = 0$ e $x = 3 π r$ , onde $r = v_{0} / ω$ .

(b) As componentes da velocidade, derivadas das coordenadas $x$ e $y$ em ordem ao tempo, são:

v_{x} = v_{0} v_{y} = y_{0} ω \cos ω t

e as componentes da aceleração, derivadas das componentes da velocidade em ordem ao tempo, são:

a_{x} = 0 a_{y} = - y_{0} ω^{2} \sin ω t = - ω^{2} y

A força tem unicamente componente $y$ , igual à massa $m$ vezes a componente $y$ da aceleração. A expressão vetorial da força é então:

\vec{F} = - m ω^{2} y \hat{ȷ}

(c) O valor da velocidade é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes da velocidade. Usando as expressões obtidas na alínea anterior,

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{o}^{2} + y_{0}^{2} ω^{2} \cos^{2} ω t}

Como a aceleração tem apenas componente $y$ , o seu valor é igual à componente $a_{y}$ encontrada na alínea anterior:

a = - y_{0} ω^{2} \sin ω t

3.5. Um pêndulo simples com 30 cm de comprimento é afastado 5 cm da sua posição vertical, deixando que comece a oscilar livremente. Determine: (a) O período de oscilação. (b) A expressão do ângulo que o pêndulo faz com a vertical, em função do tempo. (c) A expressão da velocidade angular do pêndulo em função do tempo.

Resolução. (a) Usando a expressão (3.38), o período é:

T = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}} = 2 π \sqrt{\frac{0.3}{9.807}} = 1.10 s

(b) O ângulo que o pêndulo foi afastado da vertical foi:

θ_{0} = \arcsin (\frac{5}{30}) = 0.1674 rad

que é aproximadamente ${9.6}^{\circ}$ . A frequência angular é,

ω = \sqrt{\frac{g}{ℓ}} = \sqrt{\frac{9.807}{0.3}} = 5.718

em rad/s se o tempo estiver em segundos. Como o pêndulo parte do repouso, a expressão do ângulo com a vertical é (unidades SI):

θ = θ_{0} \cos ω t = 0.1674 \cos (5.718 t)

ω = \frac{d θ}{d t} = - 0.957 \sin (5.718 t)

3.6. Uma plataforma de 4000 kg vai ser usada para determinar o peso de camiões. A plataforma será colocada sobre três molas idênticas de constante elástica $k$ . Admita que o peso do camião distribui-se por igual nas três molas. (a) Determine o valor máximo que poderá ter $k$ , para que a frequência de oscilação da plataforma, quando não houver nenhum camião por cima, não ultrapasse 3 oscilações por segundo. (b) Se as molas tiverem a constante elástica calculada na alínea anterior, determine a frequência de oscilação da plataforma, quando sobre ela estiver um camião de 12000 kg. (c) Que distância desce a plataforma quando o camião entra nela?

Resolução. (a) Cada mola é um oscilador harmónico com massa igual à massa total (4000 kg) dividida por 3. Substituindo os valores da frequência e massa na expressão da frequência do oscilador harmónico obtemos:

3 = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{4000 / 3}} ⟹ k = 473.74 k N / m

(b) a frequência é:

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{473.74 \times 10^{3}}{16000 / 3}} = 1.50 H z

Δ y = \frac{(4000 / 3) \times 9.807}{473.74 \times 10^{3}} = 2.76 c m

Quando o camião estiver sobre a plataforma, o alongamento de cada mola é:

Δ y = \frac{(16000 / 3) \times 9.807}{473.74 \times 10^{3}} = 11.04 c m

A distância que a plataforma desce é a diferença desses dois alongamentos, igual a 8.28 cm.

3.7. Um cilindro com base circular de área $A$ , altura $h$ e massa $m$ flutua num líquido com densidade $ρ$ , ficando com uma parte de altura $y$ fora do líquido, como mostra a figura. (a) Determine o valor de $y$ quando o cilindro estiver em equilíbrio. (b) Se o cilindro for empurrado ligeiramente para baixo, diminuindo a altura $y$ fora do líquido, mostre que começará a oscilar em torno da posição de equilíbrio e determine o período de oscilação (ignore a resistência do líquido ao movimento e as correntes que possam ser criadas dentro do líquido).

Resolução. (a) No cilindro atuam duas forças verticais: o peso $m g$ , para baixo, e a impulsão $I$ , para cima. Se o eixo $y$ for vertical e para cima, a força resultante é na direção $y$ e com valor:

F = I - m g

Pelo princípio de Arquimedes, a impulsão $I$ é igual ao peso do volume de fluído deslocado. E esse peso é $g$ vezes a massa de fluído deslocado, que é o volume da parte submersa do cilindro, $A (h - y)$ , vezes a densidade do fluído. Assim, a força resultante em função de $y$ é:

F (y) = A ρ g (h - y) - m g

A posição de equilíbrio do cilindro será:

y_{e} = h - \frac{m}{A ρ}

A massa $m$ do cilindro é igual ao produto da sua densidade $ρ_{c}$ , e do seu volume, $A h$ . Como tal, a posição de equilíbrio pode ser escrita como:

y_{e} = (1 - \frac{ρ_{c}}{ρ}) h

esta resposta é válida unicamente se o cilindro for menos denso do que o fluido ( $ρ_{c} < ρ$ ). Se o cilindro fosse mais denso do que o fluido, a impulsão não seria suficiente para equilibrar o peso, e em vez de ficar em equilíbrio na superfície, o cilindro descia até o fundo do fluido.

(b) Introduzindo a mudança de variável:

x = y - y_{e} ⟹ y = x + h - \frac{m}{A ρ}

a força resultante em função de $x$ é:

F (x) = - A ρ g x

que tem a forma da força restauradora (3.23), com frequência angular:

ω = \sqrt{\frac{A ρ g}{m}}

A posição $x (t)$ tem então a forma da expressão (3.5):

x (t) = x_{máx} \sin (ω t + φ_{0})

A altura do cilindro fora do líquido é:

y (t) = x (t) + y_{e} = y_{e} + x_{máx} \sin (ω t + φ_{0})

que corresponde a uma oscilação com frequência angular $ω$ . O período de oscilação é:

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{A ρ g}}

3. Oscilações

3.1. Funções oscilatórias

3.2. Oscilações harmónicas

3.3. Movimento harmónico simples