3. Movimento curvilíneo

3.1. Versor tangencial

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial , na direção tangente à trajetória e no sentido em que a posição aumenta. A figura 3.1 mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. Um deles é tangente à curva entre B e P e o outro é tangente à curva entre P e Q. O vetor velocidade de um corpo que segue essa trajetória será sempre na mesma direção do versor tangencial (o sentido pode ser o mesmo ou oposto). Nos pontos como P, onde existem dois vetores tangenciais, a velocidade é necessariamente nula; o corpo fica momentaneamente em repouso nesse ponto, começando logo a deslocar-se em outra direção diferente à que seguia antes de parar.

Nos pontos onde a velocidade não é nula, existe sempre um único versor tangencial , que define a direção do vetor velocidade. Ou seja, a velocidade vetorial pode ser escrita,

Conforme referido no capítulo 2, a velocidade vetorial é igual à derivada do vetor posição

O vetor posição não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura 3.2). No entanto, o vetor deslocamento sim é independente da escolha da origem e, assim sendo, a equação 3.2 garante que o vetor velocidade é independente da escolha da origem do referencial.

Se for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo (figura 3.2), a distância percorrida durante esse intervalo, , é sempre maior ou igual que o módulo de . A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de só é igual a quando a trajetória é reta, com versor tangencial constante. No limite quando for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e, assim sendo, a direção de será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de será aproximadamente igual a ; isto é, o vetor deslocamento é aproximadamente igual a . A derivada do vetor posição é então,

E, substituindo na equação 3.2, obtém-se,

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da posição na trajetória, , em ordem ao tempo. Este resultado explica porquê no capítulo 1 denominou-se "velocidade" à derivada , já que não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.

3.2. Versor normal

A aceleração vetorial é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, derivando o lado direito da equação 3.4 obtém-se a expressão da aceleração em relação ao versor tangencial:

Figura 3.3: Variação do versor
tangencial.

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura 3.3 mostra como calcular a derivada de . Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da figura 3.1 para um ponto comum, o aumento de no intervalo desde A até B é o vetor que une os dois vetores.

Sendo o módulo de igual a 1, os dois versores na figura 3.3 descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo . Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a . Se o intervalo de tempo for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo ; conclui-se que a derivada de é,

em que é o versor normal, perpendicular à trajetória, e é a velocidade angular. Substituindo essa derivada na equação 3.5, obtém-se a expressão para a aceleração:

Concluindo, a aceleração é um vetor com componentes tangente e normal (perpendicular) à trajetória. A componente na direção tangente, , é a aceleração tangencial já introduzida no capítulo 1. A componente normal da aceleração é igual ao produto do valor da velocidade pelo valor da velocidade angular ,

Tendo em conta que os versores e são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação 3.7 implica que o módulo da aceleração, , é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

O ângulo de rotação do versor tangencial, , é também igual ao ângulo de rotação do versor normal . A figura 3.4 mostra os versores normais nos mesmos pontos da trajetória mostrados na figura 3.1. Observe-se que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, chama-se ponto de inflexão.

No ponto P da figura 3.4 existem duas direções normais, porque, como foi discutido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial .

Figura 3.5: Raio de curvatura.

A figura 3.5 mostra o versor normal no ponto inicial A (no instante ) e o ponto final B (no instante ) durante um intervalo de tempo . Se é muito pequeno, as direções dos dois versores cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ( e ), mas serão iguais no limite , em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva. A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, , da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existem um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio e ângulo ; a distância percorrida é o comprimento desse arco, . Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é,

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular é igual ao valor da velocidade, , dividida pelo raio de curvatura nesse ponto. Usando este resultado, a componente normal da aceleração, , pode ser escrita do modo seguinte

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, , também costuma chamar-se aceleração centrípeta.

Observe-se que a aceleração tangencial, , pode ser positiva ou negativa, mas a aceleração normal, ou centrípeta, é sempre positiva, porque o produto é sempre positivo ( e ambos aumentam, se o movimento é no sentido do versor tangencial, ou ambos diminuem se o movimento é no sentido oposto).

Resolução: Para determinar a expressão do raio de curvatura é necessário saber as expressões do valor da velocidade e da componente normal da aceleração, em função do tempo. Essas expressões podem ser obtidas a partir da velocidade e da aceleração. Usando o Maxima calculam-se esses vetores do modo seguinte

Designando por v e a, os módulos desses vetores, iguais à raiz quadrada do produto escalar de cada vetor com si próprio (o produto escalar no Maxima obtém-se colocando um ponto entre os vetores) obtém-se:

Observe-se que o valor da aceleração é constante, o que implica uma trajetória parabólica ou linear. Para calcular a componente normal da aceleração, calcula-se primeiro a componente tangencial da aceleração, ,

e, usando a equação 3.9, obtém-se a componente normal da aceleração:

As componentes tangencial e normal da aceleração dependem do tempo, embora o valor da aceleração seja constante; isso já aponta para o facto de que a curvatura da trajetória não será constante e, como tal, a trajetória será parabólica. Usando a equação 3.11 determina-se a expressão do raio de curvatura:

Nos instantes e os raios de curvatura são,

3.3. Movimento circular

No caso em que o raio de curvatura é constante e o centro de curvatura permanece fixo, a trajetória é uma circunferência e o movimento é circular, como no caso ilustrado na figura 3.6. Para determinar a posição em cada instante, basta um único grau de liberdade, que pode ser a posição na circunferência, , ou o ângulo .

A relação entre o ângulo e a posição na trajetória, se a origem usada para medir as duas e o sentido positivo são os mesmos (ver figura 3.6), é

Sendo constante, derivando os dois lados da equação anterior obtém-se,

em que é a velocidade angular. A equação 3.13 é a mesma equação 3.10, que aqui foi obtida no caso particular do movimento circular, em que é constante, mas trata-se de uma equação geral, válida em qualquer movimento. Derivando os dois lados da equação 3.13 em ordem ao tempo obtém-se,

onde é a aceleração angular. A aceleração centrípeta é dada pela equação 3.11, que pode ser escrita também em função do valor da velocidade angular,

No caso particular em que a velocidade angular é constante, a velocidade linear também será constante, as acelerações angular e tangencial serão nulas e o movimento chama-se movimento circular uniforme. Nesse caso, como a velocidade angular é constante, a derivada pode calcular-se dividindo o ângulo num intervalo de tempo qualquer, pelo valor desse intervalo de tempo:

Num intervalo de tempo igual ao período, , do movimento circular uniforme, o ângulo corresponde a uma volta completa, , e a equação anterior conduz a uma expressão para o período,

A frequência de rotação, , igual ao inverso do período, é o número do voltas que o ponto dá por unidade de tempo.

A relação entre o ângulo de rotação e os valores da velocidade angular e da aceleração angular , é análoga à relação entre a posição na trajetória, , o valor da velocidade, , e a aceleração tangencial, ,

Estas são as equações cinemáticas para o movimento de rotação, que podem ser resolvidas usando os mesmos métodos usados no capítulo 1. As equações 3.12, 3.13 e 3.14 mostram que as variáveis cinemáticas de translação ( , , ) são todas iguais ao produto da respetiva variável cinemática de rotação, ( , , ), pelo raio de curvatura .

3.4. Rotação dos corpos rígidos

O corpo rígido na figura 3.7 está em movimento. Dois pontos a e b, nas posições e , têm velocidades e no mesmo instante . Se o movimento do corpo fosse de translação sem rotação, as velocidades de todos os pontos deviam ser todas iguais, a cada instante, e, como tal, as trajetórias de todos os pontos no corpo seria a mesma curva. Como vimos no capítulo 1, nesse caso bastava estudar o movimento de um ponto qualquer no corpo.

Como as velocidades dos pontos a e b na figura 3.7, são diferentes, conclui-se que o movimento não é de translação. A posição do ponto b relativa ao ponto a, é , que não permanece constante, já que os pontos a e b estão a deslocar-se em diferentes direções e com rapidez diferente. No entanto, o módulo dessa posição relativa,

deverá permanecer constante, porque o corpo é rígido. Como tal, a sua derivada em ordem ao tempo deverá ser nula:

onde, é a velocidade do ponto b, relativa ao ponto a, igual à derivada de em ordem ao tempo. A equação anterior implica:

Esse resultado é geral para quaisquer dois pontos a e b no corpo rígido, permitindo concluir que:

Visto desde um ponto a, o ponto b permanecerá sempre à mesma distância, , deslocando-se na superfície da esfera de raio , com centro em a (figura 3.8). Todos os outros pontos no corpo rígido deslocam-se em esferas com centro em a, e com diferentes raios.

A cada instante , a velocidade de b relativa ao ponto a é tangente a uma circunferência na superfície da esfera de raio ; essa circunferência poderá ter raio igual a ou menor (figura 3.9). Outro ponto c, que esteja à mesma distância de a, , deverá ter velocidade tangente a outra circunferência paralela à circunferência de b. Se assim não fosse, a distância entre b e c estaria a variar, que não é possível porque o corpo é rígido. E o sentido do movimento dos dois pontos b e c, nessas circunferências, deverá ser o mesmo (sentido de rotação indicado na figura 3.9).

Como os planos em que se deslocam os pontos b e c, em relação ao ponto a, são paralelos, as duas circunferências na esfera podem ser projetadas num mesmo plano, chamado plano de rotação, com centro no ponto a, como mostra a figura 3.10. Todos os outros pontos à mesma distância terão velocidades tangentes a circunferências com centro em a e raio menor ou igual que o raio da esfera, . Em particular, existirão dois pontos e , na interseção da esfera com a reta perpendicular ao plano de rotação passando pelo centro a, que estão em repouso em relação ao ponto a ( ). Como tal, a velocidade dos pontos no eixo de rotação é a mesma:

A reta que passa por a e z é o eixo de rotação do corpo rígido. Qualquer outro ponto no corpo rígido, que não esteja no eixo de rotação, terá velocidade relativa tangente a alguma circunferência com centro em a, no plano de rotação. O ângulo , que se deslocam todos esses pontos, durante um intervalo , deverá ser exatamente o mesmo, para garantir que a distância entre todos eles permanece constante. A velocidade angular do corpo rígido é:

Como tal, o valor da velocidade relativa de b, ou de qualquer outro ponto, é igual à sua distância até o eixo de rotação, vezes a velocidade angular do corpo:

onde é a distância desde o ponto b até o eixo de rotação que passa pelo ponto a.

O movimento do corpo rígido é então a sobreposição do movimento dum ponto qualquer nele (no nosso caso a), mais rotação em torno de um eixo que passa por esse ponto. Se em vez do ponto a fosse escolhido outro ponto d, o eixo de rotação teria exatamente a mesma direção, mas passaria por d. A velocidade angular seria exatamente a mesma do que em relação ao ponto a, e o movimento do corpo seria a sobreposição do movimento do ponto d, mais rotação em torno do eixo de rotação que passa por d. Em diferentes instantes a direção do eixo de rotação, e a velocidade angular, podem ser diferentes, mas a cada instante o eixo e a velocidade angular são os mesmos, independentemente do ponto usado como referência. Resumindo,

Exemplo 3.2

A figura mostra um mecanismo biela-manivela, usado para transformar movimento circular em movimento retilíneo ou vice-versa. A manivela é a barra OQ, que roda à volta de um eixo fixo no ponto O, e a biela é a barra PQ, que liga a manivela a um pistão que só pode deslocar-se na horizontal. No instante em que a manivela faz um ângulo de 40° com a horizontal, na posição que mostra a figura, a velocidade do ponto P é 60 cm/s, para a esquerda. Determine as velocidades angulares da biela e da manivela, nesse instante, sabendo que é igual a 7.5 cm e é igual a 20 cm.

Resolução. Como o ponto O está fixo, a velocidade do ponto Q é a mesma velocidade de Q relativa a O, que deve ser perpendicular à barra OQ, porque os dois pontos fazem parte da manivela, que é um corpo rígido. Como tal, a velocidade do ponto Q faz um ângulo de 40° com a vertical, como mostra a figura seguinte:

Como o ponto Q também faz parte da biela PQ, a velocidade , do ponto Q, relativa ao ponto P, deverá ser perpendicular ao segmento . O ângulo que faz com a vertical é o mesmo ângulo que o segmento faz com a horizontal. Esse ângulo pode ser determinado usando a lei dos senos no triângulo OPQ:

Como tal, . Os valores das velocidades do ponto Q, relativas aos pontos O e Q, serão iguais às velocidades angulares das barras, vezes os seus comprimentos (usaremos distâncias em cm e velocidades em cm/s):

onde é a velocidade angular da manivela e é a velocidade angular da biela. Observe-se que na figura acima, estamos a admitir que é no sentido oposto aos ponteiros do relógio e é no sentido dos ponteiros do relógio.

Em coordenadas cartesianas, com eixo dos horizontal, de esquerda para direita, e eixo dos vertical, de baixo para cima, as componentes da velocidade do ponto Q são:

Mas a velocidade do ponto Q pode também ser calculada somando a velocidade do ponto P, , mais a velocidade de Q relativa a P:

Igualando as componentes das duas expressões 3.24 e 3.25, encontram-se as velocidades angulares:

Observe-se que as duas velocidades angulares obtidas resolvendo as equações têm sinais positivos, o que indica que os sentidos que admitimos na figura estão corretos. Podiamos ter admitido sentidos opostos, mudando na figura o sentido das velocidades de Q relativas a O e P, e o resultado teria dado valores negativos para as velocidades angulares, indicando que os sentidos não eram os corretos.

3.5. Vetores velocidade angular e aceleração angular

É conveniente definir a velocidade angular como um vetor , na direção do eixo de rotação, tal como se mostra na figura 3.11. O vetor tem módulo igual ao valor absoluto da velocidade angular, , direção paralela ao eixo de rotação e sentido segundo a regra da mão direita para a rotação, ou seja, imaginando um sistema de eixos cartesianos em que o eixo dos aponta na direção e sentido de , o corpo rígido roda de forma a que o eixo dos se aproxime do eixo dos . Também pode fechar-se o punho direito e estender o dedo polegar apontando no sentido de e o sentido de rotação é o sentido em que se curvam os outros 4 dedos.

A vantagem de usar um vetor é que contem a informação da velocidade angular , direção do eixo de rotação e sentido da rotação. A equação 3.23 pode ser escrita de forma vetorial. Se for a posição relativa de um ponto qualquer no corpo, em relação ao ponto de referência, a distância desde o ponto até o eixo de rotação que passa pelo ponto de referência, é igual a , onde é o ângulo entre os vetores e tal como mostra a figura 3.11. O módulo da velocidade relativa do ponto é então:

O vetor velocidade relativa, , do ponto na posição relativa é perpendicular aos dois vetores e e o seu módulo é igual ao produto dos módulos desses dois vetores, vezes o seno do ângulo entre eles. Essa é precisamente a definição do produto vetorial entre os vetores e , que vamos denotar com o operador . A velocidade é então o produto da vetorial da velocidade angular vezes o vetor posição:

Observe-se que, por definição, o produto na equação 3.27 é um vetor no sentido da regra da mão direita, desde o primeiro vector, , até o segundo, .

O movimento circular dum ponto, em relação ao ponto de referência, com raio e velocidade angular , implica aceleração tangencial e aceleração centrípeta . Mas a o vetor aceleração relativa pode também ser obtido derivando o vetor velocidade relativa (equação 3.27):

A derivada do vetor velocidade angular é outro vetor , chamado aceleração angular, e a derivada do vetor posição relativa é o vetor velocidade relativa, dado pela equação 3.27. A expressão vetorial da aceleração relativa é:

O primeiro termo é a aceleração tangencial e o segundo termo a aceleração normal ou centrípeta.

3.5.2. Rotação plana

Quando a direção do eixo de rotação permanece sempre igual, diz-se que a rotação do corpo rígido é plana. Nesse caso o plano de rotação é sempre o mesmo e pode ser definido como o plano . Como tal, o vetor velocidade angular é:

(3.32)

em que pode depender do tempo, e a sua derivada é . O vetor aceleração angular estará também na mesma direção do eixo de rotação:

(3.33)

O vetor posição relativa de um ponto qualquer no corpo é . Os produtos vetoriais nas equações 3.27 e 3.29, em coordenadas cartesianas (equação 3.31), conduzem às seguintes expressões para a velocidade relativa e as componentes tangencial e normal da aceleração relativa:

(3.34)

(3.35)

Como tal, a coordenada do ponto não interessa. Basta apenas saber a posição da sua projeção no plano (plano de rotação):

(3.36)

e o módulo desse vetor, , é a distância desde o ponto até o eixo de rotação.

Exemplo 3.3

Cola-se um extremo de um fio numa roldana com raio de 5 cm, enrolando-o e pendurando um bloco do outro extremo (ver figura). No instante inicial o bloco e a roldana estão em repouso e o ponto P da roldana encontra-se à mesma altura do seu centro C. O bloco começa a descer, com aceleração constante de valor igual a /4. Determine a velocidade e a aceleração do ponto P, dois segundos após o instante inicial.

Resolução. O eixo de rotação da roldana é perpendicular ao plano da figura, e permanece fixo. Como tal, a rotação da roldana é uma rotação plana e o plano de rotação é o plano da figura, que designaremos de plano .

O ponto de referencia pode ser qualquer ponto na roldana, mas como os pontos no eixo da roldana estão em repouso, neste caso é conveniente escolher como ponto de referência o ponto C no centro da roldana. Em função dos eixos definidos na figura ao lado, a posição do ponto P, após a roldana ter rodado um ângulo desde a posição inicial, é:

(3.37)

Para calcular a velocidade do ponto P, é necessária também a velocidade angular, que pode ser obtida a partir do valor da velocidade do bloco. Para encontrar uma expressão para o valor da velocidade do bloco, integra-se a equação

Como todos os pontos do fio têm esse mesmo valor da velocidade e os pontos da superfície acompanham o movimento do fio, esse será também o valor da velocidade dos pontos na superfície da roldana e o valor da velocidade angular da roldana será . A rotação é no sentido anti-horário (velocidade angular positiva), com velocidade angular:

A velocidade do ponto P obtém-se a partir da equação 3.34 para rotação plana (ou simplesmente derivando a expressão 3.37, tendo em conta que a derivada de é ):

Observe-se que a equação 3.34 dá a velocidade relativa do ponto, mas neste caso, em que o ponto de referência está em repouso, a velocidade relativa é a mesma velocidade absoluta.

A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em ordem ao tempo,

e as componentes da aceleração do ponto P obtêm-se a partir da equação 3.35 (ou derivando a expressão da velocidade do ponto P):

 

Para encontrar a expressão para em função do tempo, integra-se a equação , com e

substituindo os valores de , e , em unidades SI, obtêm-se a velocidade e a aceleração nesse instante,

 

3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes

Numa roda em movimento sobre uma superfície, sem derrapar, o ângulo de rotação e o deslocamento da roda estão relacionados. Na figura 3.12, uma roda de raio desloca-se para a direita, sobre uma superfície, sem derrapar.

Num instante inicial um ponto P da roda está em contacto com a superfície; após alguns instantes, a roda rodou um ângulo e o centro da roda percorreu uma distância . O arco de circunferência deverá ser igual à distância percorrida , já que todos os pontos nesse arco estiveram em contacto com pontos da superfície.

derivando os dois lados da equação, obtém-se a relação entre a velocidade do centro C e a velocidade angular,

e derivando novamente, observa-se que a aceleração de tangencial de C é igual ao produto do raio pela aceleração angular:

No caso das roldanas, se a roldana roda sem o fio derrapar sobre a sua superfície, os pontos na superfície da roldana terão a mesma velocidade do fio e subtraindo a velocidade do centro da roldana obtém-se a velocidade do ponto na superfície da roldana, relativa à roldana; o valor dessa velocidade relativa, dividido pelo raio da roldana, deverá ser igual à velocidade angular da roldana.

Exemplo 3.4

A roldana fixa no sistema da figura tem raio de 3 cm e a roldana móvel tem raio de 5 cm. Calcule o valor da velocidade do carrinho e das velocidades angulares das roldanas, no instante em que o cilindro desce com velocidade de valor 1.5 m/s, admitindo que o fio não derrapa nas roldanas.

Resolução. Este sistema já foi estudado na secção 2.5 onde mostrou-se que o valor da velocidade do carrinho é o dobro da velocidade do cilindro. Assim sendo, o valor da velocidade do carrinho é 3 m/s.

Na roldana fixa, o valor da velocidade dos pontos na superfície será o mesmo que no carrinho, 3 m/s e, como tal, o valor da velocidade angular da roldana fixa é,

O centro da roldana móvel também desce a 1.5 m/s. No ponto da sua superfície, no lado direito, o fio está estático e, assim sendo, esse ponto desloca-se para cima, em relação ao centro, com velocidade de valor 1.5 m/s. O ponto na superfície da roldana, no lado esquerdo, desloca-se para baixo, com a velocidade do carrinho, 3 m/s, de modo que em relação ao centro da roldana desloca-se para baixo, com velocidade de valor 1.5 m/s. O valor da velocidade angular da roldana móvel é,

A parte do fio no lado direito da roldana móvel, que permanece estático, pode ser considerado como uma superfície vertical em que a roldana roda como uma roda sobre uma superfície. O valor da velocidade do centro da roda, que é igual ao valor da velocidade do cilindro, é igual ao produto do valor da velocidade angular da roda pelo raio da roda. O valor da velocidade do ponto mais à esquerda na roda, que é o valor da velocidade do carrinho, é o produto do valor da velocidade angular da roda pelo diâmetro da roda. Essa é outra forma de explicar porque o valor da velocidade do carrinho é o dobro do valor da velocidade do cilindro, porque o diâmetro da roda é o dobro do seu raio.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

1. No intervalo de tempo , o valor da velocidade de um objeto em função do tempo verifica a expressão . Se a trajetória do objeto for uma reta, qual das cinco funções na lista poderá ser a expressão correta para o valor da aceleração?
2. Um objeto com movimento circular tem aceleração angular com valor constante  radiano/s². Se o objeto parte do repouso, quanto tempo, em segundos, demorará a completar as primeiras 3 voltas?
3. Um ponto num objeto descreve numa trajetória curva, com velocidade de valor constante. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
   1. A aceleração é perpendicular à trajetória.
   2. O valor da aceleração é constante.
   3. A aceleração é tangente à trajetória.
   4. A aceleração é constante.
   5. A aceleração é nula.
4. Um projétil é lançado com velocidade inicial com valor e direção inclinada que faz um ângulo com o plano horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória parabólica no instante inicial.
5. O movimento circular de uma roda de raio é transmitido para outra roda de raio , através de uma correia que se desloca com as rodas, sem derrapar. Qual é a relação entre os valores das velocidades angulares e de ambas rodas?
   

Problemas

1. No intervalo de tempo , os valores da velocidade e da aceleração de uma partícula com movimento em 3 dimensões são dadas pelas funções: e (unidades SI). Encontre, no mesmo intervalo de tempo, as expressões para:
   (a) A componente tangencial da aceleração.
   (b) A componente normal da aceleração.
   (c) O raio de curvatura.
2. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.
3. A equação da trajetória de um objeto é: (unidades SI e ângulos em radianos).
   (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme.
   (b) Determine o valor da velocidade angular do objeto e o seu período.
   (c) Encontre a posição do centro da trajetória circular.
4. Um piloto de corridas de aviões executa um loop vertical, igual a meia circunferência de raio 1200 m. O valor da velocidade no ponto A, no início do loop, é 160 m/s e no ponto C, no fim do loop, é 140 m/s. Calcule o valor da aceleração no ponto B, no meio do loop, admitindo que a aceleração tangencial permanece constante durante o loop (observe que também é negativa).
5. Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de , onde é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.
6. (a) Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C, com coordenadas cartesianas A = (3, 5, 4), B = ( ,2,1) e C = (2, ,2).
   (b) Demonstre a Lei dos senos, para um triângulo com lados de comprimentos , e ,
   
   em que , e são os ângulos opostos aos lados , e .
7. Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:
   (a) O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF.
   (b) O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso.
8. A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.
9. Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos . No instante o centro da roda encontra-se em e  cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em com e  cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.
   
   
10. Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar.
    (a) Determine o valor da velocidade angular da roda.
    (b) Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
    (c) Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo.
    
    
11. Na máquina representada na figura, todas as roldanas têm raio igual a 5 cm. Determine os valores das velocidades angulares das quatro roldanas, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor constante 2 m/s.
12. A figura mostra o mecanismo biela-manivela analisado no exemplo 3.2 (as distâncias estão em cm). Observe que há três variáveis que mudam em função do tempo: , e ; e as suas derivadas são a velocidade do pistão e as velocidades angulares da manivela e da biela: , e . Mas basta uma dessas 3 variáveis para encontrar as outras duas. Outra forma diferente de resolver o mesmo problema é a seguinte:
    (a) Encontre uma expressão para que dependa apenas do ângulo . Derive essa expressão para obter a velocidade angular da manivela, em função da velocidade do pistão e do ângulo .
    (b) Encontre a relação entre os senos dos ângulos e . Derive essa relação e substitua o cosseno de em termos do ângulo , encontrando assim uma expressão para a velocidade angular da biela, em função da velocidade angular da manivela e do ângulo .
    (c) Substitua os valores do exemplo 3.2, e  cm/s, nos resultados das duas alíneas anteriores, para conferir os resultados obtidos no exemplo.

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. B. 3. A. 4. E. 5. A.

Problemas

1. (a)     (b)     (c)
2. Com raio igual a 16 m, o valor da aceleração é aproximadamente 14 m/s²
3. (a) O cálculo do módulo do vetor velocidade dá um valor constante e as componentes obtidas para a aceleração são e . Assim sendo, o movimento é uniforme, porque o valor da velocidade permanece constante e circular, porque o movimento é num plano e o raio de curvatura, , é constante. (b)  rad/s, (segundos). (c) coordenadas (4, 0).
4. 18.85 m/s²
5. 11.74 s para o carro A e 11.33 s para o carro B.
6. (a) 14.79 (b) Os três produtos ( ), ( ) e ( ) são todos iguais ao dobro da área do triângulo; igualando cada par de produtos demonstra-se cada uma das igualdades.
7. (a) 83.33 m/s² em AB, 111.11 m/s² em EF, 166.67 m/s² em BC e 222.22 m/s² em DE. (b) 0.395 s e 7.34 m/s.
8. Para a esquerda, com  m/s e .
9. (a) 1.26 s (b)
   
10. (a) 1.25 s⁻¹, no sentido dos ponteiros do relógio. (b) Para a direita com velocidade de valor 7.5 cm/s. (c) 5 cm (a corda enrola-se no cilindro, porque este roda no sentido dos ponteiros do relógio).
11. De esquerda para direita, 5 s⁻¹, 10 s⁻¹, 20 s⁻¹ e 40 s⁻¹.
12. (a)
    
    (b)