2. Instrumentos óticos

2.1. Espelhos curvos

O lado esquerdo da figura 2.1 mostra um espelho parabólico e cinco raios luminosos entrando nele, paralelos ao eixo do paraboloide. Vamos representar apenas o corte transversal do espelho com um plano que passa pelo eixo, como no lado direito da figura. Tal como será demonstrado no exercício 2.1, os raios de luz paralelos ao eixo do espelho parabólico são refletidos passando todos pelo foco F da parábola.

No caso do espelho elíptico do lado esquerdo da figura 2.2, com dois focos F e F${}^{\prime }$, os raios de luz que saem de um dos focos são refletidos passando todos pelo outro foco. Neste caso, todos os raios luminosos entre F${}^{\prime }$ e F percorrem o mesmo percurso ótico, já que a soma das distâncias de qualquer ponto na elipse até os dois focos é constante.

   

Num espelho hiperbólico, qualquer raio de luz que tenha a direção do foco F${}^{\prime }$ no outro lado do espelho, é refletido passando pelo foco F do espelho (lado direito da figura 2.2).

2.2. Espelhos esféricos

É mais fácil construir espelhos esféricos, como o da figura 2.3, do que espelhos parabólicos. Um espelho esférico é uma calota esférica, descrita metaforicamente como a tampa de uma laranja. Se a superfície do espelho for muito menor do que a superfície total da esfera, o espelho esférico funcionará como se fosse parabólico, em que os raios de luz paralelos ao eixo convergem no seu foco. A imagem no espelho da figura 2.3 é virtual, mas como veremos, os espelhos pode também produzir imagens reais.

Numa parábola como a da figura 2.4, a distância focal $f$ é a distância desde o foco F até o vértice O. Como será demonstrado no exercício 2.1, perto do vértice a parábola pode ser aproximada por um arco circular de raio $R$, igual a $2f$, e com centro C no eixo da parábola:

A figura 2.4 mostra que a aproximação é muito boa até quando o arco tem aproximadamente 30${}^{\circ }$ por cima e por baixo do eixo.

2.3. Objetos e imagens

Nas secções seguintes, a letra o representa um ponto que designamos de objeto e a letra i designa o ponto onde é formada a imagem desse ponto o, após a luz ser refletida num espelho, ou refratada numa superfície ou numa lente. O objeto o pode ser um ponto luminoso, que emite raios de luz em direções radiais, tal como no lado esquerdo da figura 2.5, em que o ponto luminoso encontra-se frente a um espelho plano. Os raios refletidos divergem entre si, e parecem vir do ponto i onde é formada uma imagem virtual. Para maior claridade, os raios que incidem no espelho foram desenhados a vermelho, e os raios refletidos a azul.

O princípio de reversibilidade da luz implica que podemos inverter a direção dos raios de luz no lado esquerdo da figura 2.5, obtendo-se assim o lado direito da figura. Os raios incidentes no espelho (vermelhos) aproximam-se entre si, e após serem refletidos (azul) convergem e cruzam-se no ponto i onde é formada a imagem. Neste caso trata-se de uma imagem real, que pode ser projetada num ecrã. Os raios convergentes que incidem no espelho podem vir, por exemplo, de um projetor. Se não houvesse espelho, esses raios focavam-se no ponto o indicado na figura, por detrás do espelho; a presença do espelho não permite que os raios se cruzem em o, mas a sua prolongação converge para o ponto virtual o, detrás do espelho.

O que designamos de objeto, representado pela letra o, será o ponto onde se cruzam os raios incidentes, ou a sua prolongação. Quando os raios se cruzam num ponto frente ao espelho o objeto é real, e quando a prolongação dos raios incidentes se cruzam num ponto do outro lado do espelho, consideramos esse ponto como um objeto virtual. No lado direito da figura 2.5, o objeto virtual produz uma imagem real à mesma distância do espelho, mas do lado oposto, e na mesma posição relativa em relação ao espelho.

Os objetos e imagens num espelho podem ser reais ou virtuais. Os objetos e imagens virtuais são pontos imaginários por detrás do espelho. No caso do espelho plano, se o objeto é real a imagem e virtual, e vice versa, mas no caso dos espelhos esféricos os objetos e as suas imagens podem ser ambos reais ou virtuais.

2.4. Reflexão num espelho côncavo

Os raios luminosos que passam por um ponto o (objeto) no eixo de um espelho esférico côncavo, a uma distância $d_{\mathrm{o}}$ do vértice O do espelho (ver figura 2.6), após serem refletidos no espelho convergem num ponto i, também no eixo do espelho (a demonstração é feita no exercício 2.2).

A distância $d_{\mathrm{i}}$, desde a imagem i até o vértice O, e da distância $d_{\mathrm{o}}$, desde o objeto até o vértice, estão relacionadas pela seguinte expressão, que designamos fórmula de Descartes para a reflexão em superfícies esféricas (ver exercício 2.2):

onde $f$ é a distância focal do espelho. A fórmula de Descartes é válida para qualquer posição do ponto o, no eixo do espelho; $d_{\mathrm{o}}$ e $d_{\mathrm{i}}$ serão positivas se os respetivos pontos o ou i estiverem frente ao espelho, ou negativas quando o respetivo ponto estiver detrás do espelho. Valores positivos de $d_{\mathrm{o}}$ ou $d_{\mathrm{i}}$ correspondem a um objeto ou imagem real, e valores negativos correspondem a objetos ou imagens virtuais.

A figura 2.7) mostra os resultados obtidos com a fórmula de Descartes para algumas posições do objeto o. Se o estiver no centro do espelho, $d_{\mathrm{o}}=2f$ conduz à distância $d_{\mathrm{i}}=2f$; isto é, a imagem, real, é formada também no centro: todos os raios que saem do ponto o refletem-se sobre si próprios.

Quando o objeto estiver no foco, $d_{\mathrm{o}}=f$, obtém-se $d_{\mathrm{i}}\to \infty$, o que quer dizer que não há imagem: os raios que saem do objeto são refletidos na direção paralela ao eixo e nunca se cruzam entre si.

Já quando o objeto estiver entre o foco e o vértice, $d_{\mathrm{o}}<f$, a equação (2.2) conduz a um valor negativo de $d_{\mathrm{i}}$, que indica que os raios refletidos divergem, mas parecem vir de um ponto i que está no outro lado do espelho. A última parte da figura 2.7 é o caso inverso ao anterior, em que o objeto é virtual e os raios refletidos convergem num ponto entre o foco e o vértice, formando uma imagem real.

Um espelho plano pode ser considerado um espelho esférico de raio infinito; o lado direito na fórmula de Descartes fica igual a zero, o que implica que $d_{\mathrm{i}}=-d_{\mathrm{o}}$; ou seja, a imagem é virtual se o objeto é real, ou real se o objeto é virtual; o objeto e a imagem encontram-se à mesma distância do espelho, mas em lados opostos.

2.5. Raios principais

A figura 2.7 sugere um método para encontrar a posição da imagem de um ponto o que não esteja sobre o eixo do espelho. O método consiste em traçar a trajetória dos três raios principais que passam pelo ponto o, e a imagem i estará no ponto onde esses três raios se cruzam.

O primeiro raio principal é o raio que, partindo do ponto o (ou na direção de o quando esse ponto estiver do outro lado do espelho), passa pelo foco F do espelho. Esse raio é refletido em direção paralela ao eixo do espelho, e é identificado com o número 1 na figura 2.8.

   

O segundo raio principal (2 na figura 2.8), parte do ponto o (ou dirige-se para ele), em direção paralela ao eixo, sendo refletido no espelho na direção do foco F. O terceiro raio principal, é o raio que parte do ponto o (ou dirige-se para ele), e passa pelo centro C do espelho. Esse raio incide perpendicularmente no espelho, sendo assim refletido na mesma direção em que incidiu.

Os três raios principais cruzam-se num ponto i que está a uma distância $d_{\mathrm{i}}$ do vértice O, que verifica exatamente a mesma equação (2.2) das imagens nos pontos no eixo do espelho. No caso da figura 2.8, em que o ponto o está a uma distância $h_{\mathrm{o}}$ do eixo do espelho, a imagem é formada a uma distância $h_{\mathrm{i}}$ do eixo, no outro lado do eixo, se o e i são ambos reais ou virtuais, ou no mesmo lado do eixo se um dos pontos o ou i for real e o outro virtual. Se arbitrarmos que as distâncias $h$ são positivas se estiverem por cima do eixo, e negativas se estiverem debaixo do eixo, encontra-se que a relação entre $h_{\mathrm{o}}$ e $h_{\mathrm{i}}$ é a mesma relação entre $d_{\mathrm{o}}$ e $-d_{\mathrm{i}}$, e essa relação é designada por aumento, $M$:

Observe-se que as distâncias $d$ e as alturas $h$ são as coordenadas cartesianas num sistema de eixos perpendiculares com origem O no vértice do espelho, tal como mostra a figura 2.8. O eixo $d$ é o eixo do espelho, com sentido positivo no lado frente ao espelho; o sentido positivo do eixo $h$ é arbitrário.

Comparando a figura 2.8 com a figura 2.6 podíamos pensar que a imagem i do ponto o na figura 2.8 deveria estar no raio da esfera que passa por o, e não debaixo do eixo; no entanto, estamos a considerar espelhos de tamanho muito menor do que a esfera, com um único eixo que passa pelo vértice e o foco. Nas figuras o tamanho dos espelhos tem sido exagerado para ilustrar melhor os conceitos, mas não se trata de figuras realistas; para que os 3 raios principais se cruzem num ponto, há que admitir que a superfície do espelho está no eixo $h$: é um plano mas com um centro e um foco.

Como as expressões (2.2) e (2.3) são válidas para todos os pontos o num corpo, essas expressões são também válidas para um objeto de comprimento ${\ell }_{\mathrm{o}}$ na direção perpendicular ao eixo, e para a sua imagem, de comprimento ${\ell }_{\mathrm{i}}$ na direção perpendicular ao eixo, tal como na figura 2.9. Quando a imagem é real ($d_{\mathrm{i}}>0$) o aumento é negativo, o que implica imagem invertida ($h_{\mathrm{o}}$ e $h_{\mathrm{i}}$ de sinais opostos). O valor absoluto do aumento $M$ indica a relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto:

No lado esquerdo da figura 2.9, o aumento é negativo e com valor absoluto menor do que 1. Já no lado direito da figura, em que a imagem é virtual ($d_{\mathrm{i}}<0$) e de tamanho maior do que o objeto, o aumento é positivo e maior que 1.

2.6. Reflexão num espelho convexo

Num espelho convexo (figura 2.10), o centro de curvatura e o foco encontram-se por detrás do espelho. A fórmula de Descartes, (2.2) é valida, com as mesmas convenções de sinal para $d_{\mathrm{o}}$ e $d_{\mathrm{i}}$, mas a distância focal $f$ é negativa.

Resolvendo a equação (2.2) para a distância até a imagem, obtém-se:

Quando o objeto é real, $d_{\mathrm{o}}>0$, e como $f$ é negativa, a equação (2.5) implica que $d_{\mathrm{i}}$ é negativa e menor que $d_{\mathrm{o}}$: imagem virtual, direita, e aumento positivo e menor que 1.

Já se o objeto for virtual, $d_{\mathrm{o}}<0$, a imagem poderá ser virtual e invertida, ou real e direita, e com tamanho maior ou menor do que o objeto. A figura 2.11 mostra dois casos, quando o objeto é real ou virtual.

   

2.7. Refração numa superfície esférica

Consideremos uma superfície esférica que separa dois meios, 1 e 2, com índices de refração diferentes, $n_1$ e $n_2$, tal como na figura 2.12. Um ponto o, dentro do meio 1, sobre o eixo da superfície esférica, produz uma imagem em outro ponto i ao longo do eixo, que poderá estar no meio 1 ou no meio 2.

As distâncias $d_{\mathrm{o}}$ e $d_{\mathrm{i}}$ são as distâncias desde os pontos o e i até o vértice O, que está na interseção da superfície com o seu eixo. Na figura, os ângulos foram exagerados, mas consideraremos unicamente raios paraxiais, aproximadamente paralelos ao eixo, e uma superfície que é apenas uma pequena parte da esfera completa.

No caso da figura 2.12, o ponto o encontra-se a uma distância $d_{\mathrm{o}}$ do vértice, e como o raio refratado diverge do eixo, parecerá vir de um ponto i, a uma distância $d_{\mathrm{i}}$ do vértice. Igual que no caso da reflexão nos espelho curvos, as distâncias $d_{\mathrm{o}}$ e $d_{\mathrm{i}}$ serão medidas na direção do eixo, com origem no vértice e com sentido positivo apontando para o lado onde incidem os raios luminosos na superfície, que é o meio com índice de refração $n_1$. O lado negativo é no meio com índice de refração $n_2$, onde os raios luminosos são refratados. Tal como nos espelhos, o objeto o é real se $d_{\mathrm{o}}$ é positiva, ou virtual se $d_{\mathrm{o}}$ é negativa. Já no caso da imagem, esta é real se $d_{\mathrm{i}}$ é negativa, ou virtual se $d_{\mathrm{i}}$ é positiva (ao contrário do que nos espelhos).

O raio de curvatura $R$ será considerado positivo se o centro estiver no meio com índice de refração $n_1$, onde incidem os raios, ou negativo se estiver no meio com índice de refração $n_2$, onde os raios são refratados.

Como se demostra no exercício 2.3, a fórmula de Descartes para a refração na superfície esférica é:

No caso de uma superfície plana de separação entre os meios, o raio $R$ é infinito, e o lado direito da equação (2.6) igual a zero implica,

a imagem é virtual e a relação entre as distâncias da imagem e do objeto é a que obtivemos no exercício 1.6 do capítulo anterior.

Outro caso importante na equação (2.6) é quando o objeto o está no centro da superfície esférica, o que conduz a $d_{\mathrm{i}}=d_{\mathrm{o}}$, isto é, uma imagem virtual no mesmo ponto onde está o objeto (os raios luminosos que passam por o não sofrem nenhum desvio na passagem pela superfície).

Define-se o foco objeto, ${\mathrm{F}}_{\mathrm{o}}$, como o ponto do eixo onde deverá ser colocado um objeto o, para que os raios incidentes que passam por esse ponto sejam refratados na direção paralela ao eixo (não existe imagem). Substituindo $d_i$ por infinito na equação (2.6), a distância obtida para $d_{\mathrm{o}}$ é a distância focal $f_{\mathrm{o}}$, desde o vértice até o foco objeto:

no caso da figura 2.12, em que $n_2>n_1$ e $R$ é positivo, $f_{\mathrm{o}}$ é negativa e o foco objeto encontra-se no lado do meio com índice de refração $n_2$. Quando $f_{\mathrm{o}}$ for positiva o sistema é convergente, e quando for negativa, é divergente.

O foco imagem, ${\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}$, é o ponto onde se forma a imagem de um objeto que esteja no infinito; isto é, os raios incidentes paralelos ao eixo formam uma imagem no ponto ${\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}$. A distância $f_{\mathrm{i}}$, desde o foco imagem até o vértice, obtém-se encontrando o valor de $d_{\mathrm{i}}$ quando $d_{\mathrm{o}}$ é infinita na equação (2.6):

no caso da figura 2.12, em que $n_2>n_1$ e $R$ é positivo, $f_{\mathrm{i}}$ é positiva e o foco imagem encontra-se no lado do meio com índice de refração $n_1$. A soma das duas distâncias focais $f_{\mathrm{o}}$ e $f_{\mathrm{i}}$ (tendo em conta que uma delas é positiva e a outra negativa) é sempre igual ao raio da superfície esférica:

E usando a expressão (2.8), a fórmula de Descartes para a refração na superfície esférica, (2.6), pode ser escrita como:

Para obter a imagem de um objeto fora do eixo, traçam-se os 3 raios principais, e a imagem estará na interseção desses raios. O primeiro raio principal passa por o e incide na superfície em direção paralela ao eixo, sendo refratado na direção do foco imagem ${\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}$.

O segundo raio principal incide na direção que passa por o e o foco objeto ${\mathrm{F}}_{\mathrm{o}}$, sendo refratado de forma paralela ao eixo. E o terceiro raio principal incide na direção que passa por o e pelo centro C; esse raio é perpendicular à superfície esférica e, como tal, não sofre nenhum desvio quando passa para o meio 2.

Os 3 raios principais, após serem refratados, cruzam-se num ponto comum onde é formada a imagem real, ou no caso em que divergem, parecem vir de um ponto comum onde é formada a imagem virtual. A figura 2.13 mostra os três raios principais e a imagem de um objeto fora do eixo, no caso em que $n_2>n_1$ e $R>0$. A distância $d_{\mathrm{i}}$ obtida na interseção dos raios principais verifica a fórmula de Decartes (2.6).

2.8. Lentes finas

Uma lente fina é um meio transparente delimitado por duas superfícies esféricas. Será considerada fina quando a espessura no centro da lente for desprezável comparada com as distâncias até os objetos e imagens. Um ponto o forma uma primeira imagem ${\mathrm{i}}_1$ após a refração na primeira superfície esférica de raio $R_1$. Essa primeira imagem é o objeto que produz a imagem final i após a refração na segunda superfície, de raio $R_2$.

Por simplicidade, vamos admitir que o meio fora da lente é ar, com índice de refração igual a 1. Na figura 2.15, o raio incidente na primeira superfície da lente é indicado a vermelho, e passa pelo ponto o; o raio refratado nessa primeira superfície, indicado a roxo, interseta o eixo no ponto ${\mathrm{i}}_1$, onde é formada a imagem. As distâncias $d_{\mathrm{o}}$ e $d_{{\mathrm{i}}_1}$ verificam a formula de Descartes para refração em superfícies esféricas, (2.6), com $n_1=1$, $n_2=n$ igual ao índice de refração da lente, e $R=R_1$ igual ao raio da primeira superfície:

O raio roxo que passa pelo ponto ${\mathrm{i}}_1$ incide na segunda superfície, e o raio refratado foi colorido a azul na figura 2.15; a sua prolongação interseta o eixo no ponto i, que é a imagem do ponto ${\mathrm{i}}_1$ produzida pela refração na segunda superfície. A fórmula de Descartes (2.6) aplicada a essa superfície, com $R=R_2$, $n_1=n$, $n_2=1$ e $d_{\mathrm{o}}=d_{{\mathrm{i}}_1}$, conduz a:

As distâncias na equação (2.12) deveriam ser medidas desde o vértice ${\mathrm{O}}_1$ da superfície 1, enquanto que na equação (2.13) são medidas desde o vértice ${\mathrm{O}}_2$ da superfície 2. Mas como a lente é fina, vamos admitir que nos dois casos as distâncias são medidas desde um ponto intermédio entre ${\mathrm{O}}_1$ e ${\mathrm{O}}_2$. Substituindo a equação (2.12) na equação (2.13), obtém-se a fórmula de Decartes para lentes finas

O foco objeto, $F_{\mathrm{o}}$, é o ponto a uma distância $f$ onde um ponto o deve ser colocado para que os raios de luz incidentes na lente e passando por esse ponto saiam da lente paralelos ao eixo (não há imagem). No limite $d_{\mathrm{i}}\to \infty$, o resultado obtido em (2.14) para $1/d_{\mathrm{o}}$ é o inverso da distância focal $f$:

quando $f$ for positiva, a lente é convergente, e quando for negativa, é divergente.

O foco imagem, $F_{\mathrm{i}}$, é o ponto onde é formada a imagem dos raios que incidem na direção paralela ao eixo (objeto a uma distância infinita da lente). No limite $d_{\mathrm{o}}\to \infty$, $1/d_{\mathrm{i}}$ é o inverso da distância até o foco imagem, e o resultado é o mesmo do que na equação (2.15) mas com sinal oposto. Isso mostra que os focos imagem e objeto estão à mesma distância da lente, mas de lados opostos. Uma lente fina tem dois focos, ambos no eixo e à mesma distância nos dois lados da lente. A equação (2.15) se designa equação do fabricante de lentes, porque permite determinar os valores que deverão ter os raios, para um determinado material de índice de refração $n$, para que a lente tenha a distância focal $f$ pretendida.

A figura 2.17 mostra alguns tipos de lentes. As duas primeiras são lentes convergentes ($f>0$) e as duas últimas são divergentes ($f<0$). Se uma lente for mais larga no centro do que nos bordes é convergente, e se for mais estreita no centro do que nos bordes é divergente.

Usando a equação (2.15), a fórmula de Descartes pode ser escrita de forma análoga ao caso dos espelhos esféricos:

A potência dióptrica, $P$, de uma lente é o inverso da sua distância focal:

se a distância focal for medida em metros, $P$ estará em dioptrias. Assim por exemplo, uns óculos com $-2$ dioptrias têm lentes divergentes, com distância focal de 50 cm.

Um ponto o fora do eixo da lente, com coordenadas $d_{\mathrm{o}}$ e $h_{\mathrm{o}}$ medidas desde o vértice O, nas direções do eixo e do plano da lente, produz uma imagem i com coordenadas $d_{\mathrm{i}}$ e $h_{\mathrm{i}}$. A relação entre $d_{\mathrm{i}}$ e $d_{\mathrm{o}}$ é a mesma relação entre $h_{\mathrm{i}}$ e $h_{\mathrm{o}}$. O aumento da lente é:

No caso de um objeto formado por vários pontos, o comprimento da imagem, ${\ell }_{\mathrm{i}}$, na direção perpendicular ao eixo, será $M{\ell }_{\mathrm{o}}$, onde ${\ell }_{\mathrm{o}}$ é o comprimento do objeto, perpendicular ao eixo (figura 2.18).

Quando o objeto é muito distante ($d_{\mathrm{o}}\to \infty$), será mais conveniente usar o ângulo $\alpha$ desde o vértice da lente até o objeto, e como a imagem é formada no foco, o tamanho da imagem será $2f\tan (\alpha /2)$ (lado direito da figura 2.18).

2.9. Instrumentos com uma única lente

Nas seguintes secções descreveremos alguns instrumentos óticos na sua versão mais rudimentar, em que basta usar uma ou duas lentes. Na prática são usadas muitas lentes por diversas razões, mas o princípio de funcionamento é mais claro na versão rudimentar.

2.9.1. Máquina fotográfica

Uma máquina fotográfica simples precisa apenas uma lente convergente (figura 2.19). O objeto é colocado a uma distância maior que o centro da lente, formando-se assim uma imagem real, invertida e menor do que o objeto. Nas máquinas analógicas essa imagem produz reações químicas na película fotográfica, e nas máquinas digitais produz impulsos elétricos numa quadrícula de sensores.

A imagem de um objeto muito afastado é produzida no plano focal da lente localizado no fundo da máquina, onde se encontra a película fotográfica ou os sensores. Como o aumento da imagem é proporcional à distância onde é formada a imagem, o aumento da lente é proporcional à sua distância focal $f$; uma lente com distância focal de menos de 20 mm tem muito menor aumento do que uma lente com 200 mm de distância focal. No primeiro caso, o tamanho menor das imagens permite registar na fotografia objetos num ângulo maior à volta da lente, que é designada por grande angular. Já a lente com 200 mm é uma teleobjetiva (ou zoom), que produz imagens de maior tamanho dos objetos afastados, mas os objetos que podem ficar registados na fotografia estão num ângulo menor em torno da lente.

Quanto mais próximo estiver o objeto da lente, menor será a distância $d_{\mathrm{i}}$ da imagem, que é menor do que a distância focal. É necessário então aproximar a lente do fundo da máquina (focar), para que a imagem seja formada na película fotográfica.

A intensidade de luz que atinge o fundo da máquina é proporcional à área da lente (quantidade de luz que entra na máquina), e inversamente proporcional à área da imagem (quantidade de luz por unidade de superfície). A área da imagem é proporcional ao quadrado do aumento, ou seja, proporcional a $f^2$. Se o diâmetro da lente for $a$, a intensidade da luz na imagem é então proporcional a $(a/f{)}^2$. Define-se o número f, como a relação $f/a$ (o número f não deverá ser confundido com a distância focal $f$).

A intensidade da imagem é assim inversamente proporcional ao quadrado do número f. Um aumento de $\sqrt{2}$ no número f implica diminuição da luminosidade da imagem a metade. Numa lente aumenta-se o número f reduzindo o diâmetro de entrada da lente por meio de um diafragma. Os valores padrão usados para os possíveis números f num alente são: 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11 e 22. Cada número nessa série é aproximadamente o anterior vezes $\sqrt{2}$; como tal, aumentar o número f de uma posição na série implica diminuir a luminosidade a metade. O menor valor possível para o número f obtém-se quando o diafragma estive completamente aberto e corresponde à luminosidade máxima da lente.

Valores elevados do número f implica que os raios que convergem para produzir cada ponto na imagem estão num ângulo menor, dando maior profundidade de campo, ou seja, objetos que não estejam exatamente à distância que está a ser focada na película fotográfica, aparecem ainda aproximadamente focados. No caso da câmara escura, a abertura aproxima-se de zero, o que implica número f muito elevado e uma imagem que aparece sempre focada, mas com baixa luminosidade.

2.9.2. O olho humano

O olho humano, tal como uma máquina fotográfica, projeta uma imagem real de um objeto, reduzida e invertida, na retina (figura 2.20) onde existem células sensíveis á luz que enviam impulso elétricos para o cérebro. Para focar as imagens de objetos a diferentes distâncias, não é afastada ou aproximada a lente, como numa máquina fotográfica, mas altera-se a distância focal da lente. Há realmente duas lentes no olho, uma mais externa, formada pelo humor vítreo, e outra mais interna: o cristalino. O humor vítreo tem forma e índice de refração fixos, enquanto que o cristalino pode mudar a sua forma, por contração do músculo à sua volta, alterando a sua curvatura e distância focal.

Tal como nas máquinas fotográficas, o olho tem um diafragma que ajusta a quantidade de luz que entra mudando o seu diámetro. Trata-se do iris, que é a parte colorida do olho.

2.9.3. O projetor

No caso de um projetor, o objeto coloca-se invertido, entre o centro e o foco e de uma lente convergente. Forma-se assim uma imagem real, de tamanho maior do que o objeto, e invertida em relação ao objeto, que pode ser focada num ecrã.

2.9.4. A lupa

Uma lupa é uma lente convergente. O objeto coloca-se entre o foco e o vértice da lente, formando-se assim uma imagem virtual, de tamanho maior do que o objeto, que pode ser observada como se estivesse no mesmo lado onde está o objeto (figura 2.21).

A lupa usa-se de forma a que a distância $\delta$ onde é formada a imagem seja igual à mínima distância em que a visão da pessoa lhe permitir focar a imagem, que é aproximadamente 25 cm, mas muda com a idade (uma criança consegue ver objetos a distâncias de 10 cm, enquanto que um adulto com mais de 50 anos costuma ter uma distância mínima de visão de aproximadamente 40 cm).

2.10. Instrumentos com duas lentes

2.10.5. O microscópio

O microscópio é composto por duas lentes convergentes, a objetiva, mais próxima do objeto, e o ocular, mais próxima do observador. A objetiva atua de forma semelhante a um projetor: o objeto coloca-se entre o centro e o foco da objetiva, formando assim uma imagem real, invertida e de tamanho maior do que o objeto. O ocular atua como uma lupa aumentado ainda mais o tamanho da imagem: o ocular desloca-se de forma a que a imagem produzida pela objetiva esteja entre o sue foco e o seu vértice (figura 2.23).

A imagem observada no ocular é virtual, invertida e com tamanho que pode ser até centenas de vezes maior do que o tamanho do objeto.

2.10.6. O telescópio

Há dois tipos principais de telescópios: refratores e refletores. Em ambos casos, tal como o microscópio, estão formados por uma objetiva e um ocular. A diferença é que num telescópio refrator a objetiva é uma lente convergente, enquanto que num telescópio refletor a objetiva é um espelho côncavo. Em ambos casos o ocular é uma lente convergente.

A diferença entre o telescópio refrator e o microscópio é que o objeto encontra-se longe, a uma distância várias vezes maior do que o raio da objetiva. A imagem produzida é assim real, invertida, e de menor tamanho do que o objeto (não seria possível projetar dentro do telescópio uma imagem maior do que o tamanho de um planeta, por exemplo). O ocular, tal como no microscópio, usa-se como uma lupa, para aumentar o tamanho da imagem da objetiva; deslocando o ocular de forma a que a imagem real da objetiva esteja entre o seu foco e o seu vértice, obtém-se uma imagem virtual, e maior do que a imagem produzida pela objetiva (figura 2.24).

Exercícios resolvidos

2.1. (a) Encontre a equação da parábola, no plano $xy$, com foco F no ponto de coordenadas $(x,y)=(0,f)$ e reta diretriz D com equação $y=-f$, usando a definição: conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz. (b) Determine o raio de curvatura da parábola da alínea anterior, no seu vértice (interseção da parábola com o seu eixo de simetria). (c) Mostre que em cada ponto da parábola, a reta tangente faz o mesmo ângulo com o segmento que une o ponto com o foco, e com a perpendicular à diretriz que passa pelo ponto. (d) Demonstre que os raios luminosos paralelos ao eixo de um espelho parabólico são refletidos passando pelo foco.

Resolução. (a) As distâncias desde um ponto $(x,y)$ até o foco e até a diretriz são ($x$ e $y$ podem ser positivas ou negativas):

Como essas distâncias são iguais, os seus quadrados também são iguais, e obtemos a expressão:

(b) O eixo de simetria é o eixo $y$, e o vértice é a origem. Imaginando um ponto que se desloca ao longo da parábola, e que em cada instante $t$ está no ponto com coordenada $x$ igual a $t$, o vetor posição do ponto é:

e os vetores velocidade e aceleração são:

O ponto passa pelo vértice em $t=0$, e nesse instante a velocidade e a aceleração são:

Como a aceleração é perpendicular à velocidade, o seu módulo é a aceleração normal $a_{\mathrm{n}}$, e o raio de curvatura é:

Na vizinhança do vértice, a parábola é aproximadamente um arco de circunferência com raio igual ao dobro da distância focal $f$, e centro C no ponto $(0,2f)$.

(c) A figura seguinte mostra o vetor ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{F}}$, desde o foco F até um ponto $(x,y)$ na parábola, o vetor ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{D}}$, desde a diretriz D, na direção perpendicular, até o mesmo ponto na parábola, e o vetor $\overrightarrow{v}$ tangente à parábola no mesmo ponto.

Os vetores ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{F}}$ e ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{D}}$ são:

O vetor tangente $\overrightarrow{v}$ é o vetor velocidade calculado na alínea anterior mas com $x$ em vez de $t$:

O produto escalar de $\overrightarrow{v}$ com os vetores ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{F}}$ e ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{D}}$ conduz ao mesmo resultado:

Mas esses produtos escalares também são iguais a:

e, como as duas distâncias $d_{\mathrm{D}}$ e $d_{\mathrm{F}}$ são iguais, conclui-se que os cossenos dos dois ângulos são iguais e ${\theta }_{\mathrm{D}}={\theta }_{\mathrm{F}}$.

(d) A figura seguinte mostra um raio luminoso, paralelo ao eixo da parábola, que toca um ponto na parábola, e outro raio que sai desse ponto em direção do foco.

Esses dois vetores são os simétricos dos vetores ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{D}}$ e ${\overrightarrow{d}}_{\mathrm{F}}$ da alínea anterior e, como tal, os ângulos ${\theta }_{\mathrm{D}}$ e ${\theta }_{\mathrm{F}}$ são os mesmos ângulos da alínea anterior, que são iguais. Conclui-se assim que o raio que passa pelo foco é a reflexão do raio incidente paralelo ao eixo da parábola. Como o resultado é válido para qualquer ponto na parábola, qualquer raio paralelo ao eixo será refletido na direção do foco.

2.2. Demonstre a fórmula de Descartes para a reflexão numa superfície esférica, equação (2.2).

Resolução. A figura seguinte mostra um raio que sai do ponto o no eixo, e após ser refletido no ponto P do espelho forma a imagem no ponto i no eixo. Como o segmento CP é perpendicular ao espelho, os ângulos que esse segmento forma com os dois raios são os ângulos de incidência e de reflexão, $\theta$, ambos iguais.

As relações entre os ângulos na figura são ${\alpha }_{\mathrm{i}}=\beta +\theta$, e $\beta ={\alpha }_{\mathrm{o}}+\theta$. Eliminando $\theta$, obtêm-se:

O arco $a$, entre o ponto P e o vértice O, é um arco de raio R e ângulo $\beta$, mas também é aproximadamente um arco de raio $d_{\mathrm{o}}$ e ângulo ${\alpha }_{\mathrm{o}}$, e aproximadamente um arco de raio $d_{\mathrm{i}}$ e ângulo ${\alpha }_{\mathrm{i}}$. A aproximação é muito boa no caso em que os raios incidente e refletido são paraxiais (aproximadamente paralelos ao eixo do espelho). Como tal, os três ângulos podem ser calculados em função do arco $a$:

onde foi usado o facto que o raio $R$ é igual ao dobro da sua distância focal $f$. Substituindo na equação acima obtém-se a fórmula de Descartes:

Na figura acima, as distâncias foram traçadas usando a fórmula de Descartes, e o facto de que os raios não são paraxiais reflete-se em que os dois ângulos indicados como $\theta$ não são exatamente iguais; um deles é ${11}^{\circ }$, e o outro ${13}^{\circ }$. No entanto, inclusivamente nesse caso observa-se que a aproximação é boa.

2.3. Demonstre a fórmula de Descartes para a refração através de uma superfície esférica, equação (2.6).

Resolução. A figura seguinte mostra um raio que sai dum ponto o no eixo, e é refratado no ponto P da superfície esférica. A imagem i é formada no ponto onde a prolongação do raio refratado cruza o eixo. Como o segmento CP é perpendicular à superfície esférica, os ângulos que esse segmento forma com os dois raios são os ângulos de incidência, ${\theta }_1$, e de refração, ${\theta }_2$.

No triângulo CPo, o ângulo externo $\beta$ é igual à soma dos dois ângulos internos opostos, ${\alpha }_{\mathrm{o}}$ e ${\theta }_1$, e no triângulo CPi, esse mesmo ângulo externo é igual à soma dos ângulos ${\alpha }_{\mathrm{i}}$ e ${\theta }_2$; como tal,

se o raio luminoso for paraxial, $\sin {\theta }_1$ e $\sin {\theta }_2$ podem ser aproximados por ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$, porque os dois ângulos são pequenos. A lei de Snell conduz a:

O arco $a$, entre o ponto P e o vértice O, é um arco de raio R e ângulo $\beta$, mas também é aproximadamente um arco de raio $d_{\mathrm{o}}$ e ângulo ${\alpha }_{\mathrm{o}}$, e aproximadamente um arco de raio $d_{\mathrm{i}}$ e ângulo ${\alpha }_{\mathrm{i}}$. Podemos então substituir os três ângulos na equaão anterior pelo arco $a$ dividido pelo respetivo raio:

e obtém-se assim a fórmula de Descartes para refração numa superfície esférica de raio $R$:

2.4. Um espelho côncavo tem distância focal de 60 cm. Um objeto de 5 cm é colocado enfrente do espelho, perpendicular ao seu eixo, a uma distância $d_{\mathrm{o}}$ do vértice. Determine o tipo de imagem formada, o seu tamanho, e a sua posição relativa ao vértice do espelho, quando $d_{\mathrm{o}}$ for igual a: (a) 160 cm, (b) 90 cm, e (c) 36 cm.

Resolução. (a) Usando a fórmula de Descartes,

e o aumento é:

A imagem é real ($d_{\mathrm{i}}$ positiva), invertida ($M$ negativo), de 3 cm ($5|M|$ cm), e é formada enfrente do espelho, a 96 cm do vértice.

(b)

e o aumento é:

A imagem é real ($d_{\mathrm{i}}$ positiva), invertida ($M$ negativo), de 10 cm ($5|M|$ cm), enfrente do espelho e a 180 cm do vértice.

(c)

e o aumento é:

A imagem é virtual ($d_{\mathrm{i}}$ negativa), direita ($M$ positivo), de 12.5 cm ($5|M|$ cm), e é observada como se estivesse a 90 cm do vértice, no outro lado do espelho.

2.5. Uma lente colocada a 55 cm de um objeto, produz uma imagem do objeto que pode ser projetada, do outro lado la lente, a 67.3 cm da lente. Diga que tipo de lente foi usada e determine a sua distância focal.

Resolução. Como a imagem pode ser projetada, trata-se de uma imagem real, do lado negativo da lente. Substituindo os valores das distâncias do objeto, $d_{\mathrm{o}}=55$ cm e a sua imagem, $d_{\mathrm{i}}=-67.3$ cm na fórmula de Descartes para lentes (2.16),

Que implica:

2.6. Uma lente convergente está a projetar num ecrã a imagem bem focada de uma lâmpada. Sem alterar as posições da lâmpada e da lente, coloca-se uma segunda lente a 30 cm do ecrã, de forma a que os raios convergentes no ecrã passem através dela. Sabendo que a segunda lente tem raios $R_1=-20$ cm e $R_2=10$ cm, e está feita de vidro com índice de refração 1.65, que distância deverá ser deslocado o ecrã para que a nova imagem fique bem focada?

Resolução: A distância focal da segunda lente obtém-se a partir da equação (2.15):

Essa segunda lente é então convergente; como foi colocada 30 cm antes do ponto onde os raios da primeira lente convergem, o objeto que produz a imagem na segunda lente é virtual e a distância até a lente é $d_{\mathrm{o}}=-30$ cm. Aplicando a fórmula de Descartes para lentes,

O sinal negativo indica que é uma imagem real, no mesmo lado onde está o ecrã, que pode ser focada. Para focar essa nova imagem, o ecrã deverá ser deslocado $30-7.6=22.4$ cm, chegando mais próximo da segunda lente.

2.7. Um copo de 11 cm de altura, numa mesa, é colocado a 30 cm de uma lente fina, divergente, perpendicular à mesa, com distância focal de 20 cm. (a) Determine a posição, tamanho e tipo de imagem do copo. (b) Se a lente estiver apoiada na superfície da mesa e tiver um diâmetro de 6 cm, mostre como obter a imagem do copo pelo método gráfico.

Resolução: (a) A distancia do objeto é $d_{\mathrm{o}}=30$ cm, e a distância focal $f=-20$ cm a equação (2.16) conduz a:

e o aumento é,

O tamanho da imagem é:

A imagem é virtual ($d_{\mathrm{i}}>0$), direta ($M>0$), com $4.4$ cm de altura, e é formada a 12 cm da lente.

(b) O eixo da lente estará 3 cm por cima da mesa. A figura seguinte mostra o copo, a 30 cm da lente, e a sua imagem.

Para construir a imagem, foi traçado o ponto o no topo do copo, que está 8 cm por cima do eixo e a 30 cm do plano da lente. A seguir foram traçados dois dos raios principais desde o ponto o; o primeiro, sai do ponto o e passa pelo vértice da lente (interseção do eixo com o plano da lente). O segundo raio sai do ponto, paralelo ao eixo, e ao chegar ao plano da lente é refratado para cima, porque a lente é divergente; o raio refratado foi traçado usando uma linha auxiliar desde o foco imagem da lente (20 cm à esquerda do plano da lente e sobre o eixo) até o ponto onde o raio incidente toca o plano da lente; a extensão dessa linha auxiliar a partir desse ponto é o raio refratado.

A imagem i do ponto o encontra-se na interseção entre a linha auxiliar que passa pelo foco, e o raio que passa pelo vértice. Trata-se de uma imagem virtual e, como tal, é direita. O resto da imagem traça-se sabendo que a parte de baixo da imagem deverá estar debaixo do eixo, a 3/8 da distância que a imagem do topo do copo está por cima do eixo.

Observe-se que os raios principais não têm que passar pela lente. Neste caso o raio paralelo ao eixo interseta o plano da lente fora dela; um observador próximo da lente observará apenas os raios de luz que passam através da lente, e não o raio principal paralelo ao eixo; mas esses raios parecerão vir do ponto i que foi obtido traçando esse raio principal.

2.8. Vai ser construída uma lente biconvexa com vidro de índice de refração igual a 1.580. Pretende-se que a lente tenha distância focal de $6.0$ cm e que o raio de curvatura de uma das fases seja o dobro do que a outra. Determine o comprimento que deverão ter os raios das duas superfícies.

Resolução: Como a lente é biconvexa, então $R_1<0$ e $R_2>0$. Substituindo $R_1=-2R_2$ na equação do construtor de lentes, (2.8),

e substituindo os valores dados:

Como $|R_1|$ é o dobro desse valor, os raios das duas superfícies deverão ser 5.22 cm e 10.44 cm. Observe que a ordem não interessa.

2.9. Demonstre que a potência dióptrica de duas lentes finas, muito juntas, é igual à soma das suas potências.

Resolução: A figura seguinte mostra as duas lentes, ${\mathrm{L}}_1$ e ${\mathrm{L}}_2$, e os seus respetivos focos imagem, ${\mathrm{F}}_1$ e ${\mathrm{F}}_2$.

O foco imagem do sistema será o ponto onde convergem os raios incidentes, paralelos ao eixo, após serem refratados pelas duas lentes. Após a refração na primeira lente, os raios seguem na direção de ${\mathrm{F}}_1$, que está aproximadamente (se as lentes forem finas e estifverem muito juntas) à distância $d_{\mathrm{o}}=-f_1$ da lente 2, onde $f_1$ é a distância focal da lente ${\mathrm{L}}_1$; a imagem formada pela lente ${\mathrm{L}}_2$ estará no foco imagem do sistema que, por definição, está à distância $-f$, sendo $f$ a distância focal do sistema. Substituindo na fórmula de Descartes para a segunda lente,

E a expressão para a distância focal do sistema, em função das distâncias focais das duas lentes, é:

Como a potência dióptrica das lentes é o inverso da distância focal, em metros, o resultado anterior é que a potência $P$ do sistema é igual à soma das potências $P_1$ e $P_2$ das duas lentes:

2.10. A objetiva e o ocular do telescópio da figura 2.24 têm distâncias focais de $52.5$ cm e $6.67$ cm, e a distância entre as duas lentes é de 60 cm. O objeto que está a ser observado tem 1.025 m de altura, e encontra-se a 11.55 m da objetiva. Determine o tamanho da imagem, e a sua distância $\delta$ desde o ocular.

Resolução. Como a objetiva é uma lente convergente, a distância onde será formada a imagem ${\mathrm{i}}^{\prime }$ da objetiva é, usando a equação (2.16) (distâncias em cm),

O resultado negativo mostra que a imagem é real e invertida. O tamanho dessa imagem intermédia é:

Essa imagem intermédia será o objeto (real) que se encontra a $60-55=5$ cm do ocular, e como essa lente é também convergente, com distância focal de 6.67 cm, temos que:

Trata-se de uma imagem virtual, a 19.97 cm do ocular, e com tamanho:

Exercícios adicionais

2.11. Num espelho côncavo de distãncia focal $f$, determine a distância $d_{\mathrm{o}}$ à qual deverá ser colocado um objeto para que: (a) A sua imagem seja virtual, e (b) o tamanho da imagem seja menor do que o tamanho do objeto.

2.12. A lente na figura 2.19 tem raios $R_1=-20$ cm e $R_2=6$ cm. Determine o coeficiente de refração do vidro da lente, sabendo que a distância focal da lente é 6 cm.

2.13. A objetiva do telescópio refletor num observatório astronômico é um espelho côncavo com 1.5 m de distância focal. Determine o tamanho da imagem da Lua formada por esse espelho, admitindo que o diâmetro da Lua é de 3475 km e o observatório encontra-se a uma distância de $380\times {10}^3$ km da Lua.

Respostas dos exercícios adicionais

2.11. (a) $d_{\mathrm{o}}<f$. (b) $<d_{\mathrm{o}}>2f$

2.12. $1.769$.

2.13. $13.7$ mm.