6. Trabalho e energia

6.1. Trabalho e energia cinética

A segunda lei de Newton (equação 4.4)

onde é a resultante de todas as forças externas, conduz a uma relação útil chamada teorema do trabalho e da energia cinética. Para demonstrar esse teorema, considere-se um deslocamento vetorial infinitesimal durante um intervalo infinitesimal de tempo (figura 6.1).

No limite infinitesimal em que tende para zero, o deslocamento vetorial é na direção tangencial e com módulo igual ao deslocamento ao longo da trajetória:

Usando esta expressão e multiplicando com produto escalar os dois lados da equação 6.1 pelo deslocamento infinitesimal, obtém-se

A equação cinemática implica que é igual a e, como tal,

Integrando os dois lados da equação desde uma posição , onde a velocidade é , até outra posição onde a velocidade é , obtém-se o teorema do trabalho e a energia cinética:

A função da velocidade:

chama-se energia cinética e o integral da componente tangencial da força ao longo da trajetória chama-se trabalho da força:

Ou seja, o teorema estabelece que

Observe-se que em geral o trabalho de uma força pode ser calculado integrando ao longo de qualquer curva, mas se essa curva não é a trajetória da partícula, o resultado pode não ser igual ao aumento de energia cinética. Em geral, um integral de linha entre dois pontos produz diferentes valores para diferentes curvas que unem esses pontos.

Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho ao longo da trajetória e pode alterar a energia cinética da partícula. Uma força perpendicular à trajetória não realiza trabalho e não altera a energia cinética da partícula.

O trabalho e a energia cinética têm unidades de energia, ou seja, joules no Sistema Internacional de unidades (1 J = 1 N·m).

Em coordenadas cartesianas, o deslocamento infinitesimal é,

Exemplo 6.1

Um canhão dispara uma bala com 5 cm de raio, desde o terraço de um edifício, na posição inicial (em metros):

com velocidade inicial (metros sobre segundo):

determine a altura máxima atingida pela bala (valor máximo da coordenada ) e a posição em que a bala bate no chão ( ).

Resolução. Este é o mesmo exemplo 2.3 que já foi resolvido no capítulo 2, mas será agora resolvido através do trabalho e do impulso. Uma bala metálica tem massa volúmica aproximadamente 8 vezes maior que a da água. Nessas condições, a velocidade terminal da bala é da ordem de 132 m/s. O problema será resolvido ignorando a resistência do ar e a solução obtida será usada para comparar a velocidade máxima com a velocidade terminal. Um valor da velocidade máxima próximo ou por cima da velocidade limite indicará que a solução obtida tem um erro elevado.

No sistema de eixos da figura, o peso escreve-se e o impulso que produz desde o instante do lançamento da bala, , até um instante posterior é,

igualando o impulso à variação da quantidade de movimento, e dividindo pela massa, obtém-se,

Assim sendo, as componentes e da velocidade permanecem constantes. O valor mínimo do módulo da velocidade ocorrerá no instante em que ( ) for igual a zero; o valor mínimo da velocidade, , corresponde ao ponto de altura máxima.

O trabalho realizado pelo peso é:

igualando à variação da energia cinética e dividindo pela massa,

Substituindo pelo valor mínimo da velocidade, calcula-se a altura máxima

Para calcular a posição em que a bala bate no chão, calcula-se o valor da velocidade, quando a bala bate no chão, substituindo na equação 6.10:

e, de acordo com a equação 6.9, o quadrado do módulo da velocidade é:

(tendo em conta que o tempo é positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontal é igual a: , já que a componente horizontal da velocidade é constante. Somando os valores das componentes e na posição inicial, obtém-se a posição em que a bala bate no chão:

Observe-se que os resultados são ligeiramente diferentes dos que foram obtidos no exemplo 2.3. Em ambos casos os resultados intermédios foram apresentados arredondando para 4 algarismos significativos, mas todos os cálculos foram feitos usando formato de vírgula flutuante com precisão dupla (16 algarismos significativos). A diferença está em que, apesar de o tempo que a bala demora em bater no chão aparecer igual nos dois casos (3.855 s) os valores internos em precisão dupla são diferentes, por terem sido usados métodos diferentes e o erro numérico é diferente nos dois casos.

O valor máximo da velocidade, atingido quando a bala bate no chão, é 34.55 m/s. Como esse valor é muito menor que a velocidade terminal (132 m/s), a solução obtida ignorando a resistência do ar não estará muito longe da solução verdadeira.

O teorema do trabalho e da energia cinética só contém uma parte da informação contida na segunda lei de Newton, já que a equação vetorial 6.1 são realmente 3 equações (uma para cada componente) agrupadas convenientemente em vetores. Contudo, é possível extrair as mesmas três equações a partir da energia cinética. Tendo em conta que:

então as três componentes cartesianas da equação 6.1 obtêm-se assim:

e de forma análoga para as componentes e . Esta equação é generalizada no capítulo 8 para qualquer outro sistema de coordenadas diferentes das cartesianas.

6.2. Forças conservativas

Uma força que depende unicamente da posição chama-se conservativa, se o integral de linha entre dois pontos nas posições e ,

dá o mesmo resultado, para qualquer percurso possível desde ate .

Assim sendo, é possível escolher um ponto arbitrário na posição e definir uma função que em qualquer ponto:

observe-se que com essa definição, na posição .

A função não pode ser definida quando o resultado do integral de linha em 6.14 não está bem definido, ou seja, quando o resultado é diferente usando diferentes percursos. A escolha do sinal negativo na definição é explicada mais à frente. A função tem unidades de energia e denomina-se energia potencial associada à força conservativa . A vantagem de definir energias potenciais é que é uma função escalar, mais simples do que a função vetorial , que permite caraterizar completamente a força; ou seja, dada uma energia potencial qualquer é possível encontrar a expressão da força associada.

Usando o teorema fundamental do cálculo vetorial, o integral de linha da força conservativa é igual a:

isto é:

Observe-se que o trabalho é igual à diminuição da energia potencial, e não o seu aumento, devido à escolha do sinal negativo na definição da energia potencial. observe-se também que a definição 6.14 implica que a energia potencial tem valor nulo na posição de referencia ; o efeito de usar diferentes escolhas do ponto de referencia é acrescentar ou subtrair uma constante a em todos os pontos, mas as diferenças de energia potencial, , são independentes do ponto usado como referencia. O valor numérico da energia potencial num ponto não tem nenhum significado físico; o que tem significado é a diferença dos valores da energia potencial em dois pontos.

Exemplo 6.2

Calcule o integral de linha da força , desde a origem O até o ponto P no plano , com coordenadas , usando os 3 percursos indicados na figura: C₁ é o segmento de reta (R com coordenadas , ), seguido pelo segmento de reta , C₂ é o segmento de reta (Q com coordenadas , ), seguido pelo segmento de reta e C₃ é o segmento de reta .

Resolução. A equação vetorial do segmento de reta é: , com . Como tal, o deslocamento infinitesimal ao longo desse segmento é

e o integral de linha nesse segmento é:

A equação do segmento é , , o deslocamento infinitesimal é , e o integral de linha nesse segmento é igual a:

O integral de linha no percurso C₁ é então igual a 1.5.

A equação do segmento é , , e o integral de linha nesse segmento é,

A equação do segmento é , , e o integral de linha nesse segmento é,

O integral de linha no percurso C₂ é então igual a 2.5.

No segmento , é igual a e, como tal, a equação do segmento é , . O integral de linha no percurso C₃ é então

Como o integral é diferente nos 3 percursos considerados, a força não é conservativa.

No exemplo 6.1 foi possível calcular o integral de linha do peso, sem conhecer a equação da trajetória parabólica da bala de canhão, nem ter de calcular a componente tangencial da força, porque como o peso é sempre na direção de , o produto escalar é sempre igual a , para qualquer deslocamento em qualquer direção, e o integral de linha reduz-se a um integral ordinário numa única variável.

Em geral, sempre que o produto escalar dependa de uma única variável, a força é conservativa porque o integral de linha reduz-se a um integral ordinário e o resultado depende apenas dos valores dessa variável, nas posições inicial e final. As secções seguintes mostram alguns exemplos.

6.2.2. Energia potencial elástica

Quando uma mola elástica é esticada ou comprimida, exerce uma força elástica nos dois extremos, no sentido que faz regressar a mola à sua forma original. Se é a elongação da mola, igual ao seu comprimento atual menos o comprimento que teria quando não estiver nem esticada nem comprimida, o valor absoluto de é diretamente proporcional a

(6.18)

onde é a constante elástica da mola. A equação 6.18 chama-se lei de Hooke.

A figura 6.2 mostra um procedimento usado para medir a constante elástica de uma mola. Pendura-se um objeto com peso , que estica a mola até ficar numa posição em que a força elástica equilibra o peso e mede-se a elongação; o valor da constante elástica é o peso usado, , dividido pela elongação.

Figura 6.3: Sistema com mola.

No sistema da figura 6.3, o cilindro pode deslocar-se ao longo de uma barra fixa e está ligado a uma mola com o outro extremo fixo num ponto fixo O. Em cada posição P do cilindro a elongação da mola considera-se positiva se a mola estiver esticada, ou negativa se a mola estiver comprimida; como tal, se o vetor aponta no sentido em que aumenta, o valor da força elástica é (faz diminuir quando é positiva ou aumentar quando é negativa). O produto escalar

(6.19)

depende unicamente da variável e, por isso, a força elástica é conservativa.

Usando como referência o valor (posição em que a mola não exerce nenhuma força) a energia potencial elástica é:

(6.20)

6.3. Energia mecânica

As forças que não são função unicamente da posição não são conservativas. Por exemplo a reação normal e a força de atrito estático sobre um corpo são reações, que dependem das condições em que se encontra o sistema; colocando o mesmo corpo na mesma posição de uma mesa, mas com diferentes objetos colocados por cima, a reação normal tem valores diferentes. A força de atrito cinético também não é conservativa. Depende da reação normal e também depende da direção do movimento (direção da velocidade).

No teorema do trabalho e a energia cinética (equação 6.5), a resultante das forças externas pode ser escrita como a resultante de todas as forças conservativas mais a resultante de todas as forças não conservativas.

o lado direito é a energia cinética na posição final menos a energia cinética na posição inicial: . O primeiro integral no lado esquerdo é igual à soma dos integrais de todas as forças externas conservativas que atuam no sistema e é igual à diminuição da energia potencial total:

onde é a soma de todas as energias potenciais que existam (gravítica, elástica, elétrica, etc.). Passando esses termos para o lado direito da equação obtém-se:

Define-se a energia mecânica igual à soma da energia cinética mais potencial, em qualquer posição da trajetória:

e a equação anterior é o teorema do trabalho e a energia mecânica

O integral no lado esquerdo é o trabalho realizado por todas as forças externas não conservativas, ao longo da trajetória; ou seja,

Uma consequência desse resultado é a lei de conservação da energia mecânica: quando todas as forças que realizam trabalho são conservativas, a energia mecânica do sistema permanece constante.

Observe-se que no integral do lado esquerdo da equação 6.27 o percurso de integração é a trajetória do corpo. Pode acontecer que a trajetória não seja conhecida previamente, mas de qualquer forma é uma curva única e bem definida. Se o integral de linha fosse calculado num percurso diferente à trajetória, o seu valor já não seria igual ao aumento da energia mecânica. O sinal negativo na definição da energia potencial prende-se ao fato de a energia mecânica ser definida como energia cinética mais potencial.

Observe-se ainda que, como a energia cinética nunca pode ser negativa, a energia mecânica (potencial mais cinética) em qualquer posição da trajetória é sempre maior ou igual que à energia potencial nessa posição.

6.3.1. Gráficos de energia

O gráfico da energia potencial total de todas as forças conservativas é muito útil na análise do movimento. A figura 6.4 mostra um exemplo; a curva a tracejado representa a energia potencial total do sistema, em função da posição na trajetória, . A reta contínua é a energia mecânica; como é uma reta com ordenada constante, conclui-se que há conservação da energia mecânica e as únicas forças que realizam trabalho são todas conservativas.

As regiões do gráfico onde a reta da energia mecânica está por debaixo da curva de energia potencial são posições onde o sistema nunca pode estar, porque a energia mecânica é sempre maior ou igual que a energia potencial. Por exemplo, no caso da figura 6.4, o corpo não pode nunca estar nas posições , ou . Para poder alcançar essas posições, seria necessário aparecer outra força não conservativa que faça aumentar a energia mecânica.

A equação 6.24 significa que é uma primitiva de , com sinal trocado. Assim sendo, conclui-se que

(6.28)

ou seja, nos intervalos do gráfico de onde a função é crescente, a resultante das forças conservativas aponta no sentido negativo de e nos intervalos onde é decrescente, a força conservativa resultante aponta no sentido positivo de .

No caso do exemplo da figura 6.4, nos intervalos e , onde a energia potencial é decrescente, a componente tangencial da força resultante é positiva, isto é, aponta no sentido em que a posição aumenta. Nos intervalos e a componente da força é negativa (aponta no sentido em que diminui). Nos pontos , e a componente tangencial da força conserrvativa resultante é nula. Esses pontos onde o valor da força é nulo, chamam-se pontos de equilíbrio.

A energia mecânica não pode ser menor que . A reta da energia mecânica corresponde a um valor de 2.25 unidades. Com essa energia mecânica, o corpo só pode estar a deslocar-se numa vizinhança do ponto , ou numa vizinhança do ponto 5.

Nos pontos em que a reta da energia mecânica do corpo corta a curva da energia potencial, a energia cinética é nula e, como tal, a corpo fica em repouso; no entanto, o corpo não permanece sempre em repouso nesses pontos, porque a força nesses pontos não é nula.

Por exemplo, se num instante o corpo está na posição , deslocando-se no sentido em que aumenta, continua a deslocar-se no mesmo sentido, até parar perto de ; nesse ponto a força aponta no sentido negativo de , o que faz com que o corpo regresse para o ponto , mas agora com velocidade no sentido negativo de . O corpo aproximar-se-á do ponto , onde o valor da sua velocidade será nula; nesse ponto, como a componente tangencial da força é no sentido positivo de , o corpo regressa à posição começando novamente o mesmo ciclo.

6.4. Movimento harmónico simples

Considere-se um carrinho de massa sobre uma superfície horizontal, ligado a uma mola com constante elástica , tal como mostra a figura 6.5. Se o atrito nos eixos das rodas, a massa das rodas e a resistência do ar são desprezadas, a única força que realiza trabalho é a força elástica da mola e há conservação da energia mecânica.

A trajetória é uma reta horizontal; escolhendo a origem O para medir a posição na trajetória, , na posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, a energia mecânica do sistema é,

A figura 6.6 mostra os gráficos da energia potencial e da energia mecânica constante. O carrinho oscila entre as duas posições e , onde a velocidade é nula, e cada vez que passa pela posição a energia cinética é máxima. O valor da amplitude do movimento oscilatório é , que depende do valor da energia mecânica; quanto maior for a energia, maior a amplitude.

A relação entre a amplitude e a energia mecânica obtém-se substituindo na equação 6.29:

A amplitude e a energia inicial não são valores caraterísticos do oscilador, mas são condições iniciais que dependem de como é colocado em movimento o sistema. A equação de movimento do sistema pode ser obtida aplicando a segunda lei de Newton, ou também derivando a expressão da energia mecânica (equação 6.29) em ordem ao tempo e resolvendo para a aceleração tangencial. O resultado é:

Resolvendo a equação cinemática , com condição inicial , obtém-se em função de

igualando essa expressão (no caso em que é positiva) à derivada e separando variáveis, obtém-se

onde o tempo é o instante em que o carrinho passa pela posição de equilíbrio . Calculando os integrais obtém-se a expressão para a posição em função do tempo

onde a constante , chamada frequência angular, é

e é uma constante que depende da escolha do instante em que é igual a zero. A frequência, que é o número de oscilações por unidade de tempo, é igual a,

e o período de oscilação é o inverso da frequência: .

A expressão 6.34 é a solução da equação diferencial . Qualquer outro sistema em que a segunda derivada da variável seja igual à variável vezes uma constante negativa, é chamado também um oscilador harmónico simples e a solução será semelhante a 6.34.

6.5. Energia cinética de rotação

No movimento de translação de um corpo rígido, em cada instante todas as partes do corpo deslocam-se com a mesma velocidade e, com tal, a energia cinética total é igual a um meio da massa total vezes o valor da velocidade ao quadrado. No caso mais geral do movimento de rotação sobreposto à translação, para calcular a energia cinética total será necessário ter em conta que as velocidades de diferentes partes do objeto são diferentes. Conforme foi demonstrado no capítulo 3, a velocidade de cada ponto no corpo, em função da velocidade angular e da velocidade de um ponto fixo no corpo rígido, é:

em que é a posição do ponto relativa ao ponto de referência O.

A energia cinética total obtém-se somando a energia de todas as partes infinitesimais do corpo rígido, com massa ,

O valor da velocidade ao quadrado é,

O módulo de é , em que é a distância desde o ponto até um eixo que passa pelo ponto O, paralelo a . Substituindo na expressão da energia cinética,

O integral no primeiro termo é igual à massa total . Como foi referido na secção sobre o centro de massa, o único referencial em que o valor médio do vetor posição é nulo (equação (5.15)) é o referencial em que a origem está exatamente no centro de massa. Assim sendo, se o ponto de referência O for o centro de massa, o terceiro integral será nulo e obtém-se

em que é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, paralelo a .

Exemplo 6.3

Uma esfera de massa e raio parte do repouso a uma altura numa rampa inclinada um ângulo com a horizontal. A esfera roda na rampa, sem deslizar. Determine o valor da aceleração angular da esfera e a velocidade do centro de massa quando a esfera chega ao fim da rampa.

Resolução. Como a esfera roda sem deslizar, o ângulo de rotação está relacionado com a posição do centro de massa C, de acordo com a expressão que foi obtida no capítulo 3 para rodas que rolam sem derrapar:

conclui-se então que o sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo que a esfera roda desde o instante inicial no topo do plano inclinado. O valor da velocidade angular é e o valor da velocidade do centro de massa é .

Escolhendo a posição no topo da rampa, com positivo no sentido em que a esfera desce e energia potencial gravítica nula em , em qualquer posição a esfera tem descido uma altura , em que é o ângulo de inclinação do plano inclinado. A energia mecânica total é,

Enquanto a esfera rode sem derrapar, a força de atrito com a superfície do plano é atrito estático, que não realiza trabalho. Ignorando a resistência do ar, a energia mecânica conserva-se e a sua derivada em ordem ao tempo é nula. Substituindo a expressão do momento de inércia da esfera em relação ao seu centro de massa, , na equação anterior, derivando em ordem ao tempo e igualando a zero, obtém-se

e a expressão para a aceleração angular é,

Como a esfera parte do repouso, no ponto inicial a sua energia cinética é nula e na parte mais baixa da rampa a energia cinética será igual à energia potencial gravítica inicial, 0, menos a energia gravítica final,

e a velocidade do centro de massa C no fim da rampa é

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

1. A posição de uma partícula em função do tempo é dada pela expressão (SI). Qual dos vetores na lista é perpendicular à trajetória da partícula no instante  s?
2. Sobre uma partícula atua uma força com direção, sentido e módulo constantes. O módulo da força é 1.6 N. Qual é o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca uma distância de 20 cm numa direção que faz 60° com a força?
   1. 0.28 J
   2. 160 mJ
   3. 0.68 J
   4. 28 J
   5. 16 J
3. Num oscilador harmónico simples formado por um corpo de massa pendurado duma mola vertical com constante elástica , se a massa for quadruplicada, qual das afirmações será correta?
   1. A frequência duplica.
   2. O período duplica.
   3. A amplitude duplica.
   4. A energia mecânica duplica.
   5. A energia potencial duplica.
4. A figura mostra o gráfico da energia potencial , de uma partícula em função da posição na trajetória, . Se a partícula está a oscilar à volta da posição , com energia mecânica igual a 2 J, qual é o valor máximo da sua energia cinética?
   
   
   1. −3 J
   2. 3 J
   3. 0
   4. 2 J
   5. 5 J
5. A figura mostra o gráfico da força tangencial resultante , conservativa, sobre uma partícula. Quantos pontos de equilíbrio existem na região apresentada no gráfico?
   
   
   1. 0
   2. 1
   3. 2
   4. 3
   5. 4

Problemas

1. Calcule o integral de linha da força do exemplo 6.2: , desde a origem O até o ponto P no plano , com coordenadas , em que o percurso de integração é o arco mais curto da circunferência (centro em , e raio 1), que passa pela origem e pelo ponto P.
2. A lei da gravitação universal estabelece que qualquer corpo celeste de massa produz uma força atrativa sobre qualquer outro corpo de massa , dada pela expressão:
   onde é a constante de gravitação universal, é a distância entre os dois corpos e é o versor radial, que aponta desde o corpo de massa até o corpo de massa . (a) Determine a expressão para a energia potencial gravítica devida ao corpo de massa . (b) Tendo em conta o resultado da alínea anterior, como se justifica a equação 6.17, , para a energia potencial gravítica de um objeto na Terra?
3. Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de altura, com velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a esticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia (desprezando forças dissipativas, até aqui a energia mecânica é constante). Finalmente o atleta estende os braços, aumentando a sua energia mecânica até o seu centro de gravidade subir a 5.8 m de altura, conseguindo ultrapassar a fasquia a 5.6 m. (a) Determine o trabalho realizado pelo saltador quando estende os braços. (b) Determine a força média que o saltador exerce sobre a vara na terceira fase.
4. Resolva o problema 7 do capítulo 4 aplicando o teorema do trabalho e a energia mecânica. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no bloco, é uma força conservativa ou não?
5. Num sistema como o da figura 6.5, o carrinho tem massa de 450 g. O carrinho é deslocado 5 cm da posição de equilíbrio e libertado a partir do repouso, começando a oscilar com um período de 1.2 s. Determine:
   (a) A amplitude das oscilações.
   (b) A constante elástica da mola.
   (c) A velocidade máxima do carrinho.
6. Um pêndulo simples é composto por uma esfera de massa , pendurada de uma corda muito fina, de comprimento e massa desprezável. Quando a esfera parte do repouso, há um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo que o fio faz com a vertical. (a) Determine a expressão para a energia mecânica, em função do ângulo e da sua derivada , arbitrando que a energia potencial é nula em . (b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica permanece constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão para em função do ângulo.
   
   
7. Uma esfera de raio roda, sem deslizar, dentro de uma calha semicircular de raio , que está num plano vertical (ver figura).
   (a) Demonstre que, em função da derivada do ângulo , a energia cinética da esfera é
   
   (b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica é constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão da aceleração angular em função do ângulo.
   (c) Entre que valores deve estar a energia mecânica para que a esfera permaneça oscilando dentro da calha?
   (d) A partir do resultado da alínea b, determine a expressão para , no limite quando o raio da esfera é muito menor que o raio da calha ( ) e explique porque o resultado é diferente do resultado obtido para o pêndulo simples no problema 6.
   
   
8. Um cilindro com massa de 80 g desliza a partir do repouso, no ponto A, até ao ponto B, devido a uma força externa constante de 60 N; o comprimento normal da mola é 30 cm e a sua constante elástica é 6 N/cm. Admitindo que não existe atrito com a barra fixa, calcule a velocidade com que o cilindro chega ao ponto B.
   
   
9. Resolva o problema 13 do capítulo 5 aplicando o princípio de conservação da energia mecânica.
10. Um cilindro desce uma rampa de altura , a partir do repouso, rodando à volta do seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade do centro de massa do cilindro quando chega ao fim da rampa. Compare com o resultado do exemplo 6.3 para uma esfera; qual dos dois corpos desce mais rápido, a esfera ou o cilindro?
11. Uma esfera pendurada com uma corda de comprimento parte do repouso na posição A, como mostra a figura. Quando a corda chega à posição vertical, entra em contacto com um prego fixo no ponto B, que faz com que a esfera descreva um arco de raio menor que . Calcule o valor mínimo que deve ter para que a trajetória da esfera seja uma circunferência com centro em B (se não for suficientemente grande, a corda deixa de estar esticada quando a esfera sobe e a esfera não chega até a parte mais alta do círculo).
    
    
12. Considere um projétil que é lançado desde o chão, num quarto onde existe vácuo, com uma velocidade inicial que faz um ângulo com a horizontal.
    (a) Calcule o tempo que o projétil demora até chegar ao ponto máximo da sua trajetória, onde a velocidade vertical é nula, e a posição nesse ponto.
    (b) Com base no resultado da alínea anterior, demonstre que o alcance horizontal do projétil (distância horizontal desde onde é lançado até onde cai) é igual a:
    (6.44)

Respostas

Perguntas: 1. C. 2. B. 3. B. 4. E. 5. D.

Problemas

2. (a)
   (b) Para um valor qualquer , a série de Taylor de é:
   O primeiro termo é uma constante, que pode ser ignorada; no segundo termo, se for o raio da Terra, será a altura desde a superfície da Terra e será igual à constante . Ignorando o resto da série, que para valores de muito menores que não altera significativamente a soma dos dois primeiros termos, obtém-se .
3. (a) 317.4 J (b) 686 N.
4. 24 696 N/m². A força do bloco não é conservativa, porque só atua quando o cone está a penetrar; se o cone voltasse a subir, após ter penetrado no bloco, o bloco já não produzia força sobre o cone.
5. (a) 5 cm. (b) 12.34 N/m. (c) 26.2 cm/s.
6. (a)    (b)
7. (a) Observe que a velocidade do centro de massa da esfera é e a condição de rodamento sem deslizamento implica que a velocidade angular da esfera é igual a essa velocidade dividida por . (b)
   (c) Maior que e menor que zero; se a energia mecânica é exatamente igual a , a esfera não oscila, mas permanece em repouso no ponto mais baixo da calha. (d) O valor absoluto de é menor num fator 5/7, devido a que parte da energia potencial gravítica é transformada em energia cinética de rotação da esfera. A energia cinética de rotação é sempre 2/5 da energia cinética de translação, independentemente do valor de ; assim sendo, no limite também 2/7 da energia gravítica são convertidos em energia de rotação e apenas os restantes 5/7 fazem aumentar .
8. 11.74 m/s.
9. 5.274 s⁻¹
10. . A esfera desce mais rápido que o cilindro, por ter menor momento de inércia.
12. (a) ,