7. Força magnética

William Gilbert (1544–1603)

Gilbert trabalhou como médico ao serviço da corte inglesa. Em 1600 publicou o primeiro tratado rigoroso sobre o magnetismo, De Magnete (título em latim que significa acerca do magnetismo). Gilbert reconhece a importância da experimentação direta e no seu livro descreve as muitas experiências que realizou. Entre os principais contributos conta-se a explicação do funcionamento da bússola e a conclusão de que a própria Terra é um íman com dois polos magnéticos. Gilbert descobre também que quando um íman é dividido em duas partes cada um dos fragmentos é outro íman com dois polos; estudou também a força elétrica e mostrou as diferenças com a força magnética entre ímanes.

A força magnética é também um tipo de força que atua a distância, sem necessidade de um meio nem de contacto, tal como a força gravítica e a força elétrica. Pode ser atrativa ou repulsiva, o que fez com que fosse confundida com a força elétrica desde a época dos gregos em que já eram conhecidas essas duas forças, até 1600, quando William Gilbert a identificou como uma força diferente da elétrica. Na Grécia antiga, as rochas extraídas das minas da região da Magnésia eram ímanes naturais que deram origem ao termo magnetismo.

Um íman tem sempre um polo norte e um polo sul. Aproximando dos polos opostos dois ímanes, surge uma força atrativa entre eles; entre polos semelhantes a força é repulsiva. A própria Terra é também um íman natural e, por isso, a bússola aponta na direção do polo norte geográfico. A bússola, que é também um pequeno íman tem dois polos e serve para definir qual dos polos é o polo norte e qual o sul num íman. O polo norte da bússola é o que aponta na direção do norte geográfico; se colocarmos a bússola próxima dum dos polos de outro íman, rodará e o polo desse íman será o oposto do polo da bússola que fica mais próximo dele.

Partindo um íman em vários pedaços menores, em cada pedaço aparecem um polo norte e um polo sul. É impossível obter um íman com unicamente um polo norte sul (não existem monopolos magnéticos). Essa é a maior diferença em relação à força elétrico, onde podem existir cargas positivas ou negativas por separado.

7.1 Campo magnético

Tal como no caso da força elétrica, a força magnética sobre um objeto pode ser descrita como a sua interação com o campo magnético existente na posição onde se encontra o objeto. Uma bússola roda e aponta na direção norte, devido à sua interação com o campo magnético terrestre. Em cada ponto define-se a direção das linhas de campo magnético na direção em que aponta a bússola e seguindo essas direções obtêm-se linhas contínuas que são as linhas de campo magnético.

Para obter as linhas de campo magnético produzidas por um íman retangular como o da figura 7.1, coloca-se uma pequena bússola em diferentes pontos próximos do íman. Define-se o sentido das linhas de campo como o sentido em que aponta o polo norte da bússola.

Figura 7.1: Linhas de campo magnético de um íman retangular, na direção em que aponta a bússola.

Em cada ponto define-se o vetor de campo magnético, $\overrightarrow{B}$, tangente às linhas de campo e na direção em que estas apontam. As linhas de campo saem do polo norte e entram no polo sul. Observe-se que as linhas de campo continua dentro do íman e fecham-se sobre si próprias. Um ponto onde houvessem linhas de campo a convergir ou divergir em todas as direções implicaria um monopolo magnético, que nunca foram observados.

O facto de as linhas de campo serem fechadas também implica que o campo magnético não é conservativo, já que o integral de linha ao longo duma das linhas de campo fechadas será diferente de zero, porque a componente do campo na sua própria direção é o seu módulo, positivo; como vimos, num campo conservativo o integral de linha numa curva fechada tem de ser nulo.

Se a bússola usada na figura 7.1 é suficientemente pequena, ao longo do seu comprimento as linhas de campo do íman são aproximadamente constantes, i.e., o campo magnético é aproximadamente uniforme nessa região. Nesse caso a bússola roda mas não é atraída para o íman. A situação é análoga à de um dipolo elétrico dentro de um campo elétrico uniforme, em que a força elétrica total sobre o dipolo é nula, mas há binário que faz rodar o dipolo (ver problema 3.11, do capítulo 3).

Para definir a intensidade do campo magnético em cada ponto é necessário algum objeto pequeno no que atue força magnética suficientemente elevada para poder ser medida. Um pequeno íman não serve, mas felizmente uma partícula com carga elétrica, em movimento, sofre força magnética numa região onde existe campo magnético.

Experimentalmente observam-se as seguintes caraterísticas da força magnética sobre uma partícula de carga $q$ com velocidade $\overrightarrow{v}$, num ponto onde passa uma linha de campo magnético:

1. Mantendo a direção da velocidade constante e mudando o seu módulo, $v$, observa-se que a força é diretamente proporcional a $v$.

2. Mantendo o módulo da velocidade constante e mudando a sua direção, a força é máxima quando a velocidade é perpendicular à linha de campo magnético e nula se $\overrightarrow{v}$ tem direção paralela à linha de campo. De forma mais precisa, observa-se que a força é diretamente proporcional a $\sin \theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre a velocidade e a direção da linha de campo.

3. A força sobre diferentes partículas com a mesma velocidade $\overrightarrow{v}$ mas com cargas $q$ diferentes é diretamente proporcional a $|q|$ e a força sobre partículas de sinais opostos é em sentidos opostos.

4. A direção e sentido da força são dados pela regra da mão direita como mostra a figura 7.2, i.e., a força é perpendicular tanto a $\overrightarrow{v}$ como a $\overrightarrow{B}$ e, no caso de uma carga positiva, é na direção que aponta o dedo polegar da mão direita quando os outros dedos rodam de $\overrightarrow{v}$ para $\overrightarrow{B}$. Ou também, estendendo os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, de forma a formarem 90° entre si como os 3 eixos coordenados, se o indicador aponta no sentido de $\overrightarrow{v}$ e o dedo médio no sentido de $\overrightarrow{B}$, o sentido da força sobre uma partícula de carga positiva é no sentido em que aponta o polegar.

Figura 7.2: Força magnética sobre uma carga pontual positiva.

Como o módulo da força magnética é diretamente proporcional a $v$, $|q|$ e $\sin \theta$, o seu módulo é,

$$F_{\mathrm{m}}=B|q|v\sin \theta$$ (7.1)

onde $B$ é a constante de proporcionalidade usada para definir o módulo do campo magnético.

Assim definido, o campo magnético tem unidades de força sobre carga e sobre velocidade. No Sistema Internacional de unidades usa-se o tesla (T), igual a:

$$1\mathrm{T}=1\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}}=1\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}$$ (7.2)

Um campo de um tesla é muito forte. Outra unidade usada habitualmente é o gauss (G), definido como:

$$1\mathrm{G}={10}^{-4}\mathrm{T}$$ (7.3)

Tendo em conta a expressão (7.1) e a regra da mão direita para definir o sentido da força sobre cargas pontuais, a expressão vetorial da força magnética sobre uma carga pontual é;

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=q\left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)$$ (7.4)

onde $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ é o produto vetorial dos vetores $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{B}$. Se a carga for positiva, ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}$ terá a direção e sentido do produto vetorial $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$; se a carga for negativa, a força terá a direção de $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, mas no sentido oposto.

7.2 Força de Lorentz

A força sobre uma partícula pontual de carga $q$, num ponto onde há campo elétrico $\overrightarrow{E}$ e campo magnético $\overrightarrow{B}$ é dada pela expressão,

$$\overrightarrow{F}=q\left(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)$$ (7.5)

designada de força de Lorentz. A combinação do campo elétrico e do campo de induçaõ magnética permite produzir movimentos muito variados.

Em geral, a força de Lorentz pode ter componentes nas direções tangencial e normal da trajetória da partícula (ver figura 7.3). A força magnética é sempre no plano perpendicular à direção tangencial. Qualquer mudança do módulo de $\overrightarrow{v}$, devida à aceleração tangencial, será produzida unicamente pelo campo elétrico, porque o termo $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, sendo perpendicular a $\overrightarrow{v}$, não tem componente tangencial. A mudança da direção da velocidade, devida à aceleração normal, pode ser originada pelo campo elétrico ou pelo campo magnético, ou por ambos.

Figura 7.3: Direções tangencial e normal à trajetória de uma partícula.

Numa região em que as linhas de campo magnético sejam paralelas, o campo será uniforme. Como $\overrightarrow{B}$ é perpendicular a $\overrightarrow{v}$ e à $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, por vezes será conveniente representar as linhas de campo perpendiculares ao plano da figura. Se a linha de campo na direção dos nossos olhos para o plano da figura, representa-se com um x, que faz lembrar um seta a fastar-se de nós. Um ponto representa uma linha de campo que da figura para os nossos olhos (seta a aproximar-se de nós).

A força de Lorentz pode conduzir a vários tipos de trajetórias diferentes. Nas próximas secções veremos alguns exemplos, admitindo que a velocidade da partícula não seja muito elevada para que possa ser usada a mecânica clássica.

7.2.1 Movimento num campo magnético uniforme

Consideremos uma partícula de carga $q$ e massa $m$ numa região onde não existe campo elétrico, mas existe campo magnético uniforme. Podemos escolher o eixo $z$ na direção e sentido do campo e, como tal, o campo é $\overrightarrow{B}=B\hat{k}$ onde $B$ é uma constante. A força magnética em função das componentes cartesianas da velocidade da partícula é:

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=qB\left(v_x\hat{ı}+v_y\hat{ȷ}+v_z\hat{k}\right)\times \hat{k}=qB\left(v_y\hat{ı}-v_x\hat{ȷ}\right)$$ (7.6)

e a segunda lei de Newton ($\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}/m$) conduz a

$$v_x^{\prime }\hat{ı}+v_y^{\prime }\hat{ȷ}+v_z^{\prime }\hat{k}=\frac{qB}{m}\left(v_y\hat{ı}-v_x\hat{ȷ}\right)$$ (7.7)

onde as linhas nas variáveis ao lado esquerdo da equação indicam derivada em ordem ao tempo. A equação vetorial anterior é equivalente a 3 equações para as 3 componentes. Para simplificar a resolução dessas equações vamos definir uma constante positiva,

$$\omega =\frac{|q|B}{m}$$ (7.8)

e vamos admitir carga positiva ($q=|q|$), mas depois de resolver as equações discutiremos o caso de carga negativa. As 3 equações para as derivadas das componentes da velocidade são:

$$v_x^{\prime }=\omega v_y\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{v}_y^{\prime }=-\omega v_x\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{v}_z^{\prime }=0$$ (7.9)

A solução da terceira equação é que a componente $v_z$ permanece constante, igual ao seu valor inicial; para já admitiremos que essa velocidade é nula e mais à frente veremos o caso geral. Para resolver as outras duas equações, deriva-se a primeira em ordem ao tempo, ficando no lado direito $v_y^{\prime }$ que é substituída usando a segunda equação:

$$v_x^{\prime \prime }=-{\omega }^2{v}_x$$ (7.10)

Por ser uma equação diferencial linear de segunda ordem, deverão existir duas funções diferentes que sejam soluções particulares e a solução geral é a combinação linear dessas duas funções. Neste caso é fácil ver que duas funções diferentes que derivadas duas vezes dão a mesma função inicial multiplicada por $-{\omega }^2$ são $\sin (\omega t)$ e $\cos (\omega t)$. A solução geral é:

$$v_x=C_1\sin (\omega t)+C_2\cos (\omega t)$$ (7.11)

onde $C_1$ e $C_2$ são duas constantes. A solução geral para $v_y$, de acordo com a primeira equação (7.9), é a derivada de $v_x$, dividida por $\omega$:

$$v_y=C_1\cos (\omega t)-C_2\sin (\omega t)$$ (7.12)

As constantes $C_1$ e $C_2$ encontram-se a partir da velocidade inicial em $t=0$. Como $v_x(0)=C_2$ e $v_y(0)=C_1$, se escolhermos os eixos $x$ e $y$ de forma que a velocidade inicial tenha apenas componente $x$ e não componente $y$, então $v_x(0)=v$, $v_y(0)=0$ e as constantes são $C_1=0$, $C_2=v$. Escrita de forma vetorial, a solução que encontramos para a velocidade é,

$$\overrightarrow{v}=v\left[\cos (\omega t)\hat{ı}-\sin (\omega t)\hat{ȷ}\right]$$ (7.13)

observe-se que o módulo da velocidade permanece constante, igual ao seu valor inicial, e o vetor velocidade $\overrightarrow{v}$ roda em sentido horário, com frequência angular constante igual a $\omega$ (equação (7.8)). Isso mostra que o movimento da partícula é circular uniforme. Se a carga fosse negativa, $|q|=-q$ e bastaria substituir $\omega$ por $-\omega$, o que conduz a movimento circular no sentido anti-horário. No campo magnético uniforme todas as cargas pontuais descrevem movimento circular uniforme com frequência angular $\omega =|q|B/m$, chamada frequência de ciclotrão, porque este tipo de movimento foi aproveitado num dos primeiros aceleradores de partículas chamado ciclotrão. A frequência do movimento circular uniforme é,

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{|q|B}{2\pi m}$$ (7.14)

A frequência $f$, igual ao número de voltas completas por unidade de tempo, tem unidades de inverso do tempo. A unidade SI de frequência é o hertz, em homenagem a Heinrich R. Hertz (1857–1894), representada pelo símbolo Hz e equivalente a s${}^{-1}$. A frequência angular $\omega$ tem unidades de radianos sobre tempo.

As partículas de carga positiva rodam num sentido e as de carga negativa no sentido oposto. Para determinar o raio das trajetórias circulares, encontraremos a expressão do vetor posição de forma análoga a como calculamos o vetor velocidade. A derivada do vetor posição deverá ser igual à expressão (7.13) do vetor velocidade:

$$x^{\prime }\hat{ı}+y^{\prime }\hat{ȷ}+z^{\prime }\hat{k}=v\left[\cos (\omega t)\hat{ı}-\sin (\omega t)\hat{ȷ}\right]$$ (7.15)

equivalente às três equações,

$$x^{\prime }=v\cos (\omega t)\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{y}^{\prime }=-v\sin (\omega t)\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{z}^{\prime }=0$$ (7.16)

a terceira equação indica que $z$ permanece constante e pode ser escolhida igual a zero. As primitivas das duas primeiras equações são:

$$x=\frac{v}{\omega }\sin (\omega t)+C_3\mathit{\hspace{1em}}y=\frac{v}{\omega }\cos (\omega t)+C_4$$ (7.17)

em que as constantes $C_3$ e $C_4$ dependem da posição inicial, $(x(0),y(0))=(C_3,v/\omega +C_4)$. Podemos escolher a origem de forma a que a posição inicial seja $(x(0),y(0))=(0,v/\omega )$ e, como tal, as duas constantes sejam nulas. O vetor posição é:

$$\overrightarrow{r}=\frac{v}{\omega }\left[\sin (\omega t)\hat{ı}+\cos (\omega t)\hat{ȷ}\right]$$ (7.18)

que é perpendicular a $\overrightarrow{v}$, roda no sentido horário e tem módulo constante $v/\omega$. Como tal, o raio da trajetória circular é

$$r=\frac{v}{\omega }$$ (7.19)

Se a carga $q$ for negativa, substituindo $\omega$ por $-\omega$ na equação (7.18) fica,

$$\overrightarrow{r}=\frac{v}{\omega }\left[\sin (\omega t)\hat{ı}-\cos (\omega t)\hat{ȷ}\right]$$ (7.20)

em que a origem foi definida de forma a que a posição inicial seja $(0,-v/\omega )$. A figura 7.4 mostra as trajetórias circulares, no plano $xy$, no caso de carga positiva ou negativa.

Figura 7.4: Carga pontual num campo $\overrightarrow{B}$ uniforme e para fora da figura.

Se a componente $z$ da velocidade inicial não for nula, como essa componente permanece constante, o movimento será a sobreposição do movimento circular uniforme, com frequência angular $\omega =|q|B/m$ e raio igual à componente da velocidade no plano $xy$ dividida por $\omega$, mais movimento uniforme na direção $z$. A trajetória resultante é uma hélice (ver figura 7.5), com eixo paralelo ao campo magnético, em que a partícula roda com a frequência angular de ciclotrão (equação (7.8)) enquanto se desloca no sentido do campo com velocidade constante $v_{\parallel }$ (componente da velocidade paralela ao campo). A hélice envolve um cilindro com raio igual ao raio do movimento circular na projeção no plano perpendicular ao campo:

$$r=\frac{v_{⟂}}{\omega }=\frac{m{v}_{⟂}}{|q|B}$$ (7.21)

onde $v_{⟂}$ é a componente da velocidade perpendicular ao campo.

Figura 7.5: Movimento ao longo de uma hélice, em que há campo magnético uniforme e não há campo elétrico.

Num campo magnético não uniforme, as partículas com carga descrevem hélices que seguem as linhas de campo magnético, com frequência maior e raio menor nas regiões onde o campo é mais forte. Na atmosfera terrestre, as partículas dos raios cósmicos seguem as linhas de campo magnético até os polos, onde chocam entre si dando origem às auroras boreais no polo norte e às auroras austrais no polo sul.

Exemplo 7.1

Em vários dispositivos em que são aceleradas partículas usando uma diferença de potencial, e.g., osciloscópios e microscópios eletrónicos, as partículas que passam por um pequeno orifício (O na figura) após serem aceleradas, têm todas a mesma componente $v$ da velocidade ao longo do eixo $z$, mas podem ter também uma componente da velocidade perpendicular ao eixo $z$, formando um feixe que diverge do ponto O. Todas as partículas têm a mesma massa $m$ e a mesma carga $q$. Para focar o feixe num ponto a uma distância $p$ da origem O, usa-se um campo magnético uniforme, na direção do eixo $z$. Mostre que de facto o feixe converge e encontre o módulo do campo magnético para que o ponto onde convergem esteja à distância $p$ da origem.

Resolução. Dependendo da componente perpendicular da velocidade, as partículas seguem por hélices diferentes. Mas como a frequência angular de ciclotrão (equação (7.8)) não depende da velocidade, todas as partículas rodam nas hélices com a mesma frequência e o mesmo período:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi m}{|q|B}$$

Após completarem cada volta na hélice, as partículas passam novamente pelo eixo $z$. Como a componente $z$ da velocidade de cada partícula permanece constante, a posição $z$ onde uma partícula completa a sua primeira volta é essa componente da velocidade vezes o período:

$$z=vT=\frac{2\pi mv}{|q|B}$$

que é igual para todas as partículas no feixe. Como tal, todas as partículas convergem no eixo $z$ após o tempo $T$ (e $2T$, $3T$, etc.). Para que esse ponto esteja à distância $p$ da origem, o valor do módulo do campo magnético deverá ser:

$$B=\frac{2\pi mv}{|q|p}$$

(poderia ser também o dobro, o triplo, etc.).

A figura seguinte mostra o movimento de três partículas que passam por O: a partícula 1 com componente perpendicular da velocidade inicial no sentido negativo do eixo $x$, a partícula 2 sem velocidade perpendicular a $z$ e a partícula 3 com componente perpendicular da velocidade inicial no sentido positivo do eixo $x$.

A figura mostra também as projeções dos movimentos das partículas 1 e 3 no plano $xy$, perpendicular ao campo magnético, que são círculos com raios diferentes.

7.2.2 Espetrómetro de massa

Uma aplicação prática do movimento circular de partículas num campo magnético uniforme é o espetrómetro de massa, usado para determinar a massa atómica das moléculas que compõem um gás. A figura 7.6 ilustra o espetrómetro inventado por Arthur J. Dempster, em 1918.

Figura 7.6: Espetrómetro de massa de Dempster.

O espetrômetro da figura 7.6 é um contentor hermético e com vácuo, composto por um tubo isolador, entre os pontos P e Q, e uma caixa metálica. Os átomos ou moléculas são ionizados e inseridos no ponto P. Entre o ponto P e a caixa metálica liga-se uma f.e.m. $\epsilon$ que acelera os iões no tubo isolador até à entrada da caixa no ponto Q. No interior da caixa metálica (condutor fechado) não existe campo elétrico, mas há campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}$, perpendicular à trajetória dos iões e com módulo que pode ser ajustado até que os iões com uma determinada massa descrevam a trajetória semi-circular entre P e R, sendo detectados num medidor de corrente iónica em R.

A distância $\overline{\mathrm{QR}}$ é duas vezes o raio da trajetória circular. Tendo em conta que a carga dos iões é a carga elementar $e$ e combinando as equações (7.8) e (7.21) a relação entre a velocidade dum ião na caixa metálica e o campo magnético é,

$$v=\frac{eB\overline{\mathrm{QR}}}{2m}$$ (7.22)

Admitindo que os iões partem do repouso em P, a energia cinética com que entram na caixa é igual à energia potencial elétrica, $e\epsilon$:

$$\frac{1}{2}m{v}^2=e\epsilon$$ (7.23)

Substituindo a expressão de $v$ obtida na equação (7.22) obtém-se a massa do ião em função dos parámetros do espetrómetro e do módulo do campo:

$$m=\frac{e{B}^2{\overline{\mathrm{QR}}}^2}{8\epsilon }$$ (7.24)

7.2.3 Campos perpendiculares e uniformes

No caso em que há campos elétrico e magnético, ambos uniformes e perpendiculares entre si, podemos definir o eixo $z$ na direção e sentido do campo magnético e o eixo $y$ na direção e sentido do campo elétrico. A força de Lorentz (7.5) em função das componentes cartesianas da velocidade da partícula é:

$$\overrightarrow{F}=qE\hat{ȷ}+qB\left(v_y\hat{ı}-v_x\hat{ȷ}\right)$$ (7.25)

Admitiremos que $q$ é positiva e usaremos a definição (7.8) da frequência de ciclotrão. No caso da carga negativa bastará trocar o sinal da frequência. O vetor aceleração é,

$$\overrightarrow{a}=\omega \left[v_y\hat{ı}+\left(\frac{E}{B}-v_x\right)\hat{ȷ}\right]$$ (7.26)

e as três equações diferenciais das componentes da velocidade são,

$$v_x^{\prime }=\omega v_y\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{v}_y^{\prime }=\omega \left(\frac{E}{B}-v_x\right)\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{v}_z^{\prime }=0$$ (7.27)

Um caso simples é quando a velocidade inicial da partícula é:

$$\overrightarrow{v}=\frac{E}{B}\hat{ı}$$ (7.28)

que faz com que a aceleração seja nula e, como tal, o movimento é retilíneo e com velocidade constante. Este resultado é usado num dispositivo chamado filtro de velocidades. Trata-se de selecionar as partículas com um valor específico da velocidade, num feixe de partículas todas com velocidade na mesma direção mas com módulos diferentes.

Estabelece-se um campo elétrico uniforme, de módulo $E$, perpendicular à velocidade das partículas, e um campo magnético uniforme perpendicular à velocidade das partículas e ao campo elétrico, com módulo $B$ tal que $E/B$ seja igual ao valor da velocidade que vai ser selecionada (ver figura 7.7).

Figura 7.7: Filtro de velocidades.

Coloca-se uma barreira no filtro, de maneira que unicamente as partículas que se deslocam em linha reta (com velocidade $E/B$) logrem ultrapassar a barreira. As partículas com outras velocidades diferentes seguirão uma trajetória curva; as cargas representadas na figura são positivas, de maneira que se a velocidade for superior a $E/B$, a força magnética, para baixo, é superior à força elétrica, para cima; e se a velocidade for menor que $E/B$, a força elétrica, para cima, é superior à força magnética, para baixo.

A solução geral das equações (7.27) é obtida usando o mesmo método usado na secção 7.2.1. Deriva-se a primeira equação em ordem ao tempo e substitui-se $v_y^{\prime }$ usando a segunda equação:

$$v_x^{\prime \prime }={\omega }^2\left(\frac{E}{B}-v_x\right)$$ (7.29)

Com a substituição $u=v_x-E/B$, a equação diferencial obtida para $u$ é a mesma equação (7.10) (equação do oscilador harmónico simples) com a mesma solução geral (7.11), mas para $u$ em vez de $v_x$. Como tal, a solução geral das equações (7.27) é:

$$\{\begin{array}{cc}{v}_x=C_1\sin (\omega t)+C_2\cos (\omega t)+\frac{E}{B}\hfill & \\ v_y=C_1\cos (\omega t)-C_2\sin (\omega t)\hfill & \\ v_z=C_3\hfill & \end{array}$$ (7.30)

($v_y$ obteve-se derivando $v_x$ e dividindo por $\omega$) onde $C_1$, $C_2$ e $C_3$ são três constantes que dependem da velocidade inicial. Se a partícula parte do repouso, $C_1=C_3=0$ e $C_2=-E/B$. O movimento é então no plano $xy$ e as componentes da velocidade são,

$$v_x=\frac{E}{B}\left[1-\cos (\omega t)\right]\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{v}_y=\frac{E}{B}\sin (\omega t)$$ (7.31)

O vetor velocidade pode escrever-se como a soma de duas velocidades:

$$\overrightarrow{v}=\frac{E}{B}\hat{ı}+\frac{E}{B}\left[-\cos (\omega t)\hat{ı}+\sin (\omega t)\hat{ȷ}\right]$$ (7.32)

O primeiro termo corresponde a translação no sentido positivo de $x$, com velocidade uniforme $E/B$, e o segundo termo é uma rotação, no sentido anti-horário, com frequência angular constante $\omega$ e módulo constante $E/B$. O movimento é então semelhante ao movimento dum ponto na periferia de uma roda que se desloca para a direita com velocidade $E/B$; em relação ao eixo da roda, o ponto roda no sentido anti-horário, com velocidade tangencial $E/B$, enquanto o eixo desloca-se para a direita com velocidade $E/B$. Nos instantes em que o ponto toca o chão, a sua velocidade é nula; a seguir o ponto acelera e tem velocidade máxima, $2E/B$, para a direita, quando estiver mais afastado do chão. A curva resultante é uma cicloide (figura 7.8. As coordenadas da posição da partícula em função do tempo são as primitivas das expressões (7.31) e as constantes de integração podem ser definidas de forma a que a posição inicial seja a origem:

$$x=\frac{E}{\omega B}\left[\omega t-\sin (\omega t)\right]\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}y=\frac{E}{\omega B}\left[1-\cos (\omega t)\right]$$ (7.33)

Figura 7.8: Movimento a partir do repouso numa região com campos elétrico e magnético uniformes e perpendiculares.

7.3 Força magnética sobre condutores com corrente

Quando um condutor, que transporta corrente, se encontra numa região onde existe um campo magnético, o movimento das suas cargas de condução dá origem a forças magnéticas que atuam sobre o próprio condutor (ver figura 7.9).

Figura 7.9: Força magnética sobre os portadores de carga de um condutor sujeito a um campo magnético.

A força magnética média sobre cada carga de condução do condutor é o produto vetorial do vetor velocidade média das cargas de condução $\overrightarrow{v}$ pelo campo magnético $\overrightarrow{B}$ a que estão sujeitas, multiplicado pelo valor $q$ de cada carga. O elemento infinitesimal de força magnética sobre um comprimento infinitesimal de fio $\mathrm{d}s$, possuindo um número infinitesimal de cargas de condução $\mathrm{d}N$, é então dado por:

$$\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=q(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\mathrm{d}N$$ (7.34)

Como $\mathrm{d}s$ é um comprimento infinitesimal, pode-se admitir que o campo $\overrightarrow{B}$ é constante neste. A carga total de condução no comprimento infinitesimal de fio, $q\mathrm{d}N$, é igual ao produto da densidade volúmica de cargas de condução, $\rho$, pelo volume do comprimento infinitesimal de fio:

$$q\mathrm{d}N=\rho A\mathrm{d}s$$ (7.35)

onde $A$ é a área da secção transversal do fio. Como tal, temos que:

$$\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=A\rho (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\mathrm{d}s$$ (7.36)

sendo que produto $\rho \overrightarrow{v}$ é o valor médio da densidade de corrente eléctrica, $\overrightarrow{J}$, cujo módulo multiplicado pela área da secção transversal, $A$, é igual ao valor da corrente eléctrica $I$ que percorre o fio.

O vetor deslocamento infinitesimal $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$ ao longo do fio possui módulo igual a $\mathrm{d}s$ e é tangente ao fio, possuindo portanto a direção e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica $\overrightarrow{J}$, ou seja, $\mathrm{d}\overrightarrow{r}=\mathrm{d}s\hat{J}$, onde $\hat{J}$ é o versor do vetor densidade de corrente elétrica. Assim, o elemento infinitesimal de força magnética, expressão (7.36), em função da corrente e do vetor deslocamento infinitesimal, escreve-se como:

$$\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=I\mathrm{d}\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{B}$$ (7.37)

A força magnética total sobre o fio obtém-se integrando a força infinitesimal, expressão (7.37), ao longo do fio entre a sua extremidade inicial A e a sua extremidade final B. Tendo em conta que a intensidade da corrente é constante ao longo do fio, obtemos então que:

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=I{\int }_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}(\mathrm{d}\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{B})$$ (7.38)

No caso particular de um fio retilíneo de comprimento $\mathrm{\ell }$ percorrido por uma corrente elétrica $I$ e sujeito a um campo $\overrightarrow{B}$ uniforme, obtém-se:

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=I\left({\int }_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}d\overrightarrow{r}\right)\times \overrightarrow{B}$$ (7.39)

Notando que neste caso ${\int }_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}d\overrightarrow{r}=\mathrm{\ell }\hat{J}$, a força magnética sobre o fio é dada por:

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=\mathrm{\ell }\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{B}$$ (7.40)

onde o vetor corrente elétrica é dado por $\overrightarrow{I}=I\hat{J}$, possuindo módulo igual à corrente elétrica $I$ e a direção e o sentido desta. Observe-se que a força magnética sobre o fio, expressão (7.40), possui módulo dado por:

$$|{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}|=\mathrm{\ell }I|\overrightarrow{B}|\sin \theta$$ (7.41)

onde $\theta$ é o ângulo entre o campo magnético e o fio. Vemos pois que quando o campo magnético é paralelo ao fio a força magnética é nula e que quando o campo é perpendicular ao fio a força magnética é máxima.

Exemplo 7.2

Uma espira retangular por onde circula corrente de intensidade $I$, no sentido indicado na figura, tem uma aresta de comprimento $a$ dentro de uma região onde há campo magnético uniforme, de módulo $B$, para dentro da figura. Na aresta oposta, fora da região com campo, está pendurado na vertical um objeto de massa $m$. Que valor deverá ter a intensidade da corrente para que o sistema esteja em equilíbrio?

Resolução. Usando a equação (7.40) para fios retilíneos, a força magnética na aresta de comprimento $a$ dentro do campo aponta para cima e tem módulo,

$$F_{\mathrm{m}}=aIB$$

Para equilibrar o peso do objeto, $mg$, para baixo, a corrente deverá ser:

$$I=\frac{mg}{aB}$$

Na parte das duas arestas laterais da espira que estão dentro do campo magnético também há força magnética, na direção horizontal; as forças nas duas arestas são opostas e anulam-se.

7.4 Momento magnético

Uma espira tal como a do exemplo 7.2, é um fio condutor que forma um circuito fechado e por onde pode circular corrente, por exemplo, a espira circular no lado esquerdo da figura 7.10. O fio não é completamente fechado, mas em alguns pontos terá uma entrada e uma saída, ligadas a uma fonte que fornece a corrente. No entanto, será representada como se fosse um circuito fechado com corrente a circular por ela. Um fio condutor enrolado em várias voltas é uma bobina, tal como a bobina cilíndrica no lado direito da figura 7.10. Pode considerar-se como se cada volta fosse uma espira, todas elas com a mesma corrente.

Figura 7.10: Espira circular (esquerda) e bobina cilíndrica (direita).

Na espira do exemplo 7.2 há força magnética para cima, porque uma das arestas está fora do campo magnético. Se a espira estiver completamente dentro da região onde há campo magnético uniforme, as forças magnéticas nas arestas anulam-se e a força resultante é zero. No entanto haverá um binário que faz rodar a espira; para calcular esse binário consideremos a espira retangular da figura 7.11, dentro de uma região onde há campo magnético uniforme de baixo para cima.

Figura 7.11: Espira dentro de um campo magnético uniforme.

As forças nas duas arestas laterais são iguais, de sentidos opostos e anulam-se porque estão na mesma linha de ação que passa pelo centro da espira. Na aresta de cima atua força magnética para fora da figura e na aresta de baixo atua força do mesmo módulo mas para dentro da figura. A resultante dessas forças, iguais opostas e co linhas de ação paralelas produzem um binário (tendência a rodar, sem deslocamento). O módulo de cada uma dessa forças é,

$$F_{\mathrm{m}}=IB\mathrm{\Delta }x$$ (7.42)

E o momento do binário, igual ao módulo das forças opostas vezes a distância entre as linhas de ação é:

$$M=IB\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$$ (7.43)

o produto $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$ é igual à área $A$ da espira.

Na figura 7.11 a espira está no mesmo plano da figura. Como a força na aresta de cima é para fora da figura e a força na aresta de baixo é para dentro da figura, a espira roda de forma que a aresta de cima fica por cima do plano da figura e a aresta de baixo mais para dentro do plano da figura. A distância entre as linhas de ação das forças diminui para $\mathrm{\Delta }y\cos \theta$, em que $\theta$ é o ângulo que a espira rodou. O momento do binário é agora,

$$M=IBA\cos \theta$$ (7.44)

Define-se o versor normal $\hat{n}$ da espira, perpendicular ao seu plano e no sentido da regra da mão direita segundo a direção da corrente. Na espira da figura 7.11 a direção da corrente implica versor normal para dentro da figura. O ângulo $\theta$ que o plano da espira roda em relação às linhas de campo, implica um ângulo $\pi /2-\theta$ entre o versor normal $\hat{n}$ e as linhas de campo. Como tal, $B\cos \theta =|\hat{n}\times \overrightarrow{B}|$ e o momento do binário escreve-se de forma vetorial:

$$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}$$ (7.45)

onde o vetor $\overrightarrow{m}$, chamado momento magnético da espira, te módulo igual ao produto da sua área vezes a intensidade da corrente e direção do versor normal:

$$\overrightarrow{m}=AI\hat{n}$$ (7.46)

Uma espira com qualquer forma e tamanho pode ser aproximada pela soma de várias espiras retangulares infinitesimais, com as da figura 7.11. Como tal, a expressão (7.46) do momento magnético é geral para qualquer tipo de espira plana e o momento de binário quando a espira fora colocada num campo magnético uniforme é dado pela equação (7.45). O momento magnético $\overrightarrow{m}$ é perpendicular ao plano da espira e na direção da regra da mão direita segundo o sentido da corrente, como mostra a figura 7.12: o polegar da mão direita define o sentido de $\overrightarrow{m}$, quando os outros quatro dedos rodam no sentido da corrente na espira.

Figura 7.12: Definição do momento magnético de uma espira.

O momento magnético de uma bobina é a soma dos momentos magnéticos de todas as suas espiras. Se a bobina tiver $N$ espiras, todas com a mesma área $A$, o seu momento magnético é $\overrightarrow{m}=NIA\overrightarrow{n}$.

A equação (7.46) pode ser generalizada ao caso em que o campo magnético não é uniforme, dividindo a espira em pequenos pedaços com momento magnético infinitesimal $\mathrm{d}\overrightarrow{m}$ e admitindo que o campo em cada espira infinitesimal é constante; a soma de todas as contribuições conduz ao momento do binário total igual ao integral de $\mathrm{d}\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}$ na superfície delimitada pela espira.

O momento do binário produzido pelo campo magnético é o princípio usado nos motores elétricos. A figura 7.13 mostra um mostor de corrente contínua. A bobina do motor está fixa a um eixo que lhe permite rodar e é atravessada por um campo magnético produzido por ímanes fixos. Os dois terminais da bobina ligam-se a um comutador que roda juntamente com a bobina. O comutador é um cilindro com dois setores metálicos isolados a fazer contato com os dois terminais $+$ e $-$ ligados a uma f.e.m. No instante mostrado a figura, terminais positivo e negativo produzem corrente na direção que faz com que o momento magnético da bobina aponte para cima.

Figura 7.13: Motor de corrente contínua.

Como o campo magnético aponta para o lado, a bobina roda com a velocidade angular $\omega$ no sentido indicado. Quando a bobina roda até à posição em que $\overrightarrow{m}$ aponta para o lado direito, na mesma direção do campo $\overrightarrow{B}$, o momento de binário é zero nessa posição. Nesse momento os terminais positivo e negativo ficam em contacto com as duas separações entre os sectores do comutador deixando de passar corrente pela bobina e o momento magnético é nulo. Mas por inércia a bobina roda mais um pouco, de forma que os terminais positivo e negativo voltam a fazer contacto com os sectores metálicos do comutador, mas agora houve uma troca dos sectores; como tal, agora a corrente circula no sentido inverso e $\overrightarrow{m}$ troca de sentido apontando para a esquerda. Volta a aparece momento de binário que faz rodar $\overrightarrow{m}$ no sentido de $\overrightarrow{B}$ e assim continua a rotação no mesmo sentido.

Exemplo 7.3

Uma espira retangular com lados de 25 cm e 30 cm, transporta uma corrente de 2.5 A, no sentido indicado na figura. A espira encontra-se num plano vertical que faz um ângulo de 30° com o plano O$yz$ e existe um campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}=0.2\hat{ȷ}$ (SI). Calcule o momento do binário produzido pelo campo magnético sobre a espira e diga em que sentido rodará a espira.

Resolução. A área da espira é:

$$A=0.25\times 0.30=0.075{\mathrm{m}}^2$$

Usando a regra da mão direita, vê-se que o momento magnético $\overrightarrow{m}$ da espira é paralelo ao plano O$xy$ com o sentido indicado na figura seguinte:

Como tal, o versor normal é:

$$\overrightarrow{n}=-\sin {60}^{\circ }\hat{ı}+\cos {60}^{\circ }\hat{ȷ}=-0.866\hat{ı}+0.5\hat{ȷ}$$

e o momento magnético da espira é:

$$\overrightarrow{m}=0.075\times 2.5(-0.866\hat{ı}+0.5\hat{ȷ})=(-0.162\hat{ı}+0.0938\hat{ȷ})\mathrm{A}\cdot {\mathrm{m}}^2$$

O momento do binário é igual ao produto vetorial entre o momento magnético da espira e o campo magnético:

$$\overrightarrow{M}=(-0.162\hat{ı}+0.0938\hat{ȷ})\times (0.2\hat{ȷ})=-32.4\hat{k}(\mathrm{mN}\cdot \mathrm{m})$$

A espira roda até o seu momento magnético apontar na direção e sentido do campo magnético. Consequentemente, a bobina roda à volta dum eixo paralelo ao eixo dos $z$, que passa pelo seu centro de massa, de forma a que o ângulo inicial de 30° aumente até 90°.

Problemas

1. Um protão (massa $1.673\times {10}^{-27}$ kg) encontra-se na origem, em $t=0$, com velocidade $\overrightarrow{v}=184\hat{ı}$ (km/s), dentro de uma região onde há vácuo e campo magnético uniforme: $\overrightarrow{B}=-0.062\hat{ȷ}$ (T). Determine a posição do protão em $t=0.85$ µs.

2. Um protão "navega"na atmosfera solar, a uma velocidade de $0.15c$, onde $c$ é a velocidade da luz no vazio ($2.998\times {10}^8$ m/s). O protão atravessa um campo magnético uniforme de 0.12 T, formando um ângulo de 25° com a sua velocidade. Calcule o raio do cilindro que envolve a órbita helicoidal do protão (a massa de um protão é $1.673\times {10}^{-27}$ kg e admita que com a velocidade $0.15c$ os efeitos relativistas são desprezáveis).

3. Um protão desloca-se no vácuo, com velocidade de $1.0\times {10}^6$ m/s, entrando numa região retangular onde existe campo magnético constante $\overrightarrow{B}$, perpendicular à sua velocidade, como mostra a figura. No ponto onde o protão penetra o campo magnético, a sua velocidade faz um ângulo de 28° com a fronteira do retângulo. Após a trajetória circular dentro do campo magnético, o protão sai do retângulo com velocidade que faz novamente um ângulo de 28° com a fronteira do retângulo. Sabendo que o módulo do campo magnético é 0.64 T, e a massa do protão é $1.673\times {10}^{-27}$ kg, determine a distância $d$ entre os pontos onde o protão entra e sai do retângulo onde existe campo magnético.

   

4. Uma partícula com carga de $2.5$ nC encontra-se numa região onde existe campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}$. Quando se move com velocidade ${\overrightarrow{v}}_1$, no plano $yz$ e fazendo um ângulo $\theta ={10}^{\circ }$ com o eixo dos $y$, tal como mostra a figura, a força magnética sobre ela é ${\overrightarrow{F}}_1$, na direção e sentido do eixo dos $x$. Quando a velocidade da partícula é ${\overrightarrow{v}}_2=\left(2.5\times {10}^4\hat{ı}+3.2\times {10}^4\hat{ȷ}\right)$ m/s, a força magnética sobre ela é ${\overrightarrow{F}}_2=\left(32\hat{ı}-25\hat{ȷ}+37.5\hat{k}\right)$ µN. Determine o campo $\overrightarrow{B}$.

   

5. A espira triangular na figura tem um vértice na origem, o vértice P no eixo dos $z$, a 30 cm da origem, e o vértice Q no eixo dos $y$, a 40 cm da origem. Existe um campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}=0.05\hat{ı}+0.03\hat{ȷ}-0.08\hat{k}$ (em teslas) e na espira circula corrente de intensidade $I=23.4$ mA, no sentido indicado na figura.
   (a) Determine a força magnética sobre cada um dos três lados da espira.
   (b) Determine a força magnética total sobre a espira.
   (c) Determine o momento do binário magnético sobre a bobina.

   

6. Num filtro de velocidades há campos elétrico e magnético uniformes e perpendiculares, e as partículas entram com velocidade perpendicular aos dois campos. O módulo do campo magnético é 0.1 T e o do campo elétrico 0.2 MV/m.
   (a) Qual a velocidade das partículas à saída do filtro, i.e., das partículas que não são desviadas na sua passagem pelo filtro?
   (b) Qual a energia de um protão à saída do filtro?
   (c) Qual a energia de um eletrão à saída do filtro? (A massa de um protão e do eletrão encontram-se no apêndice C.)

7. Calcule a intensidade máxima do momento do binário magnético que atua sobre uma bobina circular de 400 espiras de raio 0.1 cm, percorrida por uma corrente de 92 mA, num campo magnético uniforme de 0.3 T.

8. Um feixe de protões desloca-se com velocidade constante $\overrightarrow{v}$ segundo o eixo $x$, atravessando duas regiões, I e II, caracterizadas do seguinte modo: na região I existe um campo magnético ${\overrightarrow{B}}_1$ e na região II coexistem um campo magnético ${\overrightarrow{B}}_2$ e um campo elétrico $\overrightarrow{E}=E\hat{ȷ}$. Todos os campos são uniformes nas regiões em que foram definidos e anulam-se fora delas. O peso dos protões não é significativo. Quais as condições a que devem obedecer os campos ${\overrightarrow{B}}_1$ e ${\overrightarrow{B}}_2$ para que o feixe não sofra qualquer perturbação no seu movimento, enquanto atravessa duas regiões? Se em vez de protões, fosse um feixe de eletrões, as condições estabelecidas manter-se-iam?

   

9. Um fio linear de cobre, de diâmetro 2.59 mm e de comprimento 2 m, encontra-se dentro de um campo magnético uniforme ($B=50$ G) que faz um ângulo de 60° com o fio. Calcule a força magnética sobre o fio quando se aplica uma diferença de potencial de 0.06 V entre os seus extremos.

   

10. Um ião de ${}^{24}$Mg, monoionizado, é acelerado por uma diferença de potencial de 2 kV e descreve uma trajetória circular no campo magnético de 50 mT de um espetrómetro de massa.
    (a) Calcule o raio de curvatura da órbita do ião.
    (b) Qual será a diferença entre os raios das órbitas dos iões dos isótopos ${}^{26}$Mg e ${}^{24}$Mg no mesmo campo?

11. Um fio retilíneo com 2 m de comprimento encontra-se ao longo do eixo $y$, centrado na origem. A corrente através do fio é de 5.0 A na direção e sentido de $\hat{ȷ}$. Se a força magnética sobre o fio, devida a um campo magnético uniforme, for $1.5\left(\hat{ı}+\hat{k}\right)/\sqrt{2}$ (unidades SI), determine o campo magnético $\overrightarrow{B}$.

12. A espira retangular na figura, com arestas de 40 cm e 80 cm, está inclinada 30° em relação ao plano $xy$ e é percorrida por corrente de 0.25 A. Determine o módulo do momento de binário na espira, quando o campo magnético é uniforme, na direção e sentido do eixo $y$, com módulo de 1.8 T.

    

13. Em 1879, o físico E. H. Hall descobriu que quando uma corrente atravessa uma lâmina metálica de largura $x$, dentro de um campo magnético perpendicular à lâmina, aparece uma diferença de potencial $V$ através da lâmina como se mostra na figura; este fenómeno designa-se de efeito Hall. Demonstre que a diferença de potencial é igual a $xIB/\rho A$, em que $\rho$ é a densidade volúmica de cargas de condução e $A$ a área da secção transversal da lâmina. A importância desta experiência é que pela primeira fez foi possível determinar o sinal das cargas de condução; explique porque.

    

14. Partículas de carga $q$ e massa $m$ são aceleradas, a partir do repouso, por uma diferença de potencial $V$ e entram numa região de campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}$ perpendicular à velocidade. Sendo $r$ o raio de curvatura das órbitas circulares, demonstre que $r^2$ é igual a $2mV/q{B}^2$.

15. Um feixe de partículas alfa são aceleradas, no vácuo, através de uma diferença de potencial de 1.6 kV e entram logo entre duas lâminas metálicas separadas de 7.6 mm entre si, que estão ligadas a uma f.e.m. de 200 V, tal como mostra a figura. Qual deverá ser a direção, sentido e módulo do campo magnético que deverá ser colocado entre as lâminas para que o feixe de partículas alfa atravesse as lâminas de forma paralela a elas e sem nenhum desvio? (Uma partícula alfa é formada por dois protões e dois neutrões, com carga $+2e$ e massa $6.645\times {10}^{-27}$ kg.

    

16. A espira da figura é formada por dois arcos de raios $r_1$ e $r_2$ ($r_2>r_1$), cada um correspondente a um ângulo $2\varphi$, e dois segmentos radiais de comprimento $r_2-r_1$. Existe um campo magnético $C\hat{\varphi }/r$, onde $C$ é uma constante e $(r,\varphi )$ são as coordenadas polares. Calcule o momento de binário sobre a espira quando esta é percorrida por uma corrente $I$, no sentido indicado na figura.

    

Respostas

1. $\overrightarrow{r}=-0.0291\hat{ı}-0.0206\hat{k}$ (em metros).

2. 1.65 m.

3. 28.85 mm.

4. $\overrightarrow{B}=\left(0.6\hat{ȷ}+0.4\hat{k}\right)$ T.

5. (a) ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{OP}}=-210.6\hat{ı}+351\hat{ȷ}$ µN, ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{QO}}=748.8\hat{ı}+468\hat{k}$ µN,
   ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{PQ}}=-538.2\hat{ı}-351\hat{ȷ}-468\hat{k}$ µN. (b) $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$.
   (c) $-\left(112.32\hat{ȷ}+42.12\hat{k}\right)\times {10}^{-6}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

6. (a) $2\times {10}^6$ m/s. (b) $3.35\times {10}^{-15}$ J. (c) $1.82\times {10}^{-18}$ J.

7. $3.47\times {10}^{-5}$ N·m

8. ${\overrightarrow{B}}_1=B_1\hat{ı}$, ${\overrightarrow{B}}_2=B_{2x}\hat{ı}+(E/v)\hat{k}$, onde $B_1$, $B_{2x}$ e $E$ podem ser quaisquer funções, não necessariamente constantes. As condições obtidas são as mesmas, seja a carga das partículas positiva ou negativa.

9. (a) $2\times {10}^6$ m/s. (b) $3.34\times {10}^{-15}$ J. (c) $1.82\times {10}^{-18}$ J.

10. $0.106\left(-\hat{ı}+\hat{k}\right)$ T.

11. (a) 63 cm. (b) 2.6 cm.

12. 0.125 N·m.

13. Se os portadores de carga tivessem carga positiva, a diferença de potencial entre os extremos da lâmina seria no sentido oposto ao indicado na figura (cargas positivas no extremo de cima e negativas no extremo de baixo).

14. Direção perpendicular à figura, para dentro dela, e módulo de 670.0 G.

15. $\overrightarrow{T}=CI(r_1-r_2)\sin \varphi \hat{ı}$.