Um hoverboard tem apenas um eixo e duas rodas. A pessoa no hoverboard pode rodar com ele à volta do eixo, tal como um pêndulo. O pêndulo tem duas posições de equilíbrio, quando o seu centro de gravidade se encontra na mesma linha vertical que passa pelo eixo. O ponto de equilíbrio por baixo do eixo é ponto de equilíbrio estável e se o centro de gravidade estiver próximo desse ponto, o pêndulo oscila. No caso do hoverboard, o centro de gravidade encontra-se próximo do ponto de equilíbrio por cima do eixo, que é um ponto de equilíbrio instável; como tal, a pessoa rodará, caindo para o chão, ou para a frente ou para trás. O sistema de controlo automático do motor desloca o hoverboard e a pessoa na direção necessária para evitar essa queda. Um pêndulo com o seu centro de gravidade próximo do ponto de equilíbrio instável (por cima do eixo), chama-se pêndulo invertido. Um hoverboard, um segway e um monociclo são exemplos de pêndulos invertidos.
Nos sistemas dinâmicos com duas variáveis de estado:
cada uma das funções e podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, na vizinhança de um ponto qualquer ( , ) do espaço de fase:
onde o índice pode ser 1 ou 2. Se o ponto ( , ) é um ponto de equilíbrio, então e, portanto, o primeiro termo das duas séries é nulo. Mudando a origem de coordenadas para o ponto de equilíbrio ( , ), isto é, num novo sistema de coordenadas: , , as funções são, aproximadamente,
Ou seja, uma combinação linear das novas variáveis e , onde as constantes são os valores das derivadas parciais no ponto de equilíbrio ( , ). Substituindo essas aproximações no sistema 10.1, obtém-se um sistema linear ( e , porque e são constantes).
esta aproximação linear é válida apenas numa vizinhança da origem ( , ), ou seja, quando e estejam próximas de e .
A matriz quadrada na equação 10.4 chama-se matriz jacobiana e representa-se por . Substituindo as coordenadas ( , ) do ponto de equilíbrio na matriz jacobiana, obtém-se uma matriz constante. Por cada ponto de equilíbrio existe uma matriz de coeficientes constantes, que define o sistema linear que aproxima bem o sistema não linear na vizinhança do ponto de equilíbrio. Os valores e vetores próprios de cada uma dessas matrizes permitem analisar a estabilidade do sistema, na vizinhança de cada ponto de equilíbrio, da mesma forma que é feito para os sistemas lineares.
Classifique os pontos de equilíbrio e represente o retrato de fase do sistema:
Resolução. Já foi demonstrado no exemplo 7.2 do capítulo 7, que este sistema tem quatro pontos de equilíbrio. As funções e e os pontos de equilíbrio são armazenados em duas listas assim:
Convém definir também outra lista com os nomes das variáveis de estado:
A matriz jacobiana, com duas linhas e duas colunas, obtem-se com o comando jacobian do Maxima, que precisa de duas listas: uma lista com as funções e outra lista com os nomes das variáveis
Substituindo as coordenadas dos pontos de equilíbrio, obtêm-se as matrizes dos sistemas lineares que aproximam o sistema na vizinhança de cada um desses pontos. Por exemplo, no primeiro ponto de equilíbrio,
Para estudar a estabilidade do sistema na vizinhança desse ponto de equilíbrio, calculam-se os valores próprios dessa matriz.
O resultado mostra 4 listas; a primeira lista são os valores próprios, a segunda lista são as multiplicidades de cada valor próprio, e as últimas duas listas são os vetores próprios.
Nesse ponto de equilíbrio os valores próprios são reais, com sinais opostos; conclui-se que é um ponto de sela. O quarto ponto de equilíbrio também é ponto de sela:
No segundo ponto de equilíbrio:
Como os valores próprios são complexos, com parte real negativa, o ponto de equilíbrio é um foco atrativo (estável). Cálculos semelhantes para o terceiro ponto de equilíbrio mostram que também é um foco, mas repulsivo (instável), porque os valores próprios são complexos, com parte real positiva. O retrato de fase constrói-se usando o comando:
Na figura 10.1 mostra-se o resultado. Existe um único ponto de equilíbrio estável, um foco atrativo, em ( , ) = (1.265, -0.7746). Os outros 3 pontos de equilíbrio, dois pontos de sela e um foco repulsivo, são instáveis. As duas curvas de evolução que foram traçadas a sair do foco repulsivo em ( , ) = (-1.265, 0.7746) e a continuação dessas curvas passando pelos pontos de sela, delimitam a região de estabilidade, em que se o estado inicial do sistema estiver nessa região, o estado final aproximar-se-á do ponto de equilíbrio estável.
O tipo de pêndulo estudado nesta secção é formado por um objeto ligado a uma barra rígida atravessada por um eixo horizontal fixo (figura 10.2). Esse tipo de pêndulo pode rodar num plano vertical dando voltas completas. O sistema tem um único grau de liberdade, , que é o ângulo que a barra faz com a vertical. Seja quando o pêndulo está na posição mais baixa e na posição mais alta. A velocidade angular é e a velocidade do centro de massa é onde é a distância desde o centro de massa até o eixo.
A energia cinética é:
Onde é a massa total e o momento de inércia em relação ao centro de massa. De acordo com o teorema dos eixos paralelos 5.28, o momento de inércia em relação ao eixo do pêndulo é , que pode ser escrito , onde é o raio de giração em relação ao eixo. Como tal, a energia cinética é
A energia potencial gravítica é (arbitrando energia nula em )
Ignorando a resistência do ar, a equação de Lagrange conduz à equação de movimento:
onde define o comprimento eficaz do pêndulo. No caso particular dum pêndulo simples, em que a massa da barra é desprezável e o objeto é pequeno, é a distância desde o objeto até o eixo (ver exemplo 8.5 do capítulo 8).
As equações de evolução obtêm-se substituindo a derivada de pela velocidade angular :
Estas equações não lineares não podem ser resolvidas analiticamente, mas podem ser resolvidas por aproximação numérica. O comando rk do Maxima usa-se para obter a solução numérica pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem; é necessário dar 4 argumentos ao comando: uma lista de expressões para as componentes da velocidade de fase, uma lista com os nomes das variáveis de estado, uma lista com valores iniciais para essas variáveis e um intervalo de valores para a variável independente, incluindo o nome dessa variável, valor inicial, valor final e valor dos incrementos nesse intervalo. O comando rk produz uma lista de pontos que aproximam a solução; cada ponto terá as coordenadas da variável independente, seguida pelas variáveis de estado.
Por exemplo, para um pêndulo com igual a 50 cm, largado do repouso com ângulo inicial de 30°, a solução aproximada é obtida com ( e representam e ):
Os gráficos de e em função do tempo e a curva de evolução no espaço de fase obtêm-se com os seguintes comandos:
Os dois gráficos são apresentados na figura 10.3.
A lista de dados numéricos obtida permite concluir que o período de oscilação está entre 1.44 s e 1.45 s. Os gráficos na figura 10.3 são muito parecidos com os gráficos de um oscilador harmónico simples. Se o ângulo inicial for maior, essa semelhança começa a desaparecer. Por exemplo, a figura 10.4 mostra os resultados obtidos com ângulo inicial de 120°.
Nesse caso conclui-se a partir dos dados numéricos que o período de oscilação aumenta, em relação à amplitude de 30° e está entre 1.94 s e 1.95 s.
Nos dois casos apresentados nas figuras 10.3 e 10.4, a curva de evolução é um ciclo, indicando que existe um ponto de equilíbrio estável na região interna do ciclo.
Os pontos de equilíbrio do pêndulo, onde os lados direitos das equações 10.9 são nulos, encontram-se em , , … e .
Os pontos em , , … são realmente o mesmo ponto físico, na posição mais baixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após um número qualquer de voltas. Os pontos em , … são também o mesmo ponto físico, na posição mais alta do pêndulo.
A matriz jacobiana correspondente às equações 10.9 do pêndulo é
No ponto de equilíbrio em (em geral, 0, , ,…), a matriz é:
que é a matriz de um oscilador harmónico simples, analisada no exemplo 9.4 do capítulo 9. Os dois valores próprios são , o ponto de equilíbrio é um centro e se o estado inicial do sistema está próximo desse ponto, o pêndulo oscila com frequência angular . No caso do pêndulo de 50 cm analisado na secção anterior, essa expressão conduz ao período 1.42 s. Lembre-se que esse valor é apenas uma aproximação, que é melhor quanto menor for a amplitude; os valores do período calculados numericamente na secção anterior são mais realistas.
Na vizinhança do ponto de equilíbrio (em geral, , ,…), a matriz jacobiana é
que é a matriz de um oscilador invertido, analisada no exemplo 9.3 do capítulo 9. Os dois valores próprios são e o ponto de equilíbrio é ponto de sela (equilíbrio instável).
O retrato de fase no intervalo , mostrará 3 centros ( , 0 e ) e 4 pontos de sela ( , , e ). No caso cm considerado na secção anterior, usa-se o comando:
O resultado é a figura 10.5. No eixo das abcissas está representado o ângulo e no eixo das ordenadas a velocidade angular . As duas curvas identificadas com as letras A e B formam parte de uma órbita heteroclínica.
A órbita heteroclínica do pêndulo corresponde ao caso em que a energia mecânica do pêndulo é exatamente igual à energia potencial gravítica no ponto de altura máxima. Usando como referência , na posição em que a barra do pêndulo está na horizontal ( ), a energia potencial no ponto mais alto é . Cada uma das curvas A e B corresponde ao movimento em que inicialmente o pêndulo está parado na posição mais alta, desce completando uma oscilação completa e para novamente na posição mais alta, sem voltar a oscilar mais. A diferença entre a órbita heteroclínica e os ciclos, é que nos ciclos as oscilações repetem-se indefinidamente, enquanto que na órbita heteroclínica há apenas uma oscilação.
Dentro da órbita heteroclínica, os ciclos na sua vizinhança correspondem a oscilações em que o pêndulo chega quase até o ponto mais alto, parece ficar parado nesse ponto por alguns instantes e logo desce novamente até o ponto mais baixo, repetindo o movimento no outro lado da vertical.
As órbitas heteroclínicas também são separatrizes no retrato de fase, porque delimitam a região onde existe movimento oscilatório: região sombreada na figura 10.6. Se o estado inicial está dentro dessa região, o pêndulo oscila; caso contrário, o pêndulo descreve movimento circular não uniforme.
As figuras 10.3 e 10.4 mostram que com amplitude 30° a aproximação linear é bastante boa, pois a curva de evolução é muito parecida à do oscilador harmónico simples e o período é próximo do período obtido com a aproximação linear, mas com amplitude de 120°, a aproximação linear já não é muito boa.
Nos sistemas mecânicos autónomos, por cada grau de liberdade há uma equação de movimento, que implica duas variáveis de estado. Assim sendo, a dimensão do espaço de fase é o dobro do número de graus de liberdade. Se um sistema não é autónomo é necessário acrescentar mais uma dimensão ao espaço de fase, como se mostra na seguinte secção. Existem então sistemas mecânicos com espaços de fase de dimensão 2, 3, 4, 5, …
Nos casos em que o espaço de fase tem mais do que duas dimensões o programa plotdf não pode ser utilizado para esboçar o retrato de fase. É necessário resolver as equações de evolução para alguns valores iniciais específicos e construir gráficos mostrando apenas algumas das variáveis de estado.
A forma geral de um sistema com equações diferenciais não autónomas é:
Para caraterizar cada possível estado do sistema é necessário saber os valores das variáveis e o valor do tempo; ou seja, cada estado é um ponto com coordenadas ( , ,…, , ) e o espaço de fase tem dimensões e o tempo é também variável de estado. As componentes da velocidade de fase são as derivadas das variáveis de estado: ( , ,…, , ). As expressões para as primeiras componentes são dadas pelo sistema de equações diferenciais acima e a última componente é sempre igual a 1 (derivada de em ordem a ). Como tal, o sistema de equações não autónomas considera-se é equivalente a um sistema autónomo com variáveis de estado.
Esse tipo de sistemas de equações podem ser resolvidos também com o comando rk, sem ser necessário indicar como variável de estado, nem a última componente da velocidade de fase, ; o valor inicial de dá-se no intervalo de integração e não na lista de valores iniciais das variáveis de estado. No entanto, há que ter em conta que se a velocidade de fase depende da variável independente , essa variável é também variável de estado.
A equação diferencial:
é uma equação de Bessel. Escreva a equação como sistema dinâmico e identifique o espaço de fase.
Resolução. Define-se uma variável auxiliar igual a :
assim sendo, a segunda derivada é igual à primeira derivada de e a equação de Bessel é:
resolvendo para , obtém-se:
Como esta equação não é autónoma, considera-se a variável independente como mais uma variável de estado, com a equação de evolução trivial:
O espaço de fase tem três dimensões e cada estado tem coordenadas ( , , ). O sistema dinâmico é definido pelas 3 equações 10.13, 10.14 e 10.15.
No caso do lançamento de um projétil com velocidade oblíqua, sobre o corpo atuam três forças externas: o peso, , a resistência do ar, e a impulsão , onde é a massa do projétil e a massa do ar que ocupava o mesmo volume do projétil. O problema é semelhante ao problema da queda livre, estudado na secção 4.3.3 do capítulo 4, mas a força de resistência do ar deixa de ser vertical (ver figura 10.7). O peso e a impulsão são verticais, em sentidos opostos, podendo ser combinados numa única força vertical (peso eficaz) de módulo .
Admite-se que a massa volúmica do projétil é muito maior que a massa volúmica do ar e, portanto, o peso eficaz aponta para baixo e é quase igual a . De qualquer modo, a massa do projétil costuma medir-se medindo o seu peso eficaz no ar, assim que o valor medido ( ) da massa do projétil é realmente e o peso eficaz é .
A força de resistência do ar muda constantemente de sentido, porque é sempre tangente à trajetória e no sentido oposto à velocidade. Como foi explicado no capítulo 4, no caso do ar o número de Reynolds costuma ser elevado e admite-se que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. Se o projétil é uma esfera de raio , a expressão do módulo de é dada pela equação 4.14 e a força é:
onde é a massa volúmica do ar e é o versor tangencial, na direção e sentido do vetor velocidade:
Escolhendo um sistema de eixos em que a gravidade aponta no sentido negativo do eixo dos e a velocidade inicial com que é lançado o projétil está no plano , o peso e a força de resistência do ar estão sempre no plano e o movimento do projétil dá-se nesse plano. Assim sendo, o vetor velocidade é e a força de resistência do ar é:
O vetor do peso é . Aplicando a segunda lei de Newton, obtêm-se as componentes da aceleração:
Estas equações devem ser resolvidas em simultâneo porque as duas componentes e aparecem nas duas equações. É impossível encontrar a solução exata do problema, mas pode obter-se uma aproximação numérica.
A seguir vão-se comparar as trajetórias de duas esferas diferentes, lançadas com a mesma velocidade inicial para compará-las com a trajetória parabólica que teriam se pudessem ser lançadas no vácuo, sem resistência do ar. Considere-se o caso em que a velocidade inicial é 12 m/s, fazendo um ângulo de 45° com o plano horizontal; as componentes da velocidade inicial são,
Começando pelo caso mais fácil, o lançamento dos projéteis no vácuo, as componentes da aceleração são e . O estado do projétil é ( , , , ) e a velocidade de fase ( , , , ). Os valores iniciais da velocidade já foram calculados em (%i19) e arbitre-se que o projétil parte da origem com valores iniciais nulos para e . Para integrar as equações de movimento desde até s, com incrementos de 0.01 s, usa-se o comando:
e o último ponto calculado na lista tr1 é,
As 5 componentes do ponto são o tempo, as coordenadas da posição e as componentes da velocidade. Este resultado mostra que em a bola já está a cair, porque é negativa e que já desceu debaixo da altura inicial, porque é negativa.
Como pretendemos obter a trajetória até a bola regressar à altura , é necessário extrair unicamente os pontos da lista tr1 com terceira componente ( ) positiva. Percorre-se a lista toda, comparando o terceiro elemento de cada ponto com 0, até encontrar o primeiro ponto em que o terceiro elemento é negativo. Isso consegue-se usando o comando sublist_indices do Maxima:
Usou-se lambda que define um operador; neste caso esse operador compara o terceiro elemento da entrada que lhe for dada com zero. O comando sublist_indices percorre a lista tr1 passando cada elemento como entrada para esse operador e, nos casos em que o operador produz o resultado "true", o índice do respetivo elemento da lista é acrescentado a uma sub lista. O comando first seleciona apenas o primeiro elemento nessa sub lista, neste caso, o índice do primeiro ponto em que é negativo. Como tal, só interessam os primeiros 174 pontos na lista; se o objetivo é construir o gráfico da trajetória, cria-se outra lista com as coordenadas e dos primeiros 174 pontos:
A seguir vai repetir-se o mesmo procedimento para uma bola de ténis e uma bola de ténis de mesa, tendo em conta a resistência do ar. A massa volúmica do ar é aproximadamente 1.2 kg/m3. É conveniente definir uma função que calcula a constante que aparece nas equações de movimento 10.19, em função do raio e a massa de cada uma das bolas; também é conveniente definir a expressão do módulo da velocidade para não ter que escrevê-la várias vezes:
Uma bola de ténis típica tem raio de aproximadamente 3.25 cm e massa 62 gramas. No comando (%i20) é necessário substituir a aceleração da gravidade pelas duas componentes da aceleração (equações 10.19)
O primeiro ponto com altura negativa é
e a trajetória da bola de ténis armazena-se noutra variável:
Repetem-se os mesmos cálculos para uma bola de ténis de mesa típica, com raio 1.9 cm e massa 2.4 g
O gráfico das 3 trajetórias constrói-se com o seguinte comando:
O resultado é apresentado na figura 10.8.
As trajetórias das bolas no ar não são parábolas, mas no fim curvam-se mais e terminam com uma queda mais vertical. O efeito da resistência do ar é mais visível na bola de ténis de mesa; apesar de ser mais pequena que a bola de ténis, a força de resistência do ar produz nela maior aceleração tangencial negativa, devido à sua menor massa volúmica. Lançadas com a mesma velocidade, o alcance horizontal da bola de ténis de mesa é 6.2 m e o da bola de ténis 12.4 m. O alcance horizontal hipotético das duas bolas, se a resistência do ar pudesse ser ignorada, seria 14.7 m.
O pêndulo de Wilberforce (figura 10.9) é constituído por um cilindro pendurado de uma mola vertical muito comprida. Quando uma mola é esticada ou comprimida, cada espira muda ligeiramente de tamanho; no pêndulo de Wilberforce, o número elevado de espiras na mola faz com que seja mais visível essa mudança, de forma que enquanto a mola oscila, também se enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em relação ao eixo vertical.
O sistema tem dois graus de liberdade, a altura do centro de massa do cilindro e o ângulo de rotação do cilindro à volta do eixo vertical, . Se e são escolhidos na posição de equilíbrio, é possível ignorar a energia potencial gravítica que poderá ser eliminada das equações com uma mudança de variáveis (problema 4 do capítulo 9). A energia potencial elástica tem 3 termos, que dependem da elongação da mola e do seu ângulo de rotação ; as energias cinética e potencial são,
em que , e são constantes elásticas da mola. As equações de Lagrange, ignorando a resistência do ar e outras forças dissipativas, conduzem às seguintes equações de movimento:
Para resolver as equações de evolução numericamente, é necessário dar alguns valores típicos para a massa, o momento de inércia e as constantes elásticas,
A solução no intervalo de tempo desde 0 até 40, com condição inicial cm e as outras variáveis iguais a 0, obtém-se com o seguinte comando:
A figura 10.10 mostra o gráfico obtido para o ângulo e a elongação , multiplicada por um fator de 100 para que seja visível na mesma escala do ângulo.
O gráfico mostra uma caraterística interessante do pêndulo de Wilberforce: se o pêndulo é posto a oscilar, sem rodar, a amplitude das oscilações lineares decresce gradualmente, enquanto que o cilindro começa a rodar com oscilações de torção que atingem uma amplitude máxima quando o cilindro deixa de se deslocar na vertical. A amplitude das oscilações de torção começa logo a diminuir à medida que a oscilação linear cresce novamente. Essa intermitência entre deslocamento vertical e rotação repete-se indefinidamente.
A projeção do retrato de fase nas variáveis e é apresentada na figura 10.11.
Neste sistema existem duas frequências angulares. A frequência angular longitudinal e a frequência angular de torção,
O cilindro num pêndulo de Wilberforce costuma ter quatro porcas que podem ser deslocadas, aumentando ou diminuindo o momento de inércia, para conseguir que as duas frequências sejam muito parecidas e o efeito de alternância entre oscilações lineares e rotacionais seja mais visível. Os valores dos parâmetros usados no exemplo acima, foram escolhidos de forma a garantir duas frequências iguais.
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Perguntas: 1. D. 2. A. 3. C. 4. D. 5. E.
Problemas
Ângulo | Alcance (m) |
35° | 6.293 |
36° | 6.299 |
37° | 6.301 |
38° | 6.299 |
39° | 6.325 |
40° | 6.314 |
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Velocidade máxima pequena não implica que o pêndulo esteja próximo do ponto de equilíbrio estável, porque num pêndulo com elevado,
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