6. Circuitos de corrente contínua

Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887)

Georg Simon Ohm (1789–1854) enunciou a lei que relaciona a diferença de potencial com a corrente num condutor, numa série de dois artigos publicados em 1826 e 1827. Em 1845 Gustav Kirchhoff estendeu a lei de Ohm a circuitos mais complicados, com várias fontes e resistências, na forma de duas leis para circuitos gerais. A análise dum circuito elétrico consiste em determinar a diferença de potencial e a corrente em todos os elementos do circuito. Essa análise pode ser feita usando as leis de Kirchhoff ou outros métodos, baseados nelas, que são estudados neste capítulo.

6.1 Circuitos elétricos

Neste capítulo estudam-se circuitos elétricos com resistências, condensadores e fontes de f.e.m. constantes, apenas no caso em que as correntes são constantes, i.e., nos circuitos com condensadores serão considerados unicamente o instante em que os condensadores estão descarregados ou no estado estacionário, em que a carga neles já não varia. No capítulo 10 este estudo será estendido a circuitos com resistências, condensadores e indutores, com fontes de tensão alternada.

6.2 Nós, ramos e malhas

A figura 6.1 mostra um exemplo do tipo de circuito que vamos estudar, possuindo 3 fontes de f.e.m. e 7 resistências. O nosso objetivo é determinar, a voltagem (diferença de potencial) nas resistências, assim como a intensidade e sentido da corrente em todos os seus 10 elementos. Começaremos com algumas definições que facilitam a análise do circuito.

Figura 6.1: Circuito com resistências e fontes de f.e.m. constante.

Nó: Qualquer ponto no circuito onde a corrente se pode dividir. Num nó é necessário portanto usar pelo menos 3 linhas diferentes. No circuito da figura 6.1 há quatro nós: B, D, H e F. Os pontos A, C, E e G não são nós porque nesses pontos a corrente só tem um percurso por onde circular. Cada nó pode ser caraterizado pelo valor do potencial elétrico nele.

Ramo: Percurso sem nenhuma derivação entre dois nós. O circuito 6.1 tem 6 ramos: entre B e D (passando por C), entre D e F (passando por E), entre D e H (passando por $R_7$), entre B e H (passando por $R_6$), entre H e F (passando pelo fio sem qualquer elemento), e entre B e F (passando por A e G).

A corrente em todos os elementos de cada ramo é a mesma i.e., cada ramo é caraterizado pelo valor da corrente elétrica que circula nele. Como tal, teremos de determinar seis correntes $I_1$, …, $I_6$, correspondentes aos seis ramos.

Por exemplo, a corrente nas f.e.m. ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$, e nas resistências $R_4$ e $R_5$ terá a mesma intensidade, $I_1$, e o mesmo sentido; a análise do circuito permitirá determinar se a corrente é de B para F (neste caso, ${\epsilon }_2$ estará em modo gerador e ${\epsilon }_1$ em modo recetor) ou se é de F para B (estando então ${\epsilon }_2$ em modo recetor e ${\epsilon }_1$ em modo gerador).

Se arbitrarmos o sentido da corrente $I_1$ como sendo de B para F, a diferença de potencial entre B e F, $V_B-V_F$, obtém-se somando as diferenças de potencial nos quatro elementos nesse ramo. Como estamos a calcular o potencial de B menos o potencial de F, soma-se a diferença de potencial do extremo de cada elemento mais próximo de B menos o potencial do extremo mais próximo de F. Nas fontes, a diferença de potencial é o valor da f.e.m. $ϵ$ e a barra mais comprida indica o elétrodo a maior potencial, i.e., a diferença de potencial numa fonte de f.e.m. possui sempre o sentido do elétrodo positivo para o elétrodo negativo da fonte. Nas resistências, a diferença de potencial é dada pela lei de Ohm, $\mathrm{\Delta }V=RI$, e o sentido que arbitrarmos para a corrente apontará no sentido do extremo da resistência a maior potencial para o extremo com menor potencial (i.e., a diferença de potencial possui o mesmo sentido que o da corrente elétrica). Deste modo, temos que:

$$V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{F}}=-{\epsilon }_2+R_5{I}_1+{\epsilon }_1+R_4{I}_1$$ (6.1)

A equação anterior mostra que a diferença de potencial entre os extremos do ramo e a corrente nele não dependem da ordem na qual os elementos no ramo são ligados. É muito importante compreender esta equação que constitui uma das bases da análise de circuitos. Como a equação (6.1) é equivalente a:

$$V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{F}}=({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)+\left(R_5+R_4\right)I_1$$ (6.2)

fica então claro que as resistências no ramo podem ser substituídas por uma única resistência igual à soma delas (equivalente em série), e as f.e.m. podem ser substituídas por uma única f.e.m. igual à soma algébrica delas, tendo em conta os seus sinais.

De referir, que no caso de termos arbitrado o sentido da corrente $I_1$ como sendo de F para B, então a diferença de potencial entre B e F seria escrita como: $V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{F}}=-{\epsilon }_2-R_5{I}_1+{\epsilon }_1-R_4{I}_1$. Note que a diferença de potencial associdada a cada fonte se mantém inalterada e que a diferença de potencial nas resistências troca de sinal. Após a resolução algébrica do circuito, esta indicar-nos-á qual o sentido real da corrente $I_1$: caso se obtenha $I_1$ com sinal positivo, então o sentido arbitrado está correto, caso contrário, o sentido real de $I_1$ será o oposto ao arbitrado.

Como o ramo entre H e F é um curto-circuito, o potencial desses dois nós é o mesmo, contudo, a corrente pode ter qualquer intensidade e qualquer sentido. É provável que no circuito real estes dois pontos sejam o mesmo ponto, os quais no diagrama de circuito foram indicados como dois pontos diferentes, para maior clareza. Juntando o ponto H ao ponto F e combinando as resistências e as fontes em série nos ramos BF e DF, obtém-se o circuito da figura 6.2, com 3 nós e 5 ramos, que é equivalente ao circuito da figura 6.1.

Figura 6.2: Circuito equivalente ao circuito da figura 6.1.

Malha: Uma malha é um qualquer percurso fechado num circuito, que não passe duas vezes pelo mesmo nó. O circuito da figura 6.1, bem como o seu equivalente (figura 6.2), é a sobreposição de três malhas: uma primeira malha formada por ${\epsilon }_3$, $R_1$ $R_7$ e $R_6$, uma segunda malha formada por ${\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, $R_4+R_5$ e $R_6$, e uma terceira malha formada por $R_7$ e $R_2+R_3$. Mas há outras possíveis malhas como, por exemplo, a que é formada por ${\epsilon }_3$, $R_1$, $R_2+R_3$ e $R_6$. No caso da figura 6.1 existem 7 malhas possíveis e na figura 6.2 existem 6 malhas.

Uma malha simples é uma malha em que não há nenhum nó, tal como na figura 6.3. Nesse caso, a corrente deverá ser igual em todos os elementos da malha e a análise do circuito é muito simples.

Figura 6.3: Malha simples, sem nenhum nó.

A tendência das duas f.e.m. de 5 V e 9 V é produzir corrente no sentido dos ponteiros do relógio, e são equivalentes a uma única f.e.m. de 14 V orientada no mesmo sentido. A f.e.m. de 12 V tende a produzir corrente no sentido oposto dos ponteiros do relógio, mas por ser menor do que os 14 V das outras duas, as três f.e.m. são equivalentes a uma única f.e.m. de 2 V, ligada de forma a produzir corrente no sentido dos ponteiros do relógio. Como a corrente nas quatro resistências é igual, estas estão ligadas em série e podem ser substituídas por uma única resistência de 4000 $\mathrm{\Omega }$. Como tal, a intensidade da corrente na malha é (f.e.m. total sobre resistência total):

$$I=\frac{2}{4000}=0.0005=0.5\mathrm{mA}$$ (6.3)

A voltagem em cada resistência calcula-se multiplicando o valor da resistência pela corrente que a percorre (neste caso a corrente em todos os elementos é a mesma). Na resistência de 1.2 k$\mathrm{\Omega }$ a voltagem é $1.2\times {10}^3\times 5\times {10}^{-4}=0.6$ V, e as voltagens nas outras 3 resistências são $0.07$ V, $1.1$ V e $0.23$ V. Note que a soma das voltagens nas 4 resistências é igual à f.e.m. total, 2 V, como deve ser.

As f.e.m. de 5 V e 9 V encontram-se em modo gerador, fornecendo potências de $5\times 5\times {10}^{-4}=2.5$ mW e $9\times 5\times {10}^{-4}=4.5$ mW e a f.e.m. de 12 V encontra-se em modo recetor, absorvendo uma potência de $12\times 5\times {10}^{-4}=6$ mW. Dos 7 mW fornecidos pelos dois geradores, o recetor absorve 6 mW e o restante 1 mW é dissipado sob a forma de calor nas quatro resistências. A potência dissipada em cada resistência é igual à sua voltagem vezes a corrente que a percorre (ou, equivalentemente, igual ao valor da resistência vezes a corrente ao quadrado): as quatro resistências dissipam $0.3$ mW, $0.035$ mW, $0.55$ mW e $0.115$ mW, verificando-se assim que a potência fornecida é igual à soma da potência absorvida mais a potência dissipada, como deve ser.

6.3 Leis de Kirchhoff

Um circuito pode ser analisado usando apenas duas regras simples, chamadas leis de Kirchhoff. Vamos enunciar essas leis usando um exemplo concreto, o circuito da figura 6.4, com 6 ramos, 4 nós e 3 malhas independentes (malhas que não podem ser divididas em outras).

Figura 6.4: Circuito com 6 ramos e 4 nós.

6.3.1 Lei dos nós

A lei dos nós, ou lei das correntes, estabelece que a soma algébrica das correntes em qualquer nó é igual a zero. Soma algébrica das correntes quer dizer que as correntes que convergem para o nó deverão ser somadas com sinal oposto ao das correntes que divergem do nó. Em um nó no qual divergem e convergem um número total de $n$ correntes $I_j$, a lei dos nós escreve-se como:

$$\sum _{j=1}^n{I}_j=0$$ (6.4)

onde às correntes que convergem é atribuído um sinal e às que divergem o sinal oposto.

Outra forma equivalente de enunciar a lei é dizer que a soma total das correntes que entram no nó deverá ser igual à soma das correntes que saem do nó. Esta lei é uma consequência do Príncipio da Conservação da Carga Eléctrica, o qual se traduz na equação da continuidade anteriormente deduzida — ver equações (5.22) e (5.24). As correntes no circuito são estacionárias, e, como tal, não pode haver acumulação de carga nos nós, nem produção de carga nestes. Em qualquer intervalo de tempo, toda a carga que chegar a um nó por alguma derivação terá de sair por uma outra.

No caso do circuito 6.4, há 6 correntes a serem determinadas, uma por cada ramo. Como não sabemos os seus sentidos a priori, podemos arbitrá-los e usá-los de forma consistente na lei dos nós; a resolução das equações do circuito conduzirão a sinais negativos nos casos em que o sentido real da corrente seja oposto ao que foi arbitrado. Sejam as seis correntes nos ramos $I_{\mathrm{AC}}$, $I_{\mathrm{AD}}$, $I_{\mathrm{CD}}$, $I_{\mathrm{CB}}$, $I_{\mathrm{DB}}$ e $I_{\mathrm{BA}}$, em que a ordem das letras indica o sentido arbitrado, i.e., $I_{\mathrm{CB}}$ passa de C para B. Em função dessas correntes, a lei dos nós aplicada aos quatro nós A, B, C e D conduz às seguintes equações:

$$\begin{array}{c}\hfill \mathrm{A}:\mathit{\hspace{1em}}{I}_{\mathrm{BA}}=I_{\mathrm{AD}}+I_{\mathrm{AC}}\\ \hfill \mathrm{B}:\mathit{\hspace{1em}}{I}_{\mathrm{BA}}=I_{\mathrm{CB}}+I_{\mathrm{DB}}\\ \hfill \mathrm{C}:\mathit{\hspace{1em}}{I}_{\mathrm{AC}}=I_{\mathrm{CD}}+I_{\mathrm{CB}}\\ \hfill \mathrm{D}:\mathit{\hspace{1em}}{I}_{\mathrm{DB}}=I_{\mathrm{AD}}+I_{\mathrm{CD}}\end{array}$$ (6.5)

Essas quatro equações dos nós são linearmente dependentes: uma combinação linear de 3 delas conduz à outra equação. Por exemplo, somando ordenadamente as primeira e terceira equações e subtraindo a segunda, obtemos a quarta equação. Ou seja, apenas 3 equações dos nós em (6.5) são independentes. Regra geral, um circuito com $N$ nós possui $N-1$ equações de nós independentes. Como tal, as equações dos nós neste caso permitem obter 3 das correntes dos ramos em função das outras 3. Por exemplo, a primeira, segunda e quarta equações em (6.5) permitem escrever as três correntes associadas ao nó interno C em função das outras três correntes:

$$\begin{array}{c}\hfill I_{\mathrm{AC}}=I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{AD}}\\ \hfill I_{\mathrm{CB}}=I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{DB}}\\ \hfill I_{\mathrm{CD}}=I_{\mathrm{DB}}-I_{\mathrm{AD}}\end{array}$$ (6.6)

Serão necessárias, portanto, obter outras 3 equações, independentes entre si e das equações obtidas pela lei dos nós, para se determinarem as outras 3 correntes, a saber, $I_{\mathrm{BA}}$, $I_{\mathrm{AD}}$ e $I_{\mathrm{DB}}$. Estas equações serão obtidas recorrendo à lei das malhas como veremos a seguir.

6.3.2 Lei das malhas

A lei das malhas, ou lei das tensões , diz que a soma algébrica das diferenças de potencial numa malha deverá ser igual a zero. Neste caso a soma algébrica quer dizer que percorrendo a malha, i.e, começando num dado ponto da malhas e terminando no mesmo ponto, no sentido que arbitremos (direto ou retrógrado), na passagem por cada elemento deverá ser sempre somado o potencial do ponto final menos o potencial do ponto inicial em todos os casos (ou o contrário). Numa malha contendo $n$ elementos, em que cada elemento possui uma diferença de potencial $\mathrm{\Delta }{V}_j$, então a lei das malhas, escreve-se como:

$$\sum _{j=1}^n\mathrm{\Delta }{V}_j=0$$ (6.7)

onde $\mathrm{\Delta }{V}_j$ pode ser devido a uma fonte de f.e.m., a uma resistência, a um condensador, etc.

A lei das malhas é uma consequência do Princípio da Conservação da Energia. Nas malhas nas quais não há fontes de f.e.m., a soma algébrica das diferenças de potencial ao longo da malha é equivalente a calcularmos o integral de linha do campo elétrico ao longo da malha (a qual é um percurso fechado), o qual, uma vez que o campo eletrostático é conservativo, conduz ao resultado nulo —ver equação (2.38).

Nas malhas com fontes, podemos explicar a conservação da energia, notando que dentro de uma fonte de f.e.m. existe um campo eletrostático que aponta do elétrodo positivo para o negativo . Efetuando o integral de linha do campo eletrostático ao longo da malha, usando novamente a equação (2.38), obtemos que a soma algébrica das f.e.m. das fontes na malha mais as diferenças de potencial nos elementos passivos (resistências, condensadores, etc.) da malha é igual a zero. Em termos de energia, num circuito a energia fornecida pelas fontes geradoras, a qual é proveniente da energia química destas, é igual à energia absorvida pelas fontes recetoras mais a energia dissipada nas resistências mais a energia associada a outros elementos passivos.

No exemplo da figura 6.4, existem ao todo 7 malhas possíveis, pelo que se poderiam escrever 7 equações usando a lei das malhas. Contudo, estas equações não são todas independentes. Regral geral, num circuito com $N$ nós e $R$ ramos, o número de equações independentes obtidas pela lei das malhas é dado por $R-(N-1)$. Como tal, no nosso exemplo, temos 3 equações independentes de malha, as quais, juntamente com as 3 equações independentes dos nós (6.6), nos permitirão calcular as 6 correntes de ramo pretendidas. Escolhendo as 3 malhas independentes como sendo as malhas ACBA, ADCA e CDBC, as equações destas 3 malhas são as seguintes:

$$\begin{array}{c}\hfill (V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{C}})+(V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}})+(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}})=0\\ \hfill (V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{D}})+(V_{\mathrm{D}}-V_{\mathrm{C}})+(V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{A}})=0\\ \hfill (V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{D}})+(V_{\mathrm{D}}-V_{\mathrm{B}})+(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{C}})=0\end{array}$$ (6.8)

6.3.3 Método das malhas e método dos nós

As equações (6.8) parecem triviais, sem acrescentar nenhuma informação, já que, retirando os parêntesis, as expressões no lado esquerdo são obviamente zero. Mas como cada termo entre parêntesis pode ser associado à corrente, no caso das resistências, ou ao valor da f.e.m., no caso das fontes, as equações das 3 malhas permitem calcular as 3 correntes $I_{\mathrm{BA}}$, $I_{\mathrm{AD}}$ e $I_{\mathrm{DB}}$, após se ter aplicado a lei dos nós. Usando a lei de Ohm e as equações (6.6), para escrever as diferenças de potencial nas resistências, as equações (6.8) conduzem a um sistema linear de 3 equações nas três correntes $I_{\mathrm{BA}}$, $I_{\mathrm{AD}}$ e $I_{\mathrm{DB}}$:

$$\begin{array}{c}\hfill 96(I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{AD}})+36(I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{DB}})+5I_{\mathrm{BA}}-8=0\\ \hfill 120I_{\mathrm{AD}}-72(I_{\mathrm{DB}}-I_{\mathrm{AD}})-96(I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{AD}})=0\\ \hfill 72(I_{\mathrm{DB}}-I_{\mathrm{AD}})+54I_{\mathrm{DB}}-36(I_{\mathrm{BA}}-I_{\mathrm{DB}})=0\end{array}$$ (6.9)

A solução desse sistema é $I_{\mathrm{BA}}=100$ mA, $I_{\mathrm{AD}}=43.75$ mA e $I_{\mathrm{DB}}=41.667$ mA. Usando as equações (6.6), obtêm-se as restantes correntes: $I_{\mathrm{AC}}=56.25$ mA, $I_{\mathrm{CB}}=58.333$ mA e $I_{\mathrm{CD}}=-2.083$ mA. Concluimos portanto que os sentidos reais das correntes de ramo $I_{\mathrm{BA}}$, $I_{\mathrm{AD}}$, $I_{\mathrm{DB}}$, $I_{\mathrm{AC}}$ e $I_{\mathrm{CB}}$ são os arbitrados, enquanto que no ramo CD, o sentido da corrente real é o oposto ao arbitrado e portanto neste ramo a corrente é $I_{\mathrm{DC}}=2.083$ mA.

Uma vez obtidas as correntes em todos os ramos, o circuito considera-se resolvido, pois pode-se determinar qualquer grandeza associada ao circuito, tais como, diferenças de potenciais em resistências ou condensadores, quais as fontes que fornecem e quais as que absorvem energia, as potências associdas a cada elemento, as cargas armazenadas em condensadores, etc. Este método de analisar o circuito é conhecido como método das malhas.

Uma outra forma de analisar o circuito da figura 6.4 consiste em determinar os potenciais dos quatro nós A, B, C e D. Como os valores dos potenciais são arbitrários mas as diferenças entre eles não, é possível arbitrar um valor qualquer para o potencial de um dos nós e a partir desse valor obter os potenciais dos outros três nós. Arbitrando $V_{\mathrm{B}}=0$, temos então de encontrar os potenciais dos pontos A, C e D. Aplicando a lei dos nós em A, C e D, e usando a lei de Ohm para relacionar as correntes dos ramos com as diferenças de potencial entre os respetivos nós, obtemos o seguinte sistema de equações lineares:

$$\begin{array}{c}\hfill \frac{V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{D}}}{120}+\frac{V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{C}}}{96}+\frac{V_{\mathrm{A}}-8}{5}=0\\ \hfill \frac{V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{A}}}{96}+\frac{V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{D}}}{72}+\frac{V_{\mathrm{C}}}{36}=0\\ \hfill \frac{V_{\mathrm{D}}-V_{\mathrm{A}}}{120}+\frac{V_{\mathrm{D}}-V_{\mathrm{C}}}{72}+\frac{V_{\mathrm{D}}}{54}=0\end{array}$$ (6.10)

A solução deste sistema linear de equações é $V_{\mathrm{A}}=7.5$ V, $V_{\mathrm{C}}=2.1$ V e $V_{\mathrm{D}}=2.25$ V. Com os valores dos potenciais nos quatro nós calcula-se a diferença de potencial e a corrente em cada resistência. Este método é designado por método dos nós.

Os métodos da malhas e dos nós podem ser implementados facilmente num programa de computador, mas para obtermos uma melhor visão da física dos circuitos, em vez de tornarmos a sua análise num simples problema de matemática aplicada, usaremos outros métodos explicados nas secções seguintes. No entanto, as leis de Kirchhoff continuam a ter muita importância e serão usadas frequentemente; na secção anterior já usamos implicitamente a lei das malhas quando analisamos o circuito com uma única malha.

6.4 Circuitos resistivos

Um circuito resistivo é uma combinação de várias resistências. Designaremos de dispositivo ativo um circuito com uma ou mais f.e.m. que pode incluir também resistências. Analisaremos circuitos resistivos e dispositivos ativos ligados entre si em dois pontos (entradas). A figura 6.5 mostra um circuito resistivo com entradas nos pontos A e B, ligado a um dispositivo ativo.

Figura 6.5: Circuito resistivo ligado a um dipositivo ativo.

Quando a diferença de potencial entre as entradas dum circuito resistivo for nula, não haverá correntes nem voltagens em nenhuma parte do circuito. Se o circuito for ligado a um dispositivo ativo, como na figura 6.5, os terminais positivo e negativo do dispositivo ativo determinam qual das entradas terá maior potencial e em que sentido circulará corrente; no caso da figura, a entrada A está a maior potencial do que a entrada B e, como tal, entra corrente $I$ pela entrada A e sai a mesma corrente pela entrada B.

No circuito da figura 6.4, há uma parte ativa, entre os nós A e B, ligada a um circuito resistivo entre esses pontos, tal como mostra a figura 6.6.

Figura 6.6: Circuito resistivo e dispositivo ativo no circuito da figura 6.4.

Qualquer circuito resistivo com duas entradas pode ser substituído por uma única resistência equivalente entre as entradas. No capítulo anterior foram dados alguns exemplos em que usando resistências equivalentes em série ou em paralelo, foi sempre possível obter uma única resistência. No circuito do lado esquerdo da figura 6.6, para determinar a resistência entre os pontos A e B, podemos combinar as duas resistências de 60 $\mathrm{\Omega }$ em série e as resistências de 18 $\mathrm{\Omega }$ e 36 $\mathrm{\Omega }$ em série, mas a seguir já não haverá nenhumas resistências nem em série nem em paralelo. A seguir veremos um método que permite obter a resistência equivalente nesse caso.

6.4.1 Transformação delta-estrela

Três resistências ligadas entre três pontos formando um triângulo (ou um delta maiúsculo $\mathrm{\Delta }$), tal como no lado esquerdo da figura 6.7, podem ser sempre substituídas por outras três resistências ligadas a um ponto comum, tal como no lado direito da figura.

Figura 6.7: Resistências em configuração delta (esquerda) e circuito equivalente em estrela (direita).

Para que as duas configurações na figura 6.7 sejam equivalentes, a condição necessária e suficiente é que a resistência entre os pontos 1 e 2, entre os pontos 2 e 3 e entre os pontos 1 e 3 seja igual nas duas configurações. Começando com os pontos 1 e 2 e na configuração estrela do lado direito da figura, como não há nada ligado no ponto 3, não passará corrente através de $R_3$; toda a corrente que passa por $R_1$ passa também por $R_2$ e a resistência entre 1 e 2 é então igual à soma destas duas resistências.

Na configuração delta do lado esquerdo da figura, a resistência entre 1 e 2 é o resultado de $R_{12}$ em paralelo com $R_{13}+R_{23}$. Fazendo a mesma comparação entre os pontos 2 e 3 e os pontos 1 e 3, obtém-se o seguinte sistema de equações lineares em $R_1$, $R_2$ e $R_3$:

$$\begin{array}{c}\hfill R_1+R_2=\frac{R_{12}(R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}\\ \hfill R_2+R_3=\frac{R_{23}(R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}\\ \hfill R_1+R_3=\frac{R_{13}(R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}\end{array}$$ (6.11)

E a solução desse sistema linear é:

$$R_i=\frac{R_{ij}{R}_{ik}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}$$ (6.12)

onde $(i,j,k)$ é qualquer permutação de $(\mathrm{1,2,3})$ e a ordem dos dois índices nas resistências do lado direito não interessa.

Exemplo 6.1

Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito no lado esquerdo da figura 6.6, que é aqui reproduzida, e a corrente fornecida pela fonte

Resolução. Aplicando a transformação delta-estrela às resistências nos três ramos AD, AC e DC, obtêm-se as seguintes resistências:

$$\begin{array}{c}\hfill R_{\mathrm{A}}=\frac{120\times 96}{120+96+72}=40\mathrm{\Omega }\\ \hfill R_{\mathrm{C}}=\frac{96\times 72}{120+96+72}=24\mathrm{\Omega }\\ \hfill R_{\mathrm{D}}=\frac{72\times 120}{120+96+72}=30\mathrm{\Omega }\end{array}$$

Substituindo entre os pontos A, C e D, obtém-se o seguinte circuito equivalente:

As resistências de 30 $\mathrm{\Omega }$ e 54 $\mathrm{\Omega }$, em série, são equivalentes a 84 $\mathrm{\Omega }$, e as de 24 $\mathrm{\Omega }$ e 36 $\mathrm{\Omega }$ são equivalentes a 60 $\mathrm{\Omega }$. As resistências de 84 $\mathrm{\Omega }$ e 60 $\mathrm{\Omega }$, em paralelo, são equivalentes a:

$$R_{\mathrm{PB}}=\frac{84\times 60}{84+60}=35\mathrm{\Omega }$$

Com essa substituição obtém-se o seguinte circuito entre A e B:

E a resistência entre A e B é 75 $\mathrm{\Omega }$. A f.e.m. de 8 V está ligada às resistências de 5 $\mathrm{\Omega }$ e 75 $\mathrm{\Omega }$, produzindo corrente:

$$I=\frac{8}{5+75}=0.1\mathrm{A}$$

6.4.2 Divisão de voltagem e de corrente

Num ramo com várias resistências, $R_1$, $R_2$, …, $R_n$, ligadas portanto em série, como na figura 6.8, a voltagem total neste ramo, $\mathrm{\Delta }V=V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{B}}$, distribui-se pelas várias resistências. A resistência $R_i$ terá uma diferença de potencial $\mathrm{\Delta }{V}_i$ e a soma das diferenças de potencial em todas as resistências deverá ser igual a $\mathrm{\Delta }V$.

Figura 6.8: Divisão de voltagem entre várias resistências.

Como a corrente em todo o ramo é a mesma, e igual a $\mathrm{\Delta }V/R_{\mathrm{s}}$, onde $R_{\mathrm{s}}$ é a resistência total, em série, a diferença de potencial em cada resistência será:

$$\mathrm{\Delta }{V}_i=\frac{R_i}{R_{\mathrm{s}}}\mathrm{\Delta }V$$ (6.13)

A expressão anterior mostra que:

Num sistema de resistências em série a voltagem divide-se entre elas na proporção direta ao valor de cada resistência.

Se todas as resistências fossem iguais, cada uma teria a mesma diferença de potencial, $\mathrm{\Delta }V/n$. Se, por exemplo, uma das resistências for o dobro de outra, a sua diferença de potencial será o dobro dessa outra. No caso particular de termos apenas duas resistências $R_1$ e $R_2$ em série, a expressão (6.13) conduz-nos a um resultado simples:

$$\mathrm{\Delta }{V}_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}\mathrm{\Delta }V\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}\mathrm{\Delta }{V}_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}\mathrm{\Delta }V$$ (6.14)

Consideremos agora o caso de existirem $n$ resistências em paralelo. Se entre dois nós A e B houver $n$ resistências, $R_1$, $R_2$, …, $R_n$, ligadas em paralelo, como na figura 6.9, a corrente $I$, que entra pelo nó com maior potencial e sai pelo nó com menor potencial, distribui-se então pelas $n$ resistências.

Figura 6.9: Divisão de corrente entre várias resistências.

Designando por $I_j$ a corrente que passa pela resistência $R_j$, como a diferença de potencial entre os nós A e B é $R_{\mathrm{p}}I$, onde $R_{\mathrm{p}}$ é a resistência equivalente das $n$ resistências, em paralelo, então a corrente através de $R_j$ é igual a:

$$I_j=\frac{R_{\mathrm{p}}}{R_j}I$$ (6.15)

Dito em palavras,

Num sistema de resistências em paralelo a corrente divide-se entre elas na proporção inversa ao valor de cada resistência.

Se todas as resistências são iguais, então todas elas têm a mesma corrente $I/n$. Se, por exemplo, uma das resistências for o dobro de outra, a sua corrente será metade dessa outra. No caso particular de existirem apenas duas resistências $R_1$ e $R_2$, a expressão (6.15) conduz ao resultado simples:

$$I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{I}_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$$ (6.16)

Exemplo 6.2

Determine as correntes e as diferenças de potencial em todas as resistências do circuito na figura 6.4.

Resolução. Ligando a parte ativa (fonte com f.e.m. de 8 V e resistência interna de 5 $\mathrm{\Omega }$) entre os pontos A e B, com a forma mais simples do circuito resistivo obtida no exemplo 6.1, o circuito é o seguinte,

Vamos encontrar os potenciais dos pontos A, B, C e D e a partir desses potenciais calcular as correntes. Para determinar os potenciais dos pontos, podemos atribuir potencial igual a zero a qualquer um deles e com as diferenças de potencial determinar o potencial dos outros pontos. É habitual atribuir o potencial zero ao elétrodo negativo da f.e.m., para que os outros potenciais sejam todos positivos; isso equivale a admitir que o elétrodo negativo da f.e.m. está ligado a terra, como no diagrama acima. Com $V_{\mathrm{B}}=0$ e aplicando a lei de divisão de voltagem,

$V_{\mathrm{P}}-V_{\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{35\times 8}{40+35+5}}=3.5\mathrm{V}\Rightarrow V_{\mathrm{P}}=3.5\mathrm{V}$

$V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{P}}={\displaystyle \frac{40\times 8}{40+35+5}}=4\mathrm{V}\mathit{\hspace{1em}}\Rightarrow V_{\mathrm{A}}=7.5\mathrm{V}$

Regressando ao circuito equivalente anterior na simplificação do circuito no exemplo 6.1,

Aplicando novamente divisão de voltagem para determinar os potenciais dos pontos C e D:

$V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{36\times 3.5}{36+24}}=2.1\mathrm{V}\mathit{\hspace{1em}}\Rightarrow V_{\mathrm{C}}=2.1\mathrm{V}$

$V_{\mathrm{D}}-V_{\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{54\times 3.5}{54+30}}=2.25\mathrm{V}\Rightarrow V_{\mathrm{D}}=2.25\mathrm{V}$

A partir dos potenciais dos nós calculam-se as diferenças de potencial e as correntes nas oito resistências, obtendo-se os valores na tabela seguinte (nas resistências em série nos ramos AD e BD usou-se novamente divisão de voltagem):

Resistência	$\mathrm{\Delta }V$ /V	$I$ /mA
96 $\mathrm{\Omega }$	5.4	56.25 (A para C)
60 $\mathrm{\Omega }$	2.625	43.75 (A para D)
72 $\mathrm{\Omega }$	0.15	2.083 (D para C)
36 $\mathrm{\Omega }$ (ramo CB)	2.1	58.333 (C para B)
36 $\mathrm{\Omega }$ (ramo DB)	1.5	41.667 (D para B)
18 $\mathrm{\Omega }$	0.75	41.667 (D para B)
5 $\mathrm{\Omega }$	0.5	100 (B para A)

6.5 Dispositivos ativos

Um dispositivo ativo é formado por fontes e resistências. Como vimos no capítulo anterior, as caraterísticas voltagem-corrente das fontes e das resistências são retas, i.e., ambos são elementos lineares e uma combinação de vários desses elementos deverá ser um dispositivo linear, com característica linear. A caraterística de um dispositivo ativo depende de dois parámetros, a ordenada na origem (f.e.m. equivalente) e o seu declive (resistência interna) e o dispositivo é então equivalente a uma f.e.m. ideal em série com uma resistência interna. Mais do que tentar demonstrar esse teorema, estamos aqui mais interessados em mostrar como determinar a f.e.m. equivalente e a resistência interna, o qual será ilustrado a seguir no caso dum divisor de voltagem.

6.5.1 Divisor de voltagem

Uma combinação simples de uma fonte de f.e.m. em série com duas resistências é um circuito muito útil, chamado divisor de voltagem. A figura 6.10 mostra duas formas de representar o mesmo circuito. O circuito será usado para fornecer entre os terminais A e B uma voltagem de saída $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}$, a qual é igual à diferença de potencial entre os pontos A e B, $V_A-V_B$, conforme o diagrama da esquerda. A voltagem de saída poderá variar entre zero e o valor da f.e.m. de entrada, identificada no diagrama da esquerda como $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}$, em função da relação entre as resistências $R_1$ e $R_2$.

Figura 6.10: Divisor de voltagem.

O lado direito da figura 6.10 mostra uma forma simples de descrever circuitos, que consiste em admitir que o terminal negativo da fonte está ligado a terra, onde se considera que o potencial de referência é igual a zero. Assim o potencial em outros pontos do circuito será sempre positivo e as voltagens $V_{\text{in}}$ e $V_{\text{out}}$ são medidas em relação à terra. Admite-se também que na saída do circuito, onde o potencial é $V_{\text{out}}$, será ligado uma das entradas de um dispositivo externo, com a outra saída ligada a terra, e a corrente de saída, $I_{\text{out}}$, é a corrente que passa para a terra, ou que provém desta, através desse dispositivo.

A voltagem e corrente de saída $V_{\text{out}}$ e $I_{\text{out}}$, respetivamente, dependerão do dispositivo que for ligado aos terminais A e B. Se entre estes pontos for ligado um circuito resistivo com resistência total $R$, as resistências $R_2$ e $R$ estarão em paralelo, e a resistência equivalente estará em série com $R_1$, dando a resistência total da malha:

$$R_{\mathrm{t}}=R_1+\frac{R_{2}R}{R_2+R}$$ (6.17)

a corrente fornecida pela fonte é $V_{\text{in}}/R_{\mathrm{t}}$ e esta corrente vezes a resistência de $R$ em paralelo com $R_2$, dá a voltagem de saída:

$$V_{\text{out}}=\left(\frac{(R_2+R)V_{\text{in}}}{R_1{R}_2+(R_1+R_2)R}\right)\left(\frac{R_{2}R}{R_2+R}\right)=\frac{R_{2}R{V}_{\text{in}}}{R_1{R}_2+(R_1+R_2)R}$$ (6.18)

A lei de Ohm na resistência externa implica $R=V_{\text{out}}/I_{\text{out}}$. Substituindo na equação anterior e simplificando, obtém-se a expressão da caraterística do divisor de voltagem:

$$V_{\text{out}}=\frac{R_2}{R_1+R_2}{V}_{\text{in}}-\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}{I}_{\text{out}}$$ (6.19)

6.5.2 Teorema de Thévenin

O resultado da expressão (6.19) pode ser obtido de forma mais simples. Observe-se que o primeiro termo do lado direito desta expressão é a voltagem de saída, $V_{\text{out}}$, quando a corrente de saída é zero, $I_{\text{out}}=0$, ou seja, quando os terminais A e B não estão ligados a qualquer dispositivo.

Neste caso, o diagrama de circuito do divisor de voltagem (figura 6.10) é uma malha simples com corrente total $I=V_{\text{in}}/(R_1+R_2)$ e a voltagem de saída é igual a $V_{\text{out}}=R_{2}I=R_2/(R_1+R_2)V_{\text{in}}$. Este termo pode portanto ser ajustado mudando a razão entre $R_2$ e $R_1+R_2$. Assim, a f.e.m. do divisor de voltagem é igual à voltagem de saída, $V_{\text{out}}$, quando os seus terminais não estão ligados a qualquer dispositivo, ou, por outras palavras, quando os terminais se encontram em circuito aberto.

Por outro lado, o termo que multiplica a corrente de saída na expressão (6.19), considerando novamente os terminais não ligados a qualquer dispositivo, é a resistência entre A e B do divisor de voltagem, a qual é igual à combinação de $R_1$ e $R_2$ em paralelo, uma vez que a resistência interna da fonte $V_{\text{in}}$ é nula, pois esta é ideal . Deste modo, a resistência interna do divisor de voltagem é a resistência entre os pontos A e B quando a fonte de f.e.m. $V_{\text{in}}$ é substituída por um curto-circuito.

O resultado anterior é geral para qualquer circuito linear ativo, e constitui o teorema de Thévenin:

Um circuito ativo com dois terminais é equivalente a uma fonte cuja f.e.m. é igual à diferença de potencial entre os terminais quando não há nenhum dispositivo ligado entre eles e cuja resistência interna é igual à resistência entre os terminais depois de substituídas todas as suas fontes de f.e.m. por curtos-circuitos.

Este teorema foi derivado por Léon Charles Thévenin em 1883 e, de forma independente, por Hermann von Helmholtz 30 anos antes. A figura 6.11 ilustra o teorema de Thévenin; o circuito equivalente, no lado direito da figura, é designado de equivalente de Thévenin.

Figura 6.11: Dispositivo ativo e circuito equivalente de Thévenin (considerando que $V_A>V_B$).

Em resumo, considerando que os terminais A e B de um dispositivo ativo estão em circuito aberto (não estão ligados a nenhum outro dispositivo), então a fonte de f.e.m. do seu equivalente de Thévenin, $V_{\text{th}}$, é igual à voltagem de saída, i.e., à diferença de potencial entre os seus terminais, $V_A-V_B$, devendo-se respeitar a sua polaridade (no caso da figura 6.11 considerou-se que $V_A>V_B$, pelo que os elétrodos positivo e negativo da fonte de f.e.m. equivalente estão mais perto dos pontos de maior potencial e de menor potencial, respetivamente) e, mantendo os terminais em circuito aberto, a resistência do equivalente de Thévenin, $R_{\text{th}}$, é igual à resistência entre os pontos A e B, encontrando-se todas as fontes de f.e.m. do circuito ativo substituídas por curtos-circuitos.

Voltando ao divisor de voltagem da figura 6.10, este pode portanto ser substituído pelo seu equivalente de Thévenin, cujas fonte de f.e.m. e resistência são dadas, repetivamente, por:

$$V_{\text{th}}=\frac{R_2}{R_1+R_2}{V}_{\text{in}}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{R}_{\text{th}}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$$ (6.20)

Ligando agora um circuito resistivo com resistência total $R$ aos terminais do equivalente de Thévenin, obtemos um circuito constituído por apenas uma malha, na qual circula uma corrente de saída $I_{\text{out}}$. Usando a lei das malhas, a voltagem de saída é então dada por:

$$V_{\text{out}}=V_{\text{th}}-R_{\text{th}}{I}_{\text{out}}$$ (6.21)

Substituindo na expressão acima $V_{\text{th}}$ e $R_{\text{th}}$ pelas expressões (6.20), obtemos, de uma maneira simples e clara, a caraterística do divisor de voltagem dada pela expressão (6.19), deduzida inicialmente sem recurso ao equivalente de Thévenin.

Exemplo 6.3

No circuito representado no diagrama, calcule: (a) A intensidade e sentido da corrente na resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$. (b) A diferença de potencial na resistência de 3.3 k$\mathrm{\Omega }$. (c) A potência fornecida ou dissipada por cada uma das fontes.

Resolução. (a) O diagrama da parte ativa do circuito, excluindo a resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$ e combinando as resistências de 2.2 k$\mathrm{\Omega }$ e 3.3 k$\mathrm{\Omega }$ em paralelo, é o seguinte:

Vamos substituir esse dispositivo pelo seu equivalente de Thévenin, com uma f.e.m. $V_{\text{th}}$ e uma resistência $R_{\text{th}}$ entre os pontos A e B. $V_{\text{th}}$ é a diferença de potencial entre A e B no circuito acima, sem nada ligado entre A e B. A f.e.m. total na malha é 6 V, no sentido oposto dos ponteiros do relógio. Por divisão de voltagem, a diferença de potencial na resistência de 1.32 k$\mathrm{\Omega }$ é,

$$V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}}=\frac{1.32\times 6}{1.32+1.2}=\frac{22}{7}=3.143\mathrm{V}$$

(nos cálculos seguintes usaremos o valor exato, 22/7, para evitar erros numéricos). Como tal, a f.e.m. de Thévenin é,

$$V_{\text{th}}=V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}=9-\frac{22}{7}=\frac{41}{7}=5.857\mathrm{V}$$

positiva em B e negativa em A. A resistência de Thévenin é a equivalente em paralelo de 1.2 k$\mathrm{\Omega }$ e 1.32 k$\mathrm{\Omega }$ entre A e B:

$$R_{\text{th}}={\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.32}\right)}^{-1}=\frac{22}{35}=0.6286\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$$

A corrente na resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$ calcula-se ligando o equivalente de Thévenin entre os seus extremos:

Como tal, a corrente na resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$ é,

$$I_{5.6}=\frac{V_{\text{th}}}{5.6+R_{\text{th}}}=\frac{205}{218}=0.9404\mathrm{mA}$$

do ponto B para o ponto A.

(b) No ramo ACB do circuito inicial temos,

$$V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{A}}=V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{C}}+9$$

e o lado esquerdo é a voltagem na resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$; como tal,

$$V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}}=9-5.6\left(\frac{205}{218}\right)=\frac{407}{109}=3.734\mathrm{V}$$

(c) A corrente que passa pela f.e.m. de 9 V é a mesma que passa pela resistência de 1.32 k$\mathrm{\Omega }$ entre B e C, que vai de C para B e tem intensidade,

$$I_9=\frac{V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}}}{1.32}=\frac{925}{327}=2.829\mathrm{mA}$$

e a f.e.m. de 9 V fornece $9\times 925/327=25.46$ mW. A corrente que sai do nó B para a f.e.m. de 3 V é a corrente que entra nesse nó, proveniente da f.e.m. de 9 V, menos a corrente que sai desse nó para a resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$:

$$I_3=I_9-I_{5.6}=\frac{1235}{654}=1.888\mathrm{mA}$$

e como essa corrente passa do elétrodo positivo para o negativo, a f.e.m. de 3 V absorve $3\times 1235/654=5.665$ mW.

6.5.3 Fontes em série e em paralelo

No exemplo 6.3, a parte ativa do circuito inclui duas fontes de 3 V e 9 V ligadas em paralelo entre os pontos A e B. A forma como foram ligadas, ambas com o elétrodo positivo mais próximo do ponto B, parecia indicar que ambas seriam geradores. Mas como o valor da f.e.m. do equivalente de Thévenin, 5.857 V, é menor que 9 V, já mostrava que a f.e.m. de 3 V funciona como recetor.

Num sistema de duas fontes em paralelo, será possível obter um equivalente de Thévenin com f.e.m. maior do que as f.e.m. das fontes? Consideremos primeiro o caso em que os sinais dos elétrodos das fontes coincidem, tal como na figura 6.12, e com duas f.e.m. diferentes, sendo ${\epsilon }_2>{\epsilon }_1$. As resistências internas das duas fontes são $r_1$ e $r_2$ conforme a figura.

Figura 6.12: Duas fontes em paralelo, com a mesma polaridade.

Vamos agora obter a fonte de f.e.m. do equivalente de Thévenin, $V_{\text{th}}$, desta associação. A f.e.m. total na malha é ${\epsilon }_2-{\epsilon }_1$, no sentido dos ponteiros do relógio e a f.e.m. de Thévenin é igual à diferença de potencial entre A e B em circuito aberto, $V_A-V_B$, sendo dada por:

$$V_{\text{th}}={\epsilon }_2-\frac{r_2}{r_1+r_2}({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)=\frac{r_1{\epsilon }_2+r_2{\epsilon }_1}{r_1+r_2}$$ (6.22)

onde se usou a divisão de voltagem da malha ${\epsilon }_2-{\epsilon }_1$ pelas duas resistências $r_1$ e $r_2$ (em série, no cálculo do equivalente de Thévenin).

Como $r_1/(r_1+r_2)$ e $r_2/(r_1+r_2)$ são dois números positivos, com soma igual a 1, $V_{\text{th}}$ estará no intervalo e a fonte com f.e.m. menor será recetor. Se as duas fontes tivessem exatamente a mesma f.e.m. , $V_{\text{th}}$ ficava igual a elas, e ambas as fontes seriam geradores.

Se as fontes fossem ligadas como polaridades inversas, i.e., ligando o terminal positivo de uma delas ao termina negativo da outra, o resultado será uma troca do sinal de ${\epsilon }_1$ na equação (6.22):

$$V_{\text{th}}=\frac{r_1{\epsilon }_2-r_2{\epsilon }_1}{r_1+r_2}$$ (6.23)

que está no intervalo e é ainda menor, em valor absoluto, do que a f.e.m. maior ${\epsilon }_2$. E nesse caso, se ${\epsilon }_1={\epsilon }_2$, $V_{\text{th}}$ é ainda menor, em valor absoluto, do que o valor das f.e.m. e a fonte com maior resistência interna será recetor (se as resistências internas também fossem iguais, $V_{\text{th}}$ seria nula).

Para que as duas fontes em paralelo funcionem ambas como geradores, terão de ter a mesma f.e.m. . O problema é que a f.e.m. diminui à medida que a carga no eletrólito diminui; duas bateria iguais não têm a mesma f.e.m. se uma delas estiver mais gasta.

Figura 6.13: Duas fontes em série, com a mesma polaridade.

Se as fontes são ligadas em série, a situação é mais simples. Se o terminal positivo de uma delas está ligado ao terminal negativo da outra, tal como na figura 6.13, as duas fontes são geradores e a f.e.m. do equivalente de Thévenin é a soma das duas f.e.m. . Se fossem ligadas ao contrário, a que tiver menor f.e.m. passaria a ser recetor e $V_{\text{th}}$ seria a diferença das f.e.m., ou zero se fossem iguais.

6.6 Circuitos com condensadores

Quando um condensador é colocado num circuito, a diferença de potencial entre as suas armaduras é diretamente proporcional à carga armazenada no condensador, com maior potencial na armadura que tiver carga positiva. A corrente que passa pelo ramo onde estiver o condensador implica alteração da carga no condensador com a consequente alteração da sua diferença de potencial. Na armadura para onde aponta o sentido da corrente entra carga positiva, e a intensidade da corrente é igual à derivada temporal da carga armazenada.

Consideremos um condensador, inicialmente descarregado, colocado num ramo entre dois nós ${\mathrm{P}}_1$ e ${\mathrm{P}}_4$, que pode incluir resistências e fontes, como na figura 6.14.

Figura 6.14: Ramo com um condensador.

Se houver corrente $I$ no lado direito do condensador, no sentido indicado na figura, na armadura do lado direito está a entrar carga positiva; admite-se que a carga positiva na armadura do lado direito induz imediatamente carga com o mesmo valor absoluto, mas com sinal negativo, na armadura do lado esquerdo. Esse aumento da carga negativa na armadura do lado esquerdo, à mesma taxa de aumento do que na armadura do lado direito, implica corrente no lado esquerdo do condensador com a mesma intensidade e sentido do que no lado direito.

Se a corrente for no sentido indicado na figura 6.14, é porque o potencial de ${\mathrm{P}}_3$ é maior do que o potencial de ${\mathrm{P}}_2$. No instante inicial $\mathrm{\Delta }V=0$ no condensador, porque não tem carga, mas $\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ é diferente de zero, porque a corrente é diferente de zero. Nesse instante, o condensador é equivalente a um curto-circuito (ou interruptor fechado), em que a diferença de potencial é nula, mas pode circular qualquer corrente.

Quando o condensador está descarregado, o potencial dos pontos ${\mathrm{P}}_1$ e ${\mathrm{P}}_2$ é igual. Mas a acumulação de carga positiva na armadura do lado direito faz aumentar o potencial de ${\mathrm{P}}_2$ em relação a ${\mathrm{P}}_3$; chegará um momento em que o potencial de ${\mathrm{P}}_2$ é igual ao potencial de ${\mathrm{P}}_3$ e nesse instante a corrente desaparece, a carga no condensador já não aumenta mais e a sua diferença de potencial também permanece constante.

Se a carga no condensador permanece constante, diz-se que está no estado estacionário. Nesse estado, em que não deixa passar corrente, mas mantém uma diferença de potencial entre as armaduras, o condensador é equivalente a um circuito aberto (ou interruptor aberto).

O estado intermédio, em que há corrente e carga diferentes de zero no condensador, chama-se estado transitório. Determinar a variação temporal das tensões e correntes do circuito no estado transitório corresponde a resolver equações diferenciais, que está para além dos objetivos deste livro; no entanto nas secções 6.6.1, 9.4.1 e 10.1 mostraremos como determinar a tensão e a corrente no estado transitório em circuitos RC, RL e LC. Nesta secção consideram-se apenas condensadores descarregados ou no estado estacionário.

Nos circuitos com fontes de f.e.m. constante, os condensadores funcionam como interruptores, que inicialmente estão fechados mas podem abrir gradualmente até ficarem completamente abertos no estado estacionário.

Exemplo 6.4

Um condensador de 1.2 µF, inicialmente descarregado, liga-se a uma pilha com f.e.m. de 9 V e resistência interna de 230 $\mathrm{\Omega }$ e usa-se um voltímetro com resistência interna de 3.2 k$\mathrm{\Omega }$ para medir a voltagem no condensador. (a) Determine a corrente na pilha, no instante inicial e no estado estacionário. (b) Determine o valor da carga do condensador no estado estacionário.

Resolução. A ligação do condensador à pilha pode ser representada por um interruptor que está inicialmente aberto. O voltímetro, representado no circuito pela sua resistência interna de 3.2 k$\mathrm{\Omega }$, é ligado em paralelo com o condensador. O diagrama do circuito é o seguinte:

(a) No instante inicial, quando se fecha o interruptor, a voltagem do condensador é nula, porque está descarregado, sendo equivalente a um curto-circuito; o diagrama equivalente é o seguinte:

Note-se que a voltagem no voltímetro é nula no instante inicial porque é a mesma voltagem do condensador; a corrente no volimetro é $\mathrm{\Delta }V/R$ e como $\mathrm{\Delta }V$ é nula, a corrente no voltímetro também é nula. A corrente na pilha, no instante inicial, é então

$$I_0=\frac{9}{230}=0.03913\mathrm{A}$$

No estado estacionário, quando a carga do condensador já não aumenta, este é equivalente a um interruptor aberto e o circuito equivalente é o seguinte:

A corrente nesse caso é,

$$I=\frac{9}{3200+230}=0.002624\mathrm{A}$$

(b) Como o condensador está ligado em paralelo com o voltímetro, a diferença de potencial final entre as suas armaduras é igual à diferença de potencial final na resistência de 3.2 $\mathrm{\Omega }$, que é:

$$\mathrm{\Delta }V=3200I=8.397\mathrm{V}$$

e a carga final do condensador é,

$$Q=1.2\times {10}^{-6}\mathrm{\Delta }V=10.076\mu \mathrm{C}$$

Quando um condensador, inicialmente descarregado, é ligado a um circuito ativo com equivalente de Thévenin com f.e.m. $V_{\mathrm{th}}$ e resistência interna $R_{\mathrm{th}}$, a voltagem entre as armaduras do condensador é a voltagem do equivalente de Thévenin em modo gerador:

$$\mathrm{\Delta }V=V_{\mathrm{th}}-R_{\mathrm{th}}I$$ (6.24)

como no instante inicial $\mathrm{\Delta }V$ no condensador é nula, a corrente inicial que passa pelo condensador é,

$$I_0=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}}$$ (6.25)

ou seja, igual à corrente máxima do equivalente de Thévenin. Quando o condensador atinge o estado estacionário, a corrente é nula, a voltagem no condensador fica igual a $V_{\mathrm{th}}$ e a carga final no condensador é:

$$Q=C{V}_{\mathrm{th}}$$ (6.26)

Como tal, um condensador pode usar-se para determinar o equivalente de Thévenin de um dispositivo ativo. A f.e.m. do equivalente de Thévenin, $V_{\mathrm{th}}$, é igual à voltagem do condensador, no estado estacionário, e $R_{\mathrm{th}}$ é igual à voltagem no estado estacionário dividida pela corrente inicial.

Exemplo 6.5

No circuito do exemplo 6.3, se a resistência de 5.6 k$\mathrm{\Omega }$ for substituída por um condensador de 1.8 µF, inicialmente descarregado, determine a corrente inicial no condensador e a carga no estado estacionário, indicando a sua polaridade.

Resolução. O diagrama do circuito é:

Usando os valores do equivalente de Thévenin entre os pontos A e B, já calculados no exemplo 6.3, a corrente inicial $I_0$ e a carga no estado estacionário são,

$I_0={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}}}={\displaystyle \frac{41/7}{22/35}}=9.318\mathrm{mA}$

$Q=C{V}_{\mathrm{th}}={\displaystyle \frac{1.8\times 41}{7}}=10.54\mu \mathrm{F}$

No caso em que um condensador é introduzido na parte ativa do circuito, a situação é mais complicada, porque o equivalente de Thévenin será diferente no instante inicial e no estado estacionário. Nesses casos há que analisar o circuito inicial, com os condensadores em curto-circuito, e o circuito no estado estacionário com os condensadores em circuito aberto.

Exemplo 6.6

No circuito representado no diagrama, determine a potência dissipada em cada resistência e a energia armazenada em cada condensador, no estado estacionário.

Resolução. Quando o circuito estiver no estado estacionário, os condensadores comportam-se como interruptores abertos e o circuito equivalente é o seguinte

Na resistência de 39 k$\mathrm{\Omega }$ a corrente é nula (não tem por onde circular) e o circuito tem apenas uma malha, com resistência total 1.5 + 18 + 16 = 35.5 k$\mathrm{\Omega }$ e corrente igual a

$$I=\frac{1.5}{1500+18000+16000}=42.254\mu \mathrm{A}$$

A partir dessa corrente calculam-se a seguir todas as potências dissipadas nas resistências e as energias armazenadas nos condensadores.

• Na resistência de 39 k$\mathrm{\Omega }$, $P=0$, já que a corrente é nula.

• Na resistência de 18 k$\mathrm{\Omega }$,

  $$P_{18}=18000I^2=32.136\mu \mathrm{W}$$

• Na resistência de 16 k$\mathrm{\Omega }$,

  $$P_{16}=16000I^2=28.566\mu \mathrm{W}$$

• Na resistência de 1.5 k$\mathrm{\Omega }$,

  $$P_{1.5}=1500I^2=2.678\mu \mathrm{W}$$

• No condensador de 270 nF, a diferença de potencial é a mesma que na resistência de 16 k$\mathrm{\Omega }$:

  $$\mathrm{\Delta }{V}_{270}=16000I=0.6761\mathrm{V}$$

  e a energia armazenada nesse condensador é

  $$U_{270}=\frac{1}{2}270\times {10}^{-9}\mathrm{\Delta }{V}_{270}^2=61.702\mathrm{nJ}$$

• No condensador de 180 nF, um possível percurso entre os dois pontos onde está ligado passa pela fonte do lado esquerdo, pela resistência de 39 k$\mathrm{\Omega }$ (com diferença de potencial nula), pela resistência de 1.5 k$\mathrm{\Omega }$ e pela segunda fonte. Como tal,

  $\mathrm{\Delta }{V}_{180}=1.5+1500I-1.5=0.06338\mathrm{V}$

  $U_{180}={\displaystyle \frac{1}{2}}180\times {10}^{-9}\mathrm{\Delta }{V}_{180}^2=0.3615\mathrm{nJ}$

6.6.1 Circuito RC

Mostraremos aqui como determinar o estado estacionário de um circuito RC, formado por uma resistência $R$ em série com um condensador de capacidade $C$. A corrente e a diferença de potencial (ou tensão) no condensador serão funções do tempo, que designaremos por $I(t)$ e $V(t)$ (sem escrever delta $\mathrm{\Delta }V(t)$, para simplificar a notação).

Na figura 6.15 o circuito RC está ligado a uma fonte ideal de f.e.m. usada para fornecer carga inicial no condensador. Num instante designado por $t=0$ abre-se o interruptor S para desligar a fonte e o diagrama do circuito passa a ser o que está representado no lado direito da figura. Admitindo que a fonte esteve ligada o tempo suficiente para que o condensador atingisse o seu estado estacionário, a tensão inicial no condensador, em $t=0$, é igual ao valor da f.e.m., $V_0=\epsilon$, sendo portanto a sua carga inicial igual a $Q_0=\epsilon C$ (conforme expressão (LABEL:eq:C_condensador)).

Figura 6.15: Circuito RC em (lado esquerdo) e circuito equivalente para $t\ge 0$ (lado direito) em que o interruptor S está aberto.

Como vimos no capítulo 4 expressão (LABEL:eq:C_condensador), a carga $Q$ armazenada no condensador é diretamente proporcional à tensão $V$ no condensador, sendo portanto também função do tempo:

$$Q=CV$$ (6.27)

Definem-se os sentidos positivos da tensão $V$ e a corrente $I$ no condensador de forma consistente com a definição na lei de Ohm para uma resistência, como indicado na figura 6.15. Como tal, um valor positivo de $I$ indica aumento da carga positiva $Q$ no condensador e a derivada temporal de $Q$ é a função $I$. Derivando a equação (6.27), obtém-se a relação entre a corrente e a tensão no condensador:

$$I=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$$ (6.28)

Na resistência, a corrente e a tensão são as mesmas do que no condensador, mas o sentido positivo escolhido para corrente é oposto ao sentido positivo da tensão (corrente a passar de menor para maior potencial). Como tal, a lei de Ohm na resistência é,

$$I=-\frac{V}{R}$$ (6.29)

e igualando à equação (6.28) obtém-se a seguinte equação diferencial:

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{V}{RC}$$ (6.30)

A equação (6.30) diz que a tensão $V$ é uma função que quando derivada em ordem a $t$, o resultado é a mesma função multiplicada pela constante $-1/(RC)$. Como tal, $V(t)$ será uma função exponencial com expoente $-t/(RC)$, multiplicada por uma constante; constante esta que deverá ter o valor de $V$ no instante $t=0$:

$$V(t)=V_0{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{RC}}$$ (6.31)

A constante $RC$ chama-se constante de tempo do circuito, porque tem unidades de tempo. Em unidades SI, o produto de um ohm vezes um farad é um segundo:

$$1\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{F}=1\left(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\right)\left(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}\right)=1\left(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\right)\left(\frac{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{V}}\right)=1\mathrm{s}$$ (6.32)

A carga em função no tempo, obtém-se a partir da expressão (6.27),

$$Q(t)=Q_0{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{RC}}$$ (6.33)

A figura 6.16 mostra os gráficos da tensão e da carga no condensador, expressões (6.31) e (6.33), em função do tempo. As retas a tracejado são as tangentes às curvas em $t=0$. Os seus declives são iguais às derivadas das funções $V(t)$ e $Q(t)$ em $t=0$. Usando a expressão (6.30), os declives são dados por $V_0/(RC)$ e $Q_0/(RC)$, respetivamente, e as equações das retas são então:

$$V_{\mathrm{reta}}(t)=V_0-\frac{V_0}{RC}t\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}{Q}_{\mathrm{reta}}(t)=Q_0-\frac{Q_0}{RC}t$$ (6.34)

as quais cortam o eixo do tempo em $t=RC$.

Figura 6.16: Tensão e carga no condensador em função do tempo num circuito RC.

A tensão e carga armazenada no condensador diminuem exponencialmente, desde os seus valores iniciais $V_0$ e $Q_0$ até zero. Se estas continuassem a diminuir à mesma taxa inicial (i.e., linearmente), demoraria um tempo igual à constante de tempo $RC$ para serem iguais a zero. Quanto maior for a constante de tempo, mais lenta será a diminuição exponencial da tensão e da carga no condensador, até estas serem nulas, i.e., até ao condensador ficar descarregado.

A corrente calcula-se a partir da tensão usando a equação (6.29)

$$I(t)=-\frac{V_0}{R}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{RC}}$$ (6.35)

que é uma função exponencial que aumenta desde a corrente inicial $-V_0/R$ até zero. O valor negativo da corrente indica que o condensador atua como dispositivo ativo e não passivo, como foi admitido na escolha dos sentidos positivos de $V$ e de $I$ na figura 6.15.

Problemas

1. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.

   

2. Considere duas resistências $R_1$ e $R_2$ ligadas em paralelo. Uma corrente total $I$ distribui-se entre as duas resistências, passando corrente $I_1$ por $R_1$ e corrente $I_2$ por $R_2$. Admita que as correntes $I_1$ e $I_2$ podem tomar qualquer valor (inclusivamente negativo) desde que $I=I_1+I_2$. Determine os valores de $I_1$ e $I_2$ que minimizam a potência dissipada por efeito Joule nas resistências e mostre que se obtém o resultado da equação (6.16).

3. No circuito da figura, determine quais das fontes de força eletromotriz fornecem ou absorvem energia e calcule a potência fornecida, ou absorvida, por cada uma.

   

4. Uma resistência de 2.7 k$\mathrm{\Omega }$ liga-se a duas pilhas, em série, ambas com a mesma f.e.m. de 9 V, mas com diferentes resistências internas, tal como mostra o digrama seguinte.
   (a) Determine a corrente na resistência de 2.7 k$\mathrm{\Omega }$.
   (b) Qual das duas pilhas fornece maior potência?

   

5. Uma fonte com voltagem $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}$ é ligada a uma resistência $R$, mas pretende-se que a voltagem nessa resistência seja reduzida para $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}$, menor do que a voltagem de entrada $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}$. Para conseguir esse objetivo, usa-se um circuito chamado atenuador. A figura mostra, dentro da caixa a tracejado, um possível circuito atenuador que tem a vantagem de permitir fazer com que a resistência entre os pontos de entrada A e B continue igual à resistência $R$ do dispositivo ligado entre os pontos de saída C e D.
   (a) Mostre que para que a resistência entre A e B seja igual a $R$, as resistências $R_1$ e $R_2$ do atenuador devem verificar a condição:

   $$4R_1\left(R_1+R_2\right)=R^2$$

   (b) Se $R_1$ e $R_2$ verificam a condição da alínea anterior, mostre que o fator de atenuação, $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}/\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}$ é dado pela expressão:

   $$\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}}=\frac{R_2}{2R_1+R_2+R}$$

   (c) Determine os valores de $R_1$ e $R_2$ que fazem com que a resistência entre A e B seja igual a $R=300\mathrm{\Omega }$, com atenuação $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}/\mathrm{\Delta }{V}_{\text{in}}=0.5$.

   

   (Problema retirado de Nilsson e Riedel 2015, pág. 117)

6. Determine a potência dissipada em cada resistência no circuito representado no diagrama e a potência fornecida pela f.e.m. Verifique que a potência fornecida pela f.e.m. é igual à soma das potências dissipadas em todas as resistências.

   

7. No circuito representado no diagrama, os dois condensadores estão inicialmente descarregados. Determine:
   (a) As correntes iniciais nas resistências e condensadores.
   (b) As cargas finais nos condensadores, indicando as suas polaridades.

   

8. Relativamente ao circuito da figura abaixo:
   (a) Determine a intensidade e sentido da corrente no instante inicial no condensador, sabendo que este estava inicialmente descarregado.
   (b) Determine a carga final no condensador, indicando a sua polaridade.

   

9. Encontre o equivalente de Thévenin entre os pontos A e B no seguinte circuito:

   

10. No problema 6.6.6, se a resistência de 100 $\mathrm{\Omega }$ for substituída por um condensador de 39 nF, qual a energia final armazenada nesse condensador?

11. No circuito representado no diagrama, determine a carga no condensador, no estado estacionário ($t\to \mathrm{\infty }$).

    

12. No circuito representado no diagrama, sabendo que no estado estacionário (após muito tempo) a carga no condensador é igual a 40 µC e as correntes na resistência de 50 $\mathrm{\Omega }$ e em $R_2$ são ambas 1 A, no sentido indicado, determine os valores de $R_1$, $R_2$ e $R_3$.

    

13. No circuito representado no diagrama:
    (a) Determine o equivalente de Thévenin nos terminais da resistência de 6 k$\mathrm{\Omega }$.
    (b) Determine a corrente e diferença de potencial na resistência de 6 k$\mathrm{\Omega }$.
    (c) Determine as correntes nas resistências de 10 k$\mathrm{\Omega }$ e 15 k$\mathrm{\Omega }$.

    

Respostas

1. 3.3939…k$\mathrm{\Omega }$.

2. Há duas variáveis, $I_1$ e $I_2$. A potência total, em função de $I_1$ é $P=R_1{I}_1^2+R_2{(I-I_1)}^2$ ou, em função de $I_2$, $P=R_1{I}_1^2+R_2{(I-I_1)}^2$. Derivando essas duas expressões em ordem a $I_1$ e $I_2$ e igualando a zero, obtém-se $I_1=R_{2}I/(R_1+R_2)$ e $I_2=R_{1}I/(R_1+R_2)$

3. As duas fontes fornecem potência; a f.e.m. de 6 V fornece 5.24 mW, e a f.e.m. de 5 V fornece 3.93 mW.

4. (a) 3.32 mA. (b) A que tem resistência interna menor (20 $\mathrm{\Omega }$).

5. (a) A resistência entre A e B é igual a duas resistências $R_1$ em série com o sistema de $R_2$ em paralelo com $R$ em série com as outras duas resistências $R_1$. (b) Para determinar $\mathrm{\Delta }{V}_{\text{out}}$, encontra-se a voltagem no sistema de $R_2$ em paralelo com $R$ em série com as duas resistências $R_1$, usando divisão de voltagem, e usa-se novamente divisão de voltagem para determinar a voltagem em $R$. (c) $R_1=50\mathrm{\Omega }$, $R_2=400\mathrm{\Omega }$.

6. Na resistência de 20 $\mathrm{\Omega }$, 45 µW. Na resistência de 100 $\mathrm{\Omega }$, 62.0 mW. Na resistência de 150 $\mathrm{\Omega }$, 82.1 mW. Na resistência de 60 $\mathrm{\Omega }$, 105.8 mW. Na resistência de 80 $\mathrm{\Omega }$, 151.4 mW. A f.e.m. fornece 401.4 mW.

7. Usando subíndices iguais ao valor da resistência ou capacidade, (a) $I_{1200}=0$, $I_{200}=7.5$ mA, $I_{150}=I_{82}=40$ mA, $I_{68}=32.5$ mA. (b) $I_{150}=0$, $I_{1200}=I_{200}=1.07$ mA, $Q_{68}=87.4$ nC (positiva na armadura de baixo e negativa na de cima), $Q_{82}=597.4$ nC (positiva na armadura da direita e negativa na da esquerda).

8. (a) 4.78 mA, de baixo para cima. (b) 2.44 µC (negativa na armadura de cima e positiva na de baixo).

9. $V_{\text{th}}=9$ V, $R_{\text{th}}=6\mathrm{\Omega }$.

10. 236.5 nJ.

11. 12 nC.

12. $R_1=2.4\mathrm{\Omega }$, $R_2=10\mathrm{\Omega }$, $R_3=6.67\mathrm{\Omega }$.

13. (a) $V_{\mathrm{th}}=12$ V, $R_{\mathrm{th}}=6$ k$\mathrm{\Omega }$. (b) 1 mA e 6 V. (c) Na resistência de 10 k$\mathrm{\Omega }$, 0.8 mA, e na resistência de 15 k$\mathrm{\Omega }$, 0.2 mA.